Страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

58.22 a) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0. $

а) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0 $

Данное неравенство является дробно-рациональным. Дробь неотрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, либо если числитель равен нулю. Знаменатель при этом не может быть равен нулю.

Это условие равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0, \\ 2x + 3y - 6 > 0. \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4 - x^2 \le 0, \\ 2x + 3y - 6 < 0. \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Решение системы 1:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 > 0 \Rightarrow 3y > -2x + 6 \Rightarrow y > -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением первой системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x$ находится в промежутке $[-2, 2]$ и которые лежат выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Решение системы 2:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \le 0 \Rightarrow x^2 \ge 4 \Rightarrow x \le -2$ или $x \ge 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 < 0 \Rightarrow 3y < -2x + 6 \Rightarrow y < -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением второй системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x \le -2$ или $x \ge 2$, и которые лежат ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем.

Ответ: Объединение двух множеств точек $(x,y)$: первое задается системой $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$, второе — системой $\begin{cases} x \le -2 \text{ или } x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$.

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0 $

Неравенство имеет смысл при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $|x| + |y| - 2 \ne 0 \Leftrightarrow |x| + |y| \ne 2$.

Дробь неположительна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, или если числитель равен нулю (при ненулевом знаменателе).

Это равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ |x| + |y| - 2 < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \le 0 \\ |x| + |y| - 2 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этих неравенств.
Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг, ограниченный этой окружностью, включая границу.
Уравнение $|x| + |y| = 2$ задает квадрат с вершинами в точках (2,0), (0,2), (-2,0) и (0,-2). Неравенство $|x| + |y| < 2$ задает внутреннюю часть этого квадрата, а $|x| + |y| > 2$ — его внешнюю часть.

Анализ системы 1:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или вне ее, и одновременно внутри квадрата $|x|+|y|=2$.
Квадрат вписан в окружность, поэтому все точки внутри квадрата лежат также и внутри круга ($x^2+y^2 < 4$). Следовательно, нет точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Система 1 не имеет решений.

Анализ системы 2:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или внутри нее, и одновременно вне квадрата $|x|+|y|=2$.
Решением является множество точек, находящихся в круге $x^2+y^2 \le 4$, но за пределами квадрата $|x|+|y|=2$.
Это область, ограниченная снаружи окружностью $x^2+y^2=4$ (включая саму окружность) и изнутри — квадратом $|x|+|y|=2$ (не включая стороны квадрата).

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| + |y| > 2 \end{cases}$. Геометрически это замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого вырезана открытая внутренняя область квадрата с вершинами в точках $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$.

58.23 Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

a) $ \begin{cases} x \le 9, \\ y \le 0, \\ 2x + 5y \ge 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

а)

Для нахождения площади фигуры, заданной системой неравенств, сначала определим ее вершины. Фигура ограничена прямыми, уравнения которых получаются заменой знаков неравенства на знаки равенства: $x = 9$, $y = 0$ и $2x + 5y = 10$.

Найдем точки пересечения этих прямых:

1. Пересечение прямых $y=0$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $y=0$ в уравнение прямой: $2x + 5(0) = 10$, что дает $2x=10$, и $x=5$. Координаты первой вершины: $(5, 0)$.

2. Пересечение прямых $x=9$ и $y=0$.
Координаты второй вершины: $(9, 0)$.

3. Пересечение прямых $x=9$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $x=9$ в уравнение прямой: $2(9) + 5y = 10$, что дает $18 + 5y = 10$, откуда $5y = -8$ и $y = -1.6$. Координаты третьей вершины: $(9, -1.6)$.

Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках $A(5, 0)$, $B(9, 0)$ и $C(9, -1.6)$.
Этот треугольник является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $BC$ параллельны осям координат ($AB$ лежит на оси Ox, а $BC$ параллельна оси Oy).
Длина катета $AB$ равна $9 - 5 = 4$.
Длина катета $BC$ равна $|0 - (-1.6)| = 1.6$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.6 = 3.2$.

Ответ: 3.2

б)

Данная система неравенств задает на координатной плоскости фигуру, ограниченную прямыми: $x + y = 12$, $y - x = 12$ и $y = 0$.

Найдем вершины этой фигуры, решая системы уравнений для пар этих прямых:

1. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y - x = 12$.
Сложим эти два уравнения: $(x + y) + (y - x) = 12 + 12$, что дает $2y=24$, и $y=12$. Подставив $y=12$ в первое уравнение, получаем $x + 12 = 12$, откуда $x=0$. Координаты первой вершины: $(0, 12)$.

2. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $x + 0 = 12$, откуда $x=12$. Координаты второй вершины: $(12, 0)$.

3. Пересечение прямых $y - x = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $0 - x = 12$, откуда $x=-12$. Координаты третьей вершины: $(-12, 0)$.

Фигура является треугольником с вершинами в точках $A(0, 12)$, $B(12, 0)$ и $C(-12, 0)$.
Возьмем сторону $BC$ в качестве основания треугольника. Она лежит на оси Ox, и ее длина равна $|12 - (-12)| = 24$.
Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, равна ординате точки $A$, то есть 12.
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144

58.24 Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств

$\begin{cases}|x - y| \le 2, \\|x + y| \le 2.\end{cases}$

Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена:

a) ниже прямой $y = 1$;

б) выше прямой $y = 0,5$;

в) правее прямой $x = 1$;

г) выше параболы $y = x^2$.

Для решения задачи по геометрической вероятности сначала определим множество всех возможных исходов. Это множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$\begin{cases} |x - y| \le 2 \\ |x + y| \le 2 \end{cases}$

Раскроем модули. Первое неравенство $|x - y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x - y \le 2 \\ x - y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Второе неравенство $|x + y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x + y \le 2 \\ x + y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le -x + 2 \\ y \ge -x - 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Множество решений системы неравенств — это пересечение этих двух областей. Найдем вершины фигуры, образованной пересечением граничных прямых:

• $y = x + 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 0, y = 2$. Вершина A(0, 2).
• $y = x + 2$ и $y = -x - 2 \implies x = -2, y = 0$. Вершина B(-2, 0).
• $y = x - 2$ и $y = -x - 2 \implies x = 0, y = -2$. Вершина C(0, -2).
• $y = x - 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 2, y = 0$. Вершина D(2, 0).

Полученная фигура — это квадрат с вершинами в точках (0, 2), (-2, 0), (0, -2) и (2, 0). Его диагонали лежат на осях координат, длина каждой диагонали равна 4. Площадь этого квадрата (общее пространство элементарных исходов) можно вычислить как половину произведения диагоналей:

$S_{общ} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая. Вероятность $P$ определяется как отношение площади благоприятной области $S_{бл}$ к общей площади $S_{общ}$: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) ниже прямой $y = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y < 1$. Проще найти площадь области, которую отсекает прямая $y=1$ сверху, и вычесть ее из общей площади.

Прямая $y=1$ пересекает стороны квадрата, заданные уравнениями $y = x+2$ и $y = -x+2$.

• $1 = x+2 \implies x = -1$. Точка пересечения (-1, 1).
• $1 = -x+2 \implies x = 1$. Точка пересечения (1, 1).

Прямая $y=1$ отсекает от квадрата верхний треугольник с вершинами в точках (0, 2), (-1, 1) и (1, 1). Основание этого треугольника равно $1 - (-1) = 2$, а высота равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Площадь благоприятной области (ниже прямой $y=1$) равна разности общей площади и площади отсеченного треугольника:

$S_{бл(а)} = S_{общ} - S_{треуг} = 8 - 1 = 7$.

Вероятность того, что точка окажется ниже прямой $y=1$:

$P(A) = \frac{S_{бл(а)}}{S_{общ}} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

б) выше прямой $y = 0,5$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y > 0,5$. Эта область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — прямой $y=0,5$.

Найдем точки пересечения прямой $y=0,5$ со сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

• $0,5 = x+2 \implies x = -1,5$. Точка пересечения (-1,5; 0,5).
• $0,5 = -x+2 \implies x = 1,5$. Точка пересечения (1,5; 0,5).

Благоприятная область — это фигура, ограниченная сверху линиями $y=x+2$ (при $x \in [-1,5; 0]$) и $y=-x+2$ (при $x \in [0; 1,5]$), а снизу — прямой $y=0,5$. Площадь этой фигуры можно найти с помощью интеграла:

$S_{бл(б)} = \int_{-1,5}^{0} ((x+2) - 0,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} ((-x+2) - 0,5) \,dx = \int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{-1,5}^{0} = 0 - (\frac{(-1,5)^2}{2} + 1,5(-1,5)) = -(\frac{2,25}{2} - 2,25) = 1,125 = \frac{9}{8}$.

$\int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{0}^{1,5} = (-\frac{(1,5)^2}{2} + 1,5 \cdot 1,5) - 0 = -\frac{2,25}{2} + 2,25 = 1,125 = \frac{9}{8}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(б)} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Вероятность того, что точка окажется выше прямой $y=0,5$:

$P(Б) = \frac{S_{бл(б)}}{S_{общ}} = \frac{9/4}{8} = \frac{9}{32}$.

Ответ: $\frac{9}{32}$

в) правее прямой $x = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $x > 1$. Эта область представляет собой треугольник, отсекаемый от квадрата прямой $x=1$.

Найдем точки пересечения прямой $x=1$ со сторонами квадрата $y = -x+2$ и $y = x-2$:

• Для $x=1$, $y = -1+2 = 1$. Точка пересечения (1, 1).
• Для $x=1$, $y = 1-2 = -1$. Точка пересечения (1, -1).

Благоприятная область — это треугольник с вершинами в точках (2, 0), (1, 1) и (1, -1). Основание этого треугольника лежит на прямой $x=1$ и имеет длину $1 - (-1) = 2$. Высота треугольника — это расстояние от вершины (2, 0) до прямой $x=1$, она равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{бл(в)} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Вероятность того, что точка окажется правее прямой $x=1$:

$P(В) = \frac{S_{бл(в)}}{S_{общ}} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

г) выше параболы $y = x^2$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $y > x^2$. Благоприятная область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — параболой $y=x^2$.

Найдем точки пересечения параболы $y=x^2$ с верхними сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

• $x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Решения: $x=-1$ (точка (-1, 1)) и $x=2$ (точка (2,4) вне квадрата).
• $x^2 = -x+2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1)=0$. Решения: $x=1$ (точка (1, 1)) и $x=-2$ (точка (-2,4) вне квадрата).

Парабола не пересекает нижние стороны квадрата, так как уравнения $x^2=x-2$ и $x^2=-x-2$ не имеют вещественных корней.

Благоприятная область находится между параболой $y=x^2$ и верхними сторонами квадрата в интервале $x \in [-1, 1]$. Площадь этой области найдем с помощью интеграла:

$S_{бл(г)} = \int_{-1}^{1} (\text{верхняя граница} - x^2) \,dx = \int_{-1}^{0} ((x+2) - x^2) \,dx + \int_{0}^{1} ((-x+2) - x^2) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1}^{0} (-x^2+x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{7}{6}$.

$\int_{0}^{1} (-x^2-x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - 0 = \frac{7}{6}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(г)} = \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Вероятность того, что точка окажется выше параболы $y=x^2$:

$P(Г) = \frac{S_{бл(г)}}{S_{общ}} = \frac{7/3}{8} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$

Решите систему уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5, \\ y = x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3 \end{cases}$

Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Выразим y через x:
$y = 3 - x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(3 - x)^2 - x(3 - x) + 2x - 3(3 - x) = 3$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 2(9 - 6x + x^2) - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

$x^2 + 18 - 12x + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 + x^2) + (-12x - 3x + 2x + 3x) + (18 - 9) = 3$

$4x^2 - 10x + 9 = 3$

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = 3 - x$:

Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 3 - 1 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2)$, $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

б)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для раскрытия скобок:

$x^3 + (5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3) = 35$

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

Упростим уравнение, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$15x^2 - 75x + 125 = 35$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим все члены уравнения на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

в)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$\sqrt{7 - 6x - (x - 1)^2} = (x - 1) + 5$

Упростим уравнение:

$\sqrt{7 - 6x - (x^2 - 2x + 1)} = x + 4$

$\sqrt{7 - 6x - x^2 + 2x - 1} = x + 4$

$\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$

Для существования решения должно выполняться условие $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2$

$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$2x^2 + 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge -4$:

$x_1 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -4$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < -4$), поэтому это посторонний корень.

Найдем значение y для единственного подходящего корня $x = -1$:

$y = x - 1 = -1 - 1 = -2$.

Полученное решение $(-1; -2)$ является единственным.

Ответ: $(-1; -2)$.

г)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - 2y)^2 + 3(1 - 2y)y - 3y^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим:

$2(1 - 4y + 4y^2) + (3y - 6y^2) - 3y^2 = 6$

$2 - 8y + 8y^2 + 3y - 6y^2 - 3y^2 = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 6y^2 - 3y^2) + (-8y + 3y) + 2 = 6$

$-y^2 - 5y + 2 = 6$

$-y^2 - 5y - 4 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 + 5y + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения x, используя $x = 1 - 2y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(9; -4)$.

59.2 a) $\begin{cases} 3x = y + 1, \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 2y, \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1}. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$7^{(3x - 1) - 2x + 2} = 7^{(3x - 1) - 4x + 1} + 6$

Упростим показатели степеней:

$7^{x + 1} = 7^{-x} + 6$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m a^n$ и $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, перепишем уравнение:

$7 \cdot 7^x = \frac{1}{7^x} + 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$7t = \frac{1}{t} + 6$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$7t^2 = 1 + 6t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_2 = -1/7$ не удовлетворяет условию. Следовательно, единственное решение для $t$ - это $t = 1$.

Вернемся к замене:

$7^x = t \implies 7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 1$:

$y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$

Таким образом, решение системы - пара чисел $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3\frac{1}{y + 1} \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2y + x > 0 \\ x - y + 1 > 0 \\ \frac{1}{y + 1} > 0 \end{cases}$

Из третьего неравенства следует, что $y + 1 > 0$, то есть $y > -1$.

Подставим $x = 2y$ из первого уравнения в неравенства ОДЗ:

$\begin{cases} 2y + 2y > 0 \implies 4y > 0 \implies y > 0 \\ 2y - y + 1 > 0 \implies y + 1 > 0 \implies y > -1 \\ y > -1 \end{cases}$

Объединяя условия $y > 0$ и $y > -1$, получаем итоговое условие ОДЗ: $y > 0$.

Теперь преобразуем второе уравнение. Используем свойство суммы логарифмов в левой части: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_3\frac{1}{y + 1}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию и свойства логарифмов: $\log_a(b^n) = n \log_a b$.

$\log_3\frac{1}{y + 1} = \log_3(y+1)^{-1} = -\log_3(y+1)$

Так как $\log_{\frac{1}{3}} z = \log_{3^{-1}} z = -\log_3 z$, то $-\log_3(y+1) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$(2y + x)(x - y + 1) = y + 1$

Подставим $x = 2y$ в это уравнение:

$(2y + 2y)(2y - y + 1) = y + 1$

$(4y)(y + 1) = y + 1$

Перенесем все в левую часть и решим уравнение:

$4y(y + 1) - (y + 1) = 0$

$(y + 1)(4y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y + 1 = 0 \implies y = -1$

$4y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{4}$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($y > 0$). Корень $y = -1$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $y = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ.

Теперь найдем $x$, используя $x = 2y$:

$x = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Решение системы - пара чисел $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$

2. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка? Приведите пример.

Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка?

Да, может. Согласно первой теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$, достигает на этом отрезке своего наименьшего ($m$) и наибольшего ($M$) значений. Эти значения могут достигаться как во внутренних точках отрезка (в стационарных или критических точках), так и на его концах.

Случай, когда и наименьшее, и наибольшее значения достигаются на концах отрезка, гарантированно происходит для любой строго монотонной функции.

• Если функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(a)$, а наибольшее — $f(b)$.
• Если функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(b)$, а наибольшее — $f(a)$.

Приведите пример

В качестве примера можно рассмотреть любую неконстантную линейную функцию, так как она является строго монотонной.

Возьмём функцию $f(x) = 5 - 2x$ на отрезке $[-1, 3]$.

1. Данная функция является линейной и непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 3]$.

2. Найдём значения функции на концах заданного отрезка.
При $x = -1$ (левый конец): $f(-1) = 5 - 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$.
При $x = 3$ (правый конец): $f(3) = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1$.

3. Проверим, есть ли точки экстремума внутри отрезка. Для этого найдём производную:
$f'(x) = (5 - 2x)' = -2$.
Так как производная $f'(x) = -2$ нигде не равна нулю, у функции нет стационарных точек. Функция является строго убывающей на всей области определения.

Следовательно, на отрезке $[-1, 3]$ функция достигает своего наибольшего значения в левой точке, а наименьшего — в правой.
Наибольшее значение: $\max_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(-1) = 7$.
Наименьшее значение: $\min_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(3) = -1$.

Таким образом, и наибольшее, и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

Ответ: Да, может. Например, любая строго монотонная на отрезке функция, в частности, любая линейная функция $f(x) = kx+b$ при $k \neq 0$.

3. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка. Согласно второй теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках. Для того чтобы и наибольшее, и наименьшее значения достигались именно во внутренних точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка, $f(a)$ и $f(b)$, были строго больше наименьшего значения и строго меньше наибольшего значения функции на всём отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$. Эта функция является непрерывной на данном отрезке. Для нахождения ее наибольшего и наименьшего значений найдем ее производную и стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).
Производная функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Приравняем производную к нулю: $\cos(x) = 0$.
На интервале $(0, 2\pi)$ решениями этого уравнения являются точки $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Обе эти точки являются внутренними для отрезка $[0, 2\pi]$.

Теперь вычислим значения функции в найденных стационарных точках и на концах отрезка:
Значение в начальной точке отрезка: $f(0) = \sin(0) = 0$.
Значение в первой стационарной точке: $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Значение во второй стационарной точке: $f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Значение в конечной точке отрезка: $f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Сравнивая полученные значения $0, 1, -1, 0$, мы делаем следующие выводы:
Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $-1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{3\pi}{2}$.
Значения функции на концах отрезка равны $0$, что не является ни наибольшим, ни наименьшим значением.

Таким образом, функция $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$ является примером непрерывной функции, которая достигает своего наибольшего и наименьшего значения во внутренних точках отрезка.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$.

4. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего значения внутри, а наибольшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках экстремума). Ситуация, описанная в вопросе, возникнет, если точка глобального минимума окажется внутри отрезка, а значение функции на одном из концов будет больше, чем на другом конце и во всех точках локальных максимумов внутри отрезка.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.

1. Непрерывность. Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она непрерывна на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 3]$.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, необходимо найти её значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x-1)^2)' = 2(x-1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2(x-1) = 0 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 3]$ и является его внутренней точкой.

Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

• Значение в критической точке: $f(1) = (1-1)^2 = 0$.
• Значения на концах отрезка: $f(0) = (0-1)^2 = 1$ и $f(3) = (3-1)^2 = 4$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 4\}$, мы видим, что:

• Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=1$, которая находится внутри отрезка.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $4$. Оно достигается в точке $x=3$, которая является концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.

5. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего значения внутри, а наименьшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, может. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках локального экстремума). Ситуация, описанная в задаче, не противоречит этой теореме и является одним из возможных случаев.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

1. Непрерывность. Данная функция является квадратичной и непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 2]$.

2. Поиск наибольшего и наименьшего значений. Для этого найдём значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Значения на концах отрезка:

• $f(-1) = -(-1)^2 = -1$
• $f(2) = -(2)^2 = -4$

Найдём производную функции для определения критических точек:$f'(x) = -2x$Приравняем производную к нулю:$-2x = 0 \implies x = 0$Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1, 2]$. Значение функции в этой точке:$f(0) = -0^2 = 0$

Сравним все найденные значения: $\{f(-1), f(2), f(0)\} = \{-1, -4, 0\}$.

Из этого множества видно, что:

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=0$, которая является внутренней точкой отрезка.
• Наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $-4$. Оно достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

6. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, необходимо выполнить следующую последовательность действий, основанную на теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции на отрезке.

1. Найти производную функции

Первый шаг — найти производную $f'(x)$ данной функции. Необходимо убедиться, что функция $f(x)$ непрерывна на всем отрезке $[a; b]$.

2. Найти критические точки

Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Для их нахождения нужно:

• Решить уравнение $f'(x) = 0$. Корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $(a, b)$, являются стационарными точками.
• Найти точки из интервала $(a, b)$, в которых производная $f'(x)$ не существует.

Все найденные таким образом точки являются критическими.

3. Вычислить значения функции в ключевых точках

Необходимо рассчитать значения функции в каждой найденной критической точке, которая принадлежит отрезку $[a; b]$, а также на концах этого отрезка. То есть, нужно найти значения:

• $f(a)$ и $f(b)$ (значения на концах отрезка).
• $f(x_1), f(x_2), \dots$ (значения в критических точках $x_1, x_2, \dots$, лежащих внутри отрезка).

4. Сравнить полученные значения

Последний шаг — сравнить все вычисленные значения. Самое большое из них будет являться наибольшим значением функции на отрезке (глобальный максимум), а самое маленькое — наименьшим значением (глобальный минимум).

$y_{наиб} = \max\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

$y_{наим} = \min\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

Ответ:

Последовательность действий для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых $f'(x) = 0$ или производная не существует.
3. Выбрать из найденных критических точек те, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
4. Вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках, а также на концах отрезка, т.е. в точках $a$ и $b$.
5. Среди всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Они и будут являться соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 10]$. Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x на отрезке [0; 10]

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.

Чтобы определить наименьшее и наибольшее значения на заданном отрезке $[0; 10]$, необходимо проверить, достигает ли функция на этом отрезке своих абсолютных экстремумов, то есть значений 1 и -1.

Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадают ли такие точки в отрезок $[0; 10]$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существуют точки, в которых $\sin x = 1$, то наибольшее значение функции на этом отрезке равно 1.

Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существует точка, в которой $\sin x = -1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно -1.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение функции равно 1.

Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

В данном случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не обязательно использовать производную или строить подробный график. Задачу можно решить проще, основываясь на свойствах функции синуса.

Самый эффективный подход — это анализ свойств функции. Мы знаем, что область значений $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Период функции $T = 2\pi \approx 6.28$. Длина заданного отрезка $[0; 10]$ равна 10. Поскольку длина отрезка $10$ больше периода $2\pi$, это гарантирует, что на данном отрезке функция пройдет через все свои возможные значения, включая абсолютный максимум 1 и абсолютный минимум -1. Этот простой анализ позволяет сразу дать ответ.

Хотя это и не обязательно, другие методы также применимы:
1. Использование производной. Это универсальный алгоритм. Находим производную $y' = \cos x$, приравниваем ее к нулю ($\cos x = 0$) и находим критические точки, попадающие в отрезок $[0; 10]$ (это $x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$). Затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка ($y(0)$ и $y(10)$) и выбираем из них наибольшее и наименьшее. Этот метод безошибочен, но более трудоемок для данной задачи.
2. Построение графика. Мысленное представление или эскиз графика синусоиды наглядно показывает, что на интервале от 0 до 10 радиан (что составляет примерно 1.6 периода) функция успевает несколько раз достичь своего максимума (1) и минимума (-1). Это также быстрый способ прийти к правильному выводу.

Ответ: Не обязательно. Задачу проще и быстрее решить, используя известные свойства функции синуса (область значений и периодичность).

8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$. Нужно ли в данном случае использовать производную? строить график функции?

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$ проанализируем её свойства на этом отрезке.

1. Поиск наименьшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный минимум, равный $-1$, который достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок $[1; 5]$.
При $k=0$ получаем $x = \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $1 \le \pi \le 5$, и эта точка принадлежит нашему отрезку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно ее глобальному минимуму.

$y_{наим} = \cos(\pi) = -1$.

2. Поиск наибольшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный максимум, равный $1$, который достигается в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одна из этих точек (например, $x=0$ при $k=0$ или $x=2\pi \approx 6.28$ при $k=1$) не принадлежит отрезку $[1; 5]$.
Это означает, что наибольшее значение на данном отрезке функция примет на одном из его концов: либо в точке $x=1$, либо в точке $x=5$.
Сравним значения $y(1) = \cos(1)$ и $y(5) = \cos(5)$.
Мы знаем, что функция $\cos x$ является четной относительно своих точек максимума. Чтобы определить, какое значение больше, можно сравнить, как далеко концы отрезка $x=1$ и $x=5$ отстоят от ближайших точек максимума ($x=0$ и $x=2\pi$ соответственно).

• Расстояние от $x=1$ до ближайшего максимума в $x=0$ равно $|1-0|=1$.
• Расстояние от $x=5$ до ближайшего максимума в $x=2\pi$ равно $|5-2\pi| = 2\pi-5 \approx 6.283 - 5 = 1.283$.

Поскольку точка $x=1$ находится ближе к точке глобального максимума, чем $x=5$, значение косинуса в ней будет больше: $\cos(1) > \cos(5)$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $\cos(1)$.

$y_{наиб} = \cos(1)$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $-1$, наибольшее значение равно $\cos(1)$.

Нужно ли в данном случае использовать производную?

Нет, в данном случае использовать производную не обязательно. Как показано в решении выше, найти наименьшее и наибольшее значения функции можно, основываясь на хорошо известных свойствах функции $y = \cos x$: её области значений, точках экстремума и интервалах монотонности. Этот подход для данной конкретной функции является более простым и наглядным.

Тем не менее, использование производной ($y' = -\sin x$) является универсальным методом для решения таких задач. Он также привел бы к верному результату: единственная критическая точка на интервале, $x=\pi$, соответствует точке минимума, а для нахождения максимума потребовалось бы сравнить значения на концах отрезка.

Ответ: Нет, не обязательно, так как задачу можно решить проще, используя свойства функции косинус.

Нужно ли в данном случае строить график функции?

Нет, строить точный график для получения ответа не требуется, так как задача решается аналитически. Однако, эскиз графика функции $y = \cos x$ является очень полезным инструментом для визуализации. На эскизе можно сразу увидеть, что на отрезке $[1; 5]$ функция сначала убывает, проходит через точку минимума ($x=\pi$), а затем возрастает. Также эскиз помогает наглядно сравнить значения на концах отрезка и убедиться, что $y(1)$ выше, чем $y(5)$. Таким образом, график помогает понять задачу и проверить правильность рассуждений.

Ответ: Нет, не обязательно, но эскиз графика полезен для понимания и самопроверки.

9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$$ y = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 1, \\ 2-x, & 1 < x \le 3. \end{cases} $$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений кусочно-заданной функции на отрезке $[-2, 3]$ необходимо исследовать ее на каждом из участков. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом отрезке достигаются либо на концах отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка.

Область определения функции $D(y) = [-2, 3]$.

Точками, в которых могут достигаться искомые значения, являются:

• Концы общего отрезка: $x = -2$ и $x = 3$.
• Точки экстремума на каждом из интервалов.
• Точка "стыка" участков: $x = 1$.

1. Участок $y = x^2$ при $-2 \le x \le 1$.

Это парабола с вершиной в точке $x=0$. Поскольку $0 \in [-2, 1]$, эта точка является точкой локального минимума.

Вычислим значения функции на границах этого участка и в точке минимума:

• При $x=-2$: $y(-2) = (-2)^2 = 4$.
• При $x=0$: $y(0) = 0^2 = 0$.
• При $x=1$: $y(1) = 1^2 = 1$.

2. Участок $y = 2 - x$ при $1 < x \le 3$.

Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$), следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения. Наименьшее значение будет на правом конце отрезка.

Вычислим значение функции на правой границе участка:

• При $x=3$: $y(3) = 2 - 3 = -1$.

Проверим значение в точке стыка $x=1$. Функция непрерывна в этой точке, так как $\lim_{x\to1^-} x^2 = 1$ и $\lim_{x\to1^+} (2-x) = 1$, и $y(1)=1$.

3. Сравнение значений.

Соберем все найденные значения в ключевых точках: $y(-2)=4$, $y(0)=0$, $y(1)=1$, $y(3)=-1$.

Сравнивая эти значения, находим:

• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-2, 3]$ равно -1 (при $x=3$), а наибольшее значение равно 4 (при $x=-2$).

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Использование производной. Стандартный алгоритм нахождения экстремумов на отрезке требует использования производной.

• На участке $[-2, 1]$ производная $y'=(x^2)'=2x$. При $2x=0$ получаем критическую точку $x=0$.
• На участке $(1, 3]$ производная $y'=(2-x)'=-1$. Она не равна нулю, значит, на этом интервале нет точек экстремума.
• В точке $x=1$ функция непрерывна, но производная не существует, так как левая производная $y'_{-}(1) = 2$, а правая $y'_{+}(1) = -1$. Точка $x=1$ является критической.

Таким образом, применение производной является формально правильным и строгим методом. Однако, так как функция состоит из простых, хорошо известных частей (парабола и прямая), их свойства можно использовать напрямую без вычисления производных.

Построение графика. Построение графика не является обязательным для получения численного ответа. Тем не менее, эскиз графика — очень мощный инструмент для визуализации задачи. Он помогает понять поведение функции, проверить правильность рассуждений и избежать ошибок. График наглядно показывает, что максимум достигается в точке $(-2, 4)$, а минимум — в точке $(3, -1)$.

Ответ: Использование производной является стандартным методом, но в данном случае можно обойтись и без него. Построение графика не обязательно, но крайне рекомендуется для самопроверки и наглядного представления решения.

10. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать и своего наименьшего, и своего наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на открытом интервале, может достигать на этом интервале и своего наименьшего, и своего наибольшего значения. Хотя знаменитая теорема Вейерштрасса гарантирует это свойство для функции, непрерывной на замкнутом отрезке (например, $[2; 5]$), она не запрещает такого поведения на открытом интервале. Для того чтобы функция достигала своих экстремумов на открытом интервале $(a; b)$, необходимо, чтобы точки, в которых принимаются наибольшее и наименьшее значения, находились строго внутри этого интервала.

Приведем пример такой функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, и, следовательно, она непрерывна на интервале $(2; 5)$. Область значений для функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, поэтому наибольшее значение функции $f(x)$ не может быть больше 1, а наименьшее – меньше -1.

1. Поиск наибольшего значения.
Наибольшее значение, равное 1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{1}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{1}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{1}{2} < 2k < 5 - \frac{1}{2}$
$1.5 < 2k < 4.5$
$0.75 < k < 2.25$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{1}{2} + 2(1) = 2.5$.
Точка $x=2.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $f(2.5) = \sin(2.5\pi) = 1$.

2. Поиск наименьшего значения.
Наименьшее значение, равное -1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{3}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{3}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{3}{2} < 2k < 5 - \frac{3}{2}$
$0.5 < 2k < 3.5$
$0.25 < k < 1.75$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{3}{2} + 2(1) = 3.5$.
Точка $x=3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $f(3.5) = \sin(3.5\pi) = -1$.

Таким образом, мы показали, что непрерывная на интервале $(2; 5)$ функция $f(x) = \sin(\pi x)$ достигает на этом интервале как своего наибольшего значения (1), так и своего наименьшего значения (-1).

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$. Она достигает своего наибольшего значения $1$ в точке $x=2.5$ и своего наименьшего значения $-1$ в точке $x=3.5$, обе точки лежат внутри интервала.