Номер 7, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 7, страница 229.

Условие.

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 10]$. Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

Решение 6.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x на отрезке [0; 10]

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.

Чтобы определить наименьшее и наибольшее значения на заданном отрезке $[0; 10]$, необходимо проверить, достигает ли функция на этом отрезке своих абсолютных экстремумов, то есть значений 1 и -1.

Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадают ли такие точки в отрезок $[0; 10]$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существуют точки, в которых $\sin x = 1$, то наибольшее значение функции на этом отрезке равно 1.

Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существует точка, в которой $\sin x = -1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно -1.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение функции равно 1.

Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

В данном случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не обязательно использовать производную или строить подробный график. Задачу можно решить проще, основываясь на свойствах функции синуса.

Самый эффективный подход — это анализ свойств функции. Мы знаем, что область значений $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Период функции $T = 2\pi \approx 6.28$. Длина заданного отрезка $[0; 10]$ равна 10. Поскольку длина отрезка $10$ больше периода $2\pi$, это гарантирует, что на данном отрезке функция пройдет через все свои возможные значения, включая абсолютный максимум 1 и абсолютный минимум -1. Этот простой анализ позволяет сразу дать ответ.

Хотя это и не обязательно, другие методы также применимы:
1. Использование производной. Это универсальный алгоритм. Находим производную $y' = \cos x$, приравниваем ее к нулю ($\cos x = 0$) и находим критические точки, попадающие в отрезок $[0; 10]$ (это $x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$). Затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка ($y(0)$ и $y(10)$) и выбираем из них наибольшее и наименьшее. Этот метод безошибочен, но более трудоемок для данной задачи.
2. Построение графика. Мысленное представление или эскиз графика синусоиды наглядно показывает, что на интервале от 0 до 10 радиан (что составляет примерно 1.6 периода) функция успевает несколько раз достичь своего максимума (1) и минимума (-1). Это также быстрый способ прийти к правильному выводу.

Ответ: Не обязательно. Задачу проще и быстрее решить, используя известные свойства функции синуса (область значений и периодичность).