Номер 8, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §32. ч. 1 - номер 8, страница 229.
№8 (с. 229)
Условие. №8 (с. 229)
скриншот условия

8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$. Нужно ли в данном случае использовать производную? строить график функции?
Решение 6. №8 (с. 229)
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$ проанализируем её свойства на этом отрезке.
1. Поиск наименьшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный минимум, равный $-1$, который достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок $[1; 5]$.
При $k=0$ получаем $x = \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $1 \le \pi \le 5$, и эта точка принадлежит нашему отрезку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно ее глобальному минимуму.
$y_{наим} = \cos(\pi) = -1$.
2. Поиск наибольшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный максимум, равный $1$, который достигается в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одна из этих точек (например, $x=0$ при $k=0$ или $x=2\pi \approx 6.28$ при $k=1$) не принадлежит отрезку $[1; 5]$.
Это означает, что наибольшее значение на данном отрезке функция примет на одном из его концов: либо в точке $x=1$, либо в точке $x=5$.
Сравним значения $y(1) = \cos(1)$ и $y(5) = \cos(5)$.
Мы знаем, что функция $\cos x$ является четной относительно своих точек максимума. Чтобы определить, какое значение больше, можно сравнить, как далеко концы отрезка $x=1$ и $x=5$ отстоят от ближайших точек максимума ($x=0$ и $x=2\pi$ соответственно).
- Расстояние от $x=1$ до ближайшего максимума в $x=0$ равно $|1-0|=1$.
- Расстояние от $x=5$ до ближайшего максимума в $x=2\pi$ равно $|5-2\pi| = 2\pi-5 \approx 6.283 - 5 = 1.283$.
Поскольку точка $x=1$ находится ближе к точке глобального максимума, чем $x=5$, значение косинуса в ней будет больше: $\cos(1) > \cos(5)$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $\cos(1)$.
$y_{наиб} = \cos(1)$.
Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $-1$, наибольшее значение равно $\cos(1)$.
Нужно ли в данном случае использовать производную?
Нет, в данном случае использовать производную не обязательно. Как показано в решении выше, найти наименьшее и наибольшее значения функции можно, основываясь на хорошо известных свойствах функции $y = \cos x$: её области значений, точках экстремума и интервалах монотонности. Этот подход для данной конкретной функции является более простым и наглядным.
Тем не менее, использование производной ($y' = -\sin x$) является универсальным методом для решения таких задач. Он также привел бы к верному результату: единственная критическая точка на интервале, $x=\pi$, соответствует точке минимума, а для нахождения максимума потребовалось бы сравнить значения на концах отрезка.
Ответ: Нет, не обязательно, так как задачу можно решить проще, используя свойства функции косинус.
Нужно ли в данном случае строить график функции?
Нет, строить точный график для получения ответа не требуется, так как задача решается аналитически. Однако, эскиз графика функции $y = \cos x$ является очень полезным инструментом для визуализации. На эскизе можно сразу увидеть, что на отрезке $[1; 5]$ функция сначала убывает, проходит через точку минимума ($x=\pi$), а затем возрастает. Также эскиз помогает наглядно сравнить значения на концах отрезка и убедиться, что $y(1)$ выше, чем $y(5)$. Таким образом, график помогает понять задачу и проверить правильность рассуждений.
Ответ: Нет, не обязательно, но эскиз графика полезен для понимания и самопроверки.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 229 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 229), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.