Номер 2, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §32. ч. 1 - номер 2, страница 229.

2. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка? Приведите пример.

Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка?

Да, может. Согласно первой теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$, достигает на этом отрезке своего наименьшего ($m$) и наибольшего ($M$) значений. Эти значения могут достигаться как во внутренних точках отрезка (в стационарных или критических точках), так и на его концах.

Случай, когда и наименьшее, и наибольшее значения достигаются на концах отрезка, гарантированно происходит для любой строго монотонной функции.

• Если функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(a)$, а наибольшее — $f(b)$.
• Если функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(b)$, а наибольшее — $f(a)$.

Приведите пример

В качестве примера можно рассмотреть любую неконстантную линейную функцию, так как она является строго монотонной.

Возьмём функцию $f(x) = 5 - 2x$ на отрезке $[-1, 3]$.

1. Данная функция является линейной и непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 3]$.

2. Найдём значения функции на концах заданного отрезка.
При $x = -1$ (левый конец): $f(-1) = 5 - 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$.
При $x = 3$ (правый конец): $f(3) = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1$.

3. Проверим, есть ли точки экстремума внутри отрезка. Для этого найдём производную:
$f'(x) = (5 - 2x)' = -2$.
Так как производная $f'(x) = -2$ нигде не равна нулю, у функции нет стационарных точек. Функция является строго убывающей на всей области определения.

Следовательно, на отрезке $[-1, 3]$ функция достигает своего наибольшего значения в левой точке, а наименьшего — в правой.
Наибольшее значение: $\max_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(-1) = 7$.
Наименьшее значение: $\min_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(3) = -1$.

Таким образом, и наибольшее, и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

Ответ: Да, может. Например, любая строго монотонная на отрезке функция, в частности, любая линейная функция $f(x) = kx+b$ при $k \neq 0$.