Номер 11, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 11, страница 215.

11. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

$y = \begin{cases} x^2, & x \le 1, \\ 2-x, & x > 1. \end{cases}$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

Данная функция является кусочно-заданной. Исследуем ее поведение на каждом из двух промежутков, а также в точке их стыка.

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
По свойствам параболы $y=x^2$:

• на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает;
• на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.

Поскольку в точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, эта точка является точкой локального минимума.

2. На промежутке $(1, \infty)$ функция задана формулой $y = 2-x$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=-1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на промежутке $(1, \infty)$.

3. Проверим поведение функции в точке "стыка" $x=1$. Для этого найдем значение функции в этой точке и ее предел справа:
Значение функции в точке $x=1$ (согласно первой части определения): $y(1) = 1^2 = 1$.
Предел функции при $x \to 1$ справа (согласно второй части определения): $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$.
Так как значение функции в точке $x=1$ совпадает с ее пределом справа, функция непрерывна.
Мы установили, что на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает, а на промежутке $(1, \infty)$ — убывает. Следовательно, в точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, и эта точка является точкой локального максимума.

Соберем все результаты вместе:

Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $[0, 1]$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$.

Точки экстремума:

• $x=0$ — точка локального минимума. Значение в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0$.
• $x=1$ — точка локального максимума. Значение в точке максимума: $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: функция возрастает на $[0, 1]$, убывает на $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$; $x_{min}=0, y_{min}=0$; $x_{max}=1, y_{max}=1$.

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Нет, в данном случае использовать аппарат производных не обязательно. Функция состоит из частей хорошо известных элементарных функций: параболы $y=x^2$ и прямой $y=2-x$. Их свойства монотонности и положения экстремумов (для параболы) известны из школьного курса математики. Анализ поведения функции можно полностью провести, основываясь на этих базовых знаниях и исследовании поведения функции в точке "склейки" $x=1$.

Хотя исследование с помощью производной также приведет к правильному результату, оно не является необходимым для этой конкретной задачи. Нахождение производной: $y' = \begin{cases} 2x, & x < 1 \\ -1, & x > 1 \end{cases}$ показало бы, что критические точки — это $x=0$ (где $y'=0$) и $x=1$ (где производная не существует), что подтверждает полученные ранее выводы.

Ответ: Нет, не нужно, так как исследование можно провести на основе свойств графиков элементарных функций.