Номер 8, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 8, страница 229.

Условие.

8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$. Нужно ли в данном случае использовать производную? строить график функции?

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$ проанализируем её свойства на этом отрезке.

1. Поиск наименьшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный минимум, равный $-1$, который достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок $[1; 5]$.
При $k=0$ получаем $x = \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $1 \le \pi \le 5$, и эта точка принадлежит нашему отрезку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно ее глобальному минимуму.

$y_{наим} = \cos(\pi) = -1$.

2. Поиск наибольшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный максимум, равный $1$, который достигается в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одна из этих точек (например, $x=0$ при $k=0$ или $x=2\pi \approx 6.28$ при $k=1$) не принадлежит отрезку $[1; 5]$.
Это означает, что наибольшее значение на данном отрезке функция примет на одном из его концов: либо в точке $x=1$, либо в точке $x=5$.
Сравним значения $y(1) = \cos(1)$ и $y(5) = \cos(5)$.
Мы знаем, что функция $\cos x$ является четной относительно своих точек максимума. Чтобы определить, какое значение больше, можно сравнить, как далеко концы отрезка $x=1$ и $x=5$ отстоят от ближайших точек максимума ($x=0$ и $x=2\pi$ соответственно).

• Расстояние от $x=1$ до ближайшего максимума в $x=0$ равно $|1-0|=1$.
• Расстояние от $x=5$ до ближайшего максимума в $x=2\pi$ равно $|5-2\pi| = 2\pi-5 \approx 6.283 - 5 = 1.283$.

Поскольку точка $x=1$ находится ближе к точке глобального максимума, чем $x=5$, значение косинуса в ней будет больше: $\cos(1) > \cos(5)$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $\cos(1)$.

$y_{наиб} = \cos(1)$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $-1$, наибольшее значение равно $\cos(1)$.

Нужно ли в данном случае использовать производную?

Нет, в данном случае использовать производную не обязательно. Как показано в решении выше, найти наименьшее и наибольшее значения функции можно, основываясь на хорошо известных свойствах функции $y = \cos x$: её области значений, точках экстремума и интервалах монотонности. Этот подход для данной конкретной функции является более простым и наглядным.

Тем не менее, использование производной ($y' = -\sin x$) является универсальным методом для решения таких задач. Он также привел бы к верному результату: единственная критическая точка на интервале, $x=\pi$, соответствует точке минимума, а для нахождения максимума потребовалось бы сравнить значения на концах отрезка.

Ответ: Нет, не обязательно, так как задачу можно решить проще, используя свойства функции косинус.

Нужно ли в данном случае строить график функции?

Нет, строить точный график для получения ответа не требуется, так как задача решается аналитически. Однако, эскиз графика функции $y = \cos x$ является очень полезным инструментом для визуализации. На эскизе можно сразу увидеть, что на отрезке $[1; 5]$ функция сначала убывает, проходит через точку минимума ($x=\pi$), а затем возрастает. Также эскиз помогает наглядно сравнить значения на концах отрезка и убедиться, что $y(1)$ выше, чем $y(5)$. Таким образом, график помогает понять задачу и проверить правильность рассуждений.

Ответ: Нет, не обязательно, но эскиз графика полезен для понимания и самопроверки.