Номер 4, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 4, страница 214.

4. Что такое точка минимума функции, что такое точка максимума?

Точка минимума функции

Точка $x_0$ называется точкой минимума (или точкой локального минимума) функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ для некоторого $\delta > 0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Простыми словами, это точка на оси абсцисс, в которой значение функции является наименьшим по сравнению со значениями в ближайших к ней точках. На графике функции такая точка соответствует "нижней точке впадины" или "дну ямы". Важно не путать точку минимума $x_0$ (значение аргумента) и минимум функции $f(x_0)$ (значение самой функции в этой точке).

Для нахождения точек минимума дифференцируемой функции используют производную. Необходимым условием является равенство производной нулю в этой точке: $f'(x_0)=0$ (или производная не существует). Такая точка называется критической. Достаточным условием является смена знака производной при переходе через точку $x_0$ с минуса на плюс.

Ответ: Точка минимума функции — это такое значение аргумента $x_0$, при котором значение функции $f(x_0)$ является наименьшим в некоторой локальной окрестности этой точки. На графике это точка, где убывание функции сменяется возрастанием.

Точка максимума функции

Точка $x_0$ называется точкой максимума (или точкой локального максимума) функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ для некоторого $\delta > 0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Иными словами, это точка на оси абсцисс, в которой значение функции является наибольшим по сравнению со значениями в соседних точках. На графике функции такая точка соответствует "вершине холма". Также следует различать точку максимума $x_0$ (аргумент) и максимум функции $f(x_0)$ (значение).

Точки максимума, как и точки минимума, ищут среди критических точек, где производная $f'(x_0)=0$ или не существует. Достаточным условием для того, чтобы критическая точка была точкой максимума, является смена знака производной при переходе через эту точку с плюса на минус.

Ответ: Точка максимума функции — это такое значение аргумента $x_0$, при котором значение функции $f(x_0)$ является наибольшим в некоторой локальной окрестности этой точки. На графике это точка, где возрастание функции сменяется убыванием.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим названием — точки экстремума.