Номер 7, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §32. ч. 1 - номер 7, страница 229.
№7 (с. 229)
Условие. №7 (с. 229)
скриншот условия

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 10]$. Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?
Решение 6. №7 (с. 229)
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x на отрезке [0; 10]
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.
Чтобы определить наименьшее и наибольшее значения на заданном отрезке $[0; 10]$, необходимо проверить, достигает ли функция на этом отрезке своих абсолютных экстремумов, то есть значений 1 и -1.
Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадают ли такие точки в отрезок $[0; 10]$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существуют точки, в которых $\sin x = 1$, то наибольшее значение функции на этом отрезке равно 1.
Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существует точка, в которой $\sin x = -1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно -1.
Ответ: Наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение функции равно 1.
Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?
В данном случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не обязательно использовать производную или строить подробный график. Задачу можно решить проще, основываясь на свойствах функции синуса.
Самый эффективный подход — это анализ свойств функции. Мы знаем, что область значений $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Период функции $T = 2\pi \approx 6.28$. Длина заданного отрезка $[0; 10]$ равна 10. Поскольку длина отрезка $10$ больше периода $2\pi$, это гарантирует, что на данном отрезке функция пройдет через все свои возможные значения, включая абсолютный максимум 1 и абсолютный минимум -1. Этот простой анализ позволяет сразу дать ответ.
Хотя это и не обязательно, другие методы также применимы:
1. Использование производной. Это универсальный алгоритм. Находим производную $y' = \cos x$, приравниваем ее к нулю ($\cos x = 0$) и находим критические точки, попадающие в отрезок $[0; 10]$ (это $x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$). Затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка ($y(0)$ и $y(10)$) и выбираем из них наибольшее и наименьшее. Этот метод безошибочен, но более трудоемок для данной задачи.
2. Построение графика. Мысленное представление или эскиз графика синусоиды наглядно показывает, что на интервале от 0 до 10 радиан (что составляет примерно 1.6 периода) функция успевает несколько раз достичь своего максимума (1) и минимума (-1). Это также быстрый способ прийти к правильному выводу.
Ответ: Не обязательно. Задачу проще и быстрее решить, используя известные свойства функции синуса (область значений и периодичность).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 229 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 229), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.