Страница 228, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

58.14 a) $x \le 5$;

б) $x > -4$;

в) $y \ge -3$;

г) $y < 2.

а) Чтобы построить множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \le 5$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить граничную прямую. Граничным уравнением для данного неравенства является $x = 5$. Это уравнение задает вертикальную прямую, которая проходит через точку $(5, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат ($Oy$). Каждая точка на этой прямой имеет координату $x$, равную 5.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "меньше или равно" ($ \le $) является нестрогим. Это означает, что точки, лежащие на самой прямой $x = 5$, также удовлетворяют неравенству и являются частью решения. Поэтому граничная прямая изображается сплошной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $x \le 5$ требует, чтобы абсцисса (координата $x$) любой точки из искомого множества была меньше или равна 5. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные на прямой $x = 5$ и все точки, находящиеся слева от этой прямой.
Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = 5$, включая саму прямую.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, ограниченная вертикальной прямой $x=5$ и расположенная слева от нее, включая саму прямую.

б) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $x > -4$, действуем аналогично:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $x = -4$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4, 0)$ на оси абсцисс и параллельная оси ординат.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "больше" ($ > $) является строгим. Это значит, что точки, лежащие на прямой $x = -4$, не входят в множество решений. Поэтому граничная прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.
3. Определить область решения. Неравенство $x > -4$ означает, что абсцисса точек должна быть строго больше -4. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные справа от прямой $x = -4$.
Искомое множество — это открытая полуплоскость справа от прямой $x = -4$.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=-4$. Сама прямая в множество не входит.

в) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge -3$:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $y = -3$. Это горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, -3)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс ($Ox$). Каждая точка на этой прямой имеет координату $y$, равную -3.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "больше или равно" ($ \ge $) — нестрогий. Следовательно, точки на прямой $y = -3$ являются частью решения, и прямая изображается сплошной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $y \ge -3$ требует, чтобы ордината (координата $y$) любой точки из множества была больше или равна -3. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y = -3$ и все точки, расположенные выше этой прямой.
Искомое множество — это полуплоскость над прямой $y = -3$, включая саму прямую.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y=-3$ и расположенная выше нее, включая саму прямую.

г) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $y < 2$:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $y = 2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат и параллельная оси абсцисс.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "меньше" ($ < $) — строгий. Это означает, что точки на самой прямой $y = 2$ не входят в решение. Прямая изображается пунктирной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $y < 2$ означает, что ордината точек должна быть строго меньше 2. Этому условию удовлетворяют все точки координатной плоскости, расположенные ниже прямой $y = 2$.
Искомое множество — это открытая полуплоскость под прямой $y = 2$.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=2$. Сама прямая в множество не входит.

58.15 а) $x + 2y \le 3$;

б) $x - y > -4$;

В) $3x + 2y \ge -5$;

Г) $x - 3y < 4$.

а) $x + 2y \le 3$

Чтобы решить это линейное неравенство с двумя переменными, выразим одну переменную через другую. Удобнее всего выразить $y$.

1. Перенесем член $x$ из левой части в правую, изменив его знак:

$2y \le 3 - x$

2. Разделим обе части неравенства на 2. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства ($\le$) не меняется:

$y \le \frac{3 - x}{2}$

3. Запишем правую часть в виде $y \le kx + b$:

$y \le 1.5 - 0.5x$

Решением является полуплоскость, лежащая ниже прямой $y = -0.5x + 1.5$, включая саму прямую.

Ответ: $y \le -0.5x + 1.5$

б) $x - y > -4$

Выразим переменную $y$ через $x$.

1. Перенесем $x$ в правую часть:

$-y > -4 - x$

2. Умножим (или разделим) обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства (>) меняется на противоположный (<):

$y < 4 + x$

Решением является полуплоскость, лежащая ниже прямой $y = x + 4$. Сама прямая в решение не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: $y < x + 4$

в) $3x + 2y \ge -5$

Выразим переменную $y$ через $x$.

1. Перенесем член $3x$ в правую часть:

$2y \ge -5 - 3x$

2. Разделим обе части на 2. Знак неравенства ($\ge$) сохраняется:

$y \ge \frac{-5 - 3x}{2}$

3. Запишем в более удобном виде:

$y \ge -1.5x - 2.5$

Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -1.5x - 2.5$, включая саму прямую.

Ответ: $y \ge -1.5x - 2.5$

г) $x - 3y < 4$

Выразим переменную $y$ через $x$.

1. Перенесем $x$ в правую часть:

$-3y < 4 - x$

2. Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства (<) меняется на противоположный (>):

$y > \frac{4 - x}{-3}$

3. Упростим выражение в правой части, поменяв знаки в числителе и знаменателе:

$y > \frac{-(x - 4)}{-3}$

$y > \frac{x - 4}{3}$

4. Запишем в виде $y > kx + b$:

$y > \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$

Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$. Сама прямая в решение не входит.

Ответ: $y > \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$

58.16 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

a) $\begin{cases} x + y \ge 3, \\ 2x - 3y \le 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y \ge 1, \\ x + y \le 1, \\ x \le 2y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y \ge 3, \\ x + 3y \le -2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y \ge 2x, \\ x + y \le 3y, \\ 5x \le 2y - 7. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x+y \ge 3 \\ 2x-3y \le 1 \end{cases} $

Решением системы является пересечение полуплоскостей, задаваемых каждым из неравенств.

1. Первое неравенство $x + y \ge 3$ можно переписать как $y \ge -x + 3$. Граничной линией является прямая $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Решением неравенства является полуплоскость, лежащая на этой прямой и выше нее.

2. Второе неравенство $2x - 3y \le 1$ можно переписать как $3y \ge 2x - 1$, или $y \ge \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Граничной линией является прямая $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Она проходит через точки $(2, 1)$ и $(-1, -1)$. Решением неравенства является полуплоскость, лежащая на этой прямой и выше нее.

Чтобы найти искомое множество, нужно найти пересечение этих двух полуплоскостей. Это будет бесконечная область (угол), вершина которого находится в точке пересечения граничных прямых.

Найдем точку пересечения:

$ \begin{cases} y = -x + 3 \\ y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \end{cases} $

$-x + 3 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$-3x + 9 = 2x - 1$

$5x = 10 \implies x = 2$

Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $y = -2 + 3 = 1$.

Вершина угла находится в точке $(2, 1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это угол, включая его границы. Вершина угла находится в точке $(2, 1)$, а его стороны лежат на лучах прямых $y = -x + 3$ и $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$, исходящих из этой точки и направленных в область, где $y$ принимает большие значения.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases} $

Перепишем неравенства, выразив $y$:

$ \begin{cases} y \le x - 1 \\ y \le -x + 1 \\ y \ge \frac{1}{2}x \end{cases} $

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись все три неравенства одновременно. Из третьего неравенства следует, что $y$ должен быть не меньше $\frac{1}{2}x$. Из первых двух следует, что $y$ должен быть не больше чем $x-1$ и не больше чем $-x+1$.

Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы выполнялась система неравенств для $x$:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x \le x - 1 \\ \frac{1}{2}x \le -x + 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$\frac{1}{2}x \le x - 1 \implies 1 \le x - \frac{1}{2}x \implies 1 \le \frac{1}{2}x \implies x \ge 2$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{2}x \le -x + 1 \implies \frac{1}{2}x + x \le 1 \implies \frac{3}{2}x \le 1 \implies x \le \frac{2}{3}$.

Таким образом, для существования решения необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x \ge 2$ и $x \le \frac{2}{3}$. Нет таких значений $x$, которые удовлетворяли бы обоим условиям, так как $[2, +\infty) \cap (-\infty, \frac{2}{3}] = \emptyset$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств, является пустым множеством.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases} $

Выразим $y$ в каждом неравенстве:

1. $x - 2y \ge 3 \implies -2y \ge -x + 3 \implies y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$. Граничная прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$. Решением является полуплоскость, лежащая на прямой и ниже нее.

2. $x + 3y \le -2 \implies 3y \le -x - 2 \implies y \le -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Граничная прямая $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Решением является полуплоскость, лежащая на прямой и ниже нее.

Найдем точку пересечения граничных прямых:

$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

$3x - 9 = -2x - 4$

$5x = 5 \implies x = 1$

Подставим $x=1$ в любое из уравнений: $y = \frac{1}{2}(1) - \frac{3}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$.

Точка пересечения (вершина угла) — $(1, -1)$.

Решением системы является пересечение двух полуплоскостей, то есть область, лежащая ниже обеих прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это угол, включая его границы. Вершина угла находится в точке $(1, -1)$, а его стороны лежат на лучах прямых $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$, исходящих из этой точки и направленных в область, где $y$ принимает меньшие значения.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases} $

Упростим каждое неравенство, выразив $y$:

$ \begin{cases} -y \ge x \implies y \le -x \\ x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x \\ 2y \ge 5x + 7 \implies y \ge \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \end{cases} $

Решением является множество точек $(x, y)$, которые лежат одновременно ниже (или на) прямой $y=-x$ и выше (или на) обеих прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$.

Найдем точки пересечения граничных прямых, которые будут являться вершинами искомой области.

1. Пересечение $y = -x$ и $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$:

$-x = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \implies -2x = 5x + 7 \implies -7x = 7 \implies x = -1$. Тогда $y = -(-1) = 1$. Вершина A: $(-1, 1)$.

2. Пересечение $y = \frac{1}{2}x$ и $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$:

$\frac{1}{2}x = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \implies x = 5x + 7 \implies -4x = 7 \implies x = -\frac{7}{4}$. Тогда $y = \frac{1}{2}(-\frac{7}{4}) = -\frac{7}{8}$. Вершина B: $(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$.

Точка пересечения прямых $y = -x$ и $y = \frac{1}{2}x$ — это $(0, 0)$, но она не удовлетворяет третьему неравенству ($0 \ge \frac{7}{2}$ — неверно), поэтому не является вершиной искомой области.

Множество решений — это неограниченная область, ограниченная сверху лучом прямой $y=-x$, исходящим из точки A влево, и снизу — ломаной, состоящей из отрезка AB и луча прямой $y=\frac{1}{2}x$, исходящего из точки B влево.

Ответ: Искомое множество точек — это неограниченная выпуклая область на плоскости, включающая свою границу. Граница состоит из двух лучей и отрезка между ними. Первый луч исходит из точки $A(-1, 1)$ и идет влево вдоль прямой $y=-x$. Второй луч исходит из точки $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$ и идет влево вдоль прямой $y=\frac{1}{2}x$. Эти лучи соединены отрезком прямой $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$ с концами в точках A и B.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

58.17 а) $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0;$

б) $x - 3 + |y + 2| \ge 2x + 5.$

a)

Рассмотрим неравенство $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0$.

Для решения этого неравенства необходимо раскрыть модуль $|x - 3|$. Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним. Критическая точка: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Разобьем решение на два случая:

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Подставим это в исходное неравенство:

$2(x - 3) + 2x - 3y \le 0$

$2x - 6 + 2x - 3y \le 0$

$4x - 6 - 3y \le 0$

Выразим $y$:

$4x - 6 \le 3y$

$y \ge \frac{4}{3}x - 2$

Таким образом, для $x \ge 3$ решением является множество точек, удовлетворяющих условию $y \ge \frac{4}{3}x - 2$. Это область на координатной плоскости, расположенная не ниже прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ в полуплоскости $x \ge 3$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, что равносильно $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Подставим это в исходное неравенство:

$2(3 - x) + 2x - 3y \le 0$

$6 - 2x + 2x - 3y \le 0$

$6 - 3y \le 0$

Выразим $y$:

$6 \le 3y$

$y \ge 2$

Таким образом, для $x < 3$ решением является множество точек, удовлетворяющих условию $y \ge 2$. Это область на координатной плоскости, расположенная не ниже прямой $y = 2$ в полуплоскости $x < 3$.

Искомое множество точек является объединением решений, найденных в обоих случаях. Границей этого множества является ломаная линия, состоящая из двух лучей. Найдем точку "излома", подставив $x=3$ в уравнения границ:

Для первого случая: $y = \frac{4}{3}(3) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Для второго случая граница — это $y = 2$.

Оба луча выходят из точки $(3, 2)$. Искомое множество — это все точки, лежащие на и выше ломаной, образованной лучами $y = 2$ при $x \le 3$ и $y = \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$.

Ответ: Искомое множество точек — это область координатной плоскости, ограниченная снизу ломаной линией, состоящей из двух лучей, исходящих из точки $(3, 2)$: луч прямой $y = 2$ для $x \le 3$ и луч прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ для $x \ge 3$. Множество включает в себя точки самой ломаной линии и все точки, расположенные выше неё.

б)

Рассмотрим неравенство $x - 3 + |y + 2| \ge 2x + 5$.

Для начала упростим неравенство, выразив член с модулем:

$|y + 2| \ge 2x + 5 - (x - 3)$

$|y + 2| \ge 2x + 5 - x + 3$

$|y + 2| \ge x + 8$

Неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$y + 2 \ge x + 8$ или $y + 2 \le -(x + 8)$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. $y + 2 \ge x + 8$

$y \ge x + 6$

Решением этого неравенства является полуплоскость, расположенная на и выше прямой $y = x + 6$.

2. $y + 2 \le -(x + 8)$

$y + 2 \le -x - 8$

$y \le -x - 10$

Решением этого неравенства является полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = -x - 10$.

Искомое множество точек на координатной плоскости является объединением множеств решений этих двух неравенств. Это все точки $(x, y)$, которые удовлетворяют либо первому, либо второму условию.

Границами области являются прямые $y = x + 6$ и $y = -x - 10$. Найдем их точку пересечения:

$x + 6 = -x - 10$

$2x = -16$

$x = -8$

Тогда $y = -8 + 6 = -2$.

Прямые пересекаются в точке $(-8, -2)$.

Искомое множество состоит из двух замкнутых полуплоскостей: одна ограничена снизу прямой $y=x+6$, а другая — сверху прямой $y=-x-10$.

Ответ: Искомое множество точек является объединением двух замкнутых полуплоскостей: множества точек, для которых $y \ge x + 6$, и множества точек, для которых $y \le -x - 10$. Графически это область, расположенная выше прямой $y=x+6$ (включая прямую), и область, расположенная ниже прямой $y=-x-10$ (включая прямую).

58.18 a) $|x + y| + 2x - y \ge 3;$

б) $\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \le 4.$

a) Для решения неравенства $|x+y| + |2x-y| \ge 3$ необходимо раскрыть модули. Знаки выражений под модулями меняются на прямых $x+y=0$ (то есть $y=-x$) и $2x-y=0$ (то есть $y=2x$). Эти прямые делят координатную плоскость на четыре области. Рассмотрим каждую из них.

1. Область, где $x+y \ge 0$ и $2x-y \ge 0$. Это соответствует условиям $y \ge -x$ и $y \le 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $(x+y) + (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $3x \ge 3$, то есть $x \ge 1$.
Таким образом, в этой области решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y \ge -x \\ y \le 2x \\ x \ge 1 \end{cases}$.

2. Область, где $x+y \ge 0$ и $2x-y < 0$. Это соответствует условиям $y \ge -x$ и $y > 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $(x+y) - (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $-x+2y \ge 3$, то есть $y \ge \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y \ge -x \\ y > 2x \\ y \ge \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \end{cases}$.

3. Область, где $x+y < 0$ и $2x-y < 0$. Это соответствует условиям $y < -x$ и $y > 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $-(x+y) - (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $-3x \ge 3$, то есть $x \le -1$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y < -x \\ y > 2x \\ x \le -1 \end{cases}$.

4. Область, где $x+y < 0$ и $2x-y \ge 0$. Это соответствует условиям $y < -x$ и $y \le 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $-(x+y) + (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $x-2y \ge 3$, то есть $y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y < -x \\ y \le 2x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases}$.

Объединение этих четырех множеств является решением исходного неравенства. Граница области решений задается уравнением $|x+y| + |2x-y| = 3$. Эта граница представляет собой параллелограмм. Найдем его вершины путем пересечения граничных прямых из полученных систем: $x=1$, $y=\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, $x=-1$ и $y=\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
Вершины параллелограмма: A(1, 2), B(-1, 1), C(-1, -2), D(1, -1).
Поскольку исходное неравенство нестрогое ($\ge$), решением является область, включающая границу этого параллелограмма и всю плоскость вне его.

Ответ: Множество решений представляет собой все точки координатной плоскости, которые лежат на сторонах или вне параллелограмма с вершинами в точках (1, 2), (-1, 1), (-1, -2) и (1, -1).

б) Рассмотрим неравенство $\frac{|x+y|}{x+y}x + |x+y| + y \le 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется знаменателем дроби, то есть $x+y \neq 0$. Это означает, что прямая $y=-x$ не является частью множества решений.
Выражение $\frac{|x+y|}{x+y}$ является знаковой функцией от $x+y$. Оно равно 1 при $x+y>0$ и -1 при $x+y<0$. Рассмотрим эти два случая.

1. Случай $x+y > 0$ (полуплоскость выше прямой $y=-x$).
В этом случае $|x+y|=x+y$ и $\frac{|x+y|}{x+y}=1$. Неравенство преобразуется к виду:
$1 \cdot x + (x+y) + y \le 4$
$2x + 2y \le 4$
$x+y \le 2$
Совмещая с условием $x+y > 0$, получаем для этого случая решение $0 < x+y \le 2$. Геометрически это полоса между прямыми $y=-x$ и $y=-x+2$, причем прямая $y=-x+2$ входит в решение, а прямая $y=-x$ — нет.

2. Случай $x+y < 0$ (полуплоскость ниже прямой $y=-x$).
В этом случае $|x+y|=-(x+y)$ и $\frac{|x+y|}{x+y}=-1$. Неравенство преобразуется к виду:
$(-1) \cdot x - (x+y) + y \le 4$
$-x - x - y + y \le 4$
$-2x \le 4$
$x \ge -2$
Решением в этом случае является пересечение двух условий: $x+y < 0$ и $x \ge -2$. Геометрически это область, расположенная одновременно справа от вертикальной прямой $x=-2$ (включая саму прямую) и ниже прямой $y=-x$ (не включая ее).

Итоговое множество решений является объединением множеств, полученных в обоих случаях.

Ответ: Множество решений является объединением двух областей:
1) полосы, определяемой двойным неравенством $0 < x+y \le 2$;
2) области, определяемой системой неравенств $\begin{cases} x+y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases}$.

58.19 а) $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$

б) $\sqrt{1 - y} \le \sqrt{1 - 2x^2}$

В) $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$

Г) $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$

а) Исходное неравенство: $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$.

Данное иррациональное неравенство равносильно системе, включающей в себя область допустимых значений (ОДЗ) и результат возведения в квадрат обеих частей неравенства. Так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ монотонно возрастающая, неравенство $\sqrt{A} < \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ A < B \end{cases}$. Условие $B > A \ge 0$ гарантирует, что и подкоренное выражение $B$ также неотрицательно, поэтому условие $B \ge 0$ можно было бы вывести, но для ясности лучше начать с полной ОДЗ.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \end{cases}$

2. Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{3x - y - 1})^2 < (\sqrt{2x + y - 1})^2$
$3x - y - 1 < 2x + y - 1$
$3x - 2x < y + y$
$x < 2y$, что эквивалентно $y > \frac{x}{2}$.

3. Объединим все условия в одну систему:
$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$

Выразим $y$ в каждом неравенстве, чтобы было удобнее интерпретировать решение графически:
$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$
Решением является область на координатной плоскости, ограниченная сверху прямой $y = 3x - 1$, снизу прямой $y = -2x + 1$ и находящаяся строго выше прямой $y = \frac{x}{2}$.

Ответ: $\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$

б) Исходное неравенство: $\sqrt{1 - y} \le \sqrt{1 - 2x^2}$.

Неравенство вида $\sqrt{A} \le \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ A \le B \end{cases}$. Условие $B \ge A \ge 0$ гарантирует, что и $B$ неотрицательно.

1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 1 - y \ge 0 \\ 1 - y \le 1 - 2x^2 \end{cases}$

2. Упростим эту систему:
$\begin{cases} y \le 1 \\ -y \le -2x^2 \end{cases}$
Умножим второе неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\begin{cases} y \le 1 \\ y \ge 2x^2 \end{cases}$

3. Объединим в двойное неравенство:
$2x^2 \le y \le 1$.
Это и есть решение. Заметим, что из этого решения автоматически следует выполнение ОДЗ для второго корня: $2x^2 \le y \le 1 \implies 2x^2 \le 1 \implies 1-2x^2 \ge 0$.

Ответ: $2x^2 \le y \le 1$

в) Исходное неравенство: $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$.

Неравенство вида $\sqrt{A} > \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A > B \end{cases}$. Условие $A > B \ge 0$ гарантирует, что и $A$ неотрицательно.

1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 2x - y \ge 0 \\ x + y - 1 > 2x - y \end{cases}$

2. Упростим эту систему:
Из первого неравенства: $y \le 2x$.
Из второго неравенства: $y + y > 2x - x + 1 \implies 2y > x + 1 \implies y > \frac{x + 1}{2}$.

3. Запишем итоговую систему:
$\begin{cases} y \le 2x \\ y > \frac{x + 1}{2} \end{cases}$
Решением является область на координатной плоскости, расположенная между прямыми $y = \frac{x+1}{2}$ (не включая саму прямую) и $y = 2x$ (включая прямую).

Ответ: $\begin{cases} y \le 2x \\ y > \frac{x + 1}{2} \end{cases}$

г) Исходное неравенство: $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.

Неравенство вида $\sqrt{A} \ge \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A \ge B \end{cases}$. Условие $A \ge B \ge 0$ гарантирует, что и $A$ неотрицательно.

1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 \ge 2x - 1 \end{cases}$

2. Упростим эту систему:
Из первого неравенства: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
Из второго неравенства: $y^2 \ge 2x$.

3. Запишем итоговую систему:
$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ y^2 \ge 2x \end{cases}$
Заметим, что из этой системы автоматически следует выполнение ОДЗ для первого корня: $x \ge \frac{1}{2} \implies 2x \ge 1$. Тогда из $y^2 \ge 2x$ следует, что $y^2 \ge 1$, а значит $y^2 - 1 \ge 0$.
Решением является часть плоскости правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$ (включая прямую), которая лежит "снаружи" от параболы $y^2 = 2x$ (включая точки на самой параболе).

Ответ: $\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ y^2 \ge 2x \end{cases}$

58.20 a) $xy \le 2;$

б) $y < \frac{2}{|x|};$

В) $|x| \cdot y < 2;$

Г) $|x| < \frac{2}{y}.$

а) Рассмотрим неравенство $xy \le 2$. Для нахождения множества точек, удовлетворяющих этому неравенству, проанализируем его в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x > 0$, можно разделить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства: $y \le \frac{2}{x}$. Это соответствует области, расположенной на и ниже ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в первой координатной четверти.

2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{2}{x}$. Это соответствует области, расположенной на и выше ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в третьей координатной четверти.

3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot y \le 2$, что упрощается до $0 \le 2$. Это неравенство верно для любого значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.

Итоговое множество является объединением этих трех случаев. Оно включает в себя точки на самой гиперболе $y = \frac{2}{x}$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y = \frac{2}{x}$, включая саму гиперболу и всю ось ординат.

б) Рассмотрим неравенство $y < \frac{2}{|x|}$.

Прежде всего, заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это означает, что ось ординат ($x=0$) не входит в область решения.

Граница области задается уравнением $y = \frac{2}{|x|}$. Раскроем модуль:

• При $x > 0$, уравнение принимает вид $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой четверти.
• При $x < 0$, уравнение принимает вид $y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы во второй четверти.

Неравенство $y < \frac{2}{|x|}$ означает, что для каждого $x \ne 0$ искомые точки $(x, y)$ должны лежать строго ниже соответствующей точки на графике $y = \frac{2}{|x|}$. Так как неравенство строгое, сама граница (ветви гиперболы) в решение не входит.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, за исключением точек на оси ординат.

в) Рассмотрим неравенство $|x| \cdot y < 2$.

Разобьем решение на два случая:

1. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $|0| \cdot y < 2$, то есть $0 < 2$. Это верное неравенство для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.

2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $|x|$ без изменения знака неравенства: $y < \frac{2}{|x|}$. Это неравенство совпадает с неравенством из пункта б). Его решением является множество точек, лежащих строго ниже графика $y = \frac{2}{|x|}$.

Общее решение является объединением решений из этих двух случаев.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, а также все точки на оси ординат.

г) Рассмотрим неравенство $|x| < \frac{2}{y}$.

Для того чтобы неравенство имело смысл, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $y \ne 0$.

Левая часть неравенства, $|x|$, всегда неотрицательна: $|x| \ge 0$. Чтобы неравенство $|x| < \frac{2}{y}$ могло выполняться, правая часть должна быть строго положительной: $\frac{2}{y} > 0$. Это возможно только при $y > 0$. Таким образом, все решения находятся в верхней полуплоскости.

При $y > 0$ неравенство $|x| < \frac{2}{y}$ равносильно двойному неравенству $-\frac{2}{y} < x < \frac{2}{y}$.

Это неравенство описывает область, заключенную между кривыми $x = -\frac{2}{y}$ и $x = \frac{2}{y}$. Выразим $y$ через $x$ для этих кривых: $y = -\frac{2}{x}$ (для $x < 0, y > 0$) и $y = \frac{2}{x}$ (для $x > 0, y > 0$).

Поскольку исходное неравенство строгое, граничные кривые в решение не входят.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, расположенных в верхней полуплоскости ($y > 0$) строго между ветвями гипербол $y = \frac{2}{x}$ (для $x>0$) и $y = -\frac{2}{x}$ (для $x<0$).

58.21 a) $|x| + |y| \le 4;$

б) $2|x| + 3|y| \le 6.$

а) $|x| + |y| \le 4$

Данное неравенство определяет множество точек на координатной плоскости $(x, y)$. Чтобы найти это множество, сначала рассмотрим граничное уравнение $|x| + |y| = 4$. Из-за наличия модулей, фигура, описываемая этим уравнением, будет симметрична относительно обеих координатных осей и начала координат.

Рассмотрим уравнение в каждом из четырёх координатных квадрантов:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $x + y = 4$. Это отрезок прямой линии, соединяющий точки на осях $(4, 0)$ и $(0, 4)$.
• Во II квадранте ($x < 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $-x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 4)$ и $(-4, 0)$.
• В III квадранте ($x < 0, y < 0$): уравнение принимает вид $-x - y = 4$, что эквивалентно $x + y = -4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.
• В IV квадранте ($x \ge 0, y < 0$): уравнение принимает вид $x - y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

Объединив эти четыре отрезка, мы получаем замкнутую фигуру — квадрат, вершины которого находятся в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

Поскольку исходное условие представляет собой неравенство $|x| + |y| \le 4$, решением является не только граница этого квадрата, но и все точки внутри него. Чтобы убедиться в этом, можно взять пробную точку внутри фигуры, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив её в неравенство, получим: $|0| + |0| = 0 \le 4$. Так как неравенство выполняется, вся внутренняя область квадрата является частью решения.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой замкнутую область, ограниченную квадратом с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

б) $2|x| + 3|y| \le 6$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала рассмотрим граничное уравнение $2|x| + 3|y| = 6$. Эта фигура также будет симметрична относительно осей координат.

Рассмотрим уравнение в каждом из четырёх квадрантов:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение имеет вид $2x + 3y = 6$. Найдем точки пересечения с осями: если $y=0$, то $2x=6 \implies x=3$; если $x=0$, то $3y=6 \implies y=2$. Это отрезок, соединяющий точки $(3, 0)$ и $(0, 2)$.
• Во II квадранте ($x < 0, y \ge 0$): уравнение имеет вид $-2x + 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(-3, 0)$.
• В III квадранте ($x < 0, y < 0$): уравнение имеет вид $-2x - 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.
• В IV квадранте ($x \ge 0, y < 0$): уравнение имеет вид $2x - 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(0, -2)$ и $(3, 0)$.

Эти четыре отрезка образуют ромб с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.

Неравенство $2|x| + 3|y| \le 6$ означает, что решением является сам ромб и все точки, находящиеся внутри него. Проверим это, подставив координаты точки $(0, 0)$: $2|0| + 3|0| = 0 \le 6$. Неравенство истинно, следовательно, внутренняя область ромба входит в решение.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой замкнутую область, ограниченную ромбом с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.

1. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) непрерывная функция на отрезке достигает своего наибольшего значения;

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

в) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего значения;

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

д) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего и наибольшего значения;

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значения?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к фундаментальной теореме математического анализа — первой теореме Вейерштрасса. Эта теорема гласит, что любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней, то есть своего наибольшего и наименьшего значений.

Рассмотрим каждое утверждение в отдельности:

а) непрерывная функция на отрезке достигает своего наибольшего значения;
Это утверждение является прямым следствием первой теоремы Вейерштрасса. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то существует точка $c \in [a, b]$, в которой функция принимает свое максимальное значение: $f(c) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$. Таким образом, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;
Это утверждение прямо противоречит первой теореме Вейерштрасса. Для любой непрерывной функции на отрезке обязательно существует точка, в которой достигается наибольшее значение. Следовательно, такой функции не существует, и утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего значения;
Аналогично пункту а), это утверждение также является прямым следствием первой теоремы Вейерштрасса. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то существует точка $d \in [a, b]$, в которой функция принимает свое минимальное значение: $f(d) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$. Таким образом, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;
Это утверждение, как и утверждение б), противоречит первой теореме Вейерштрасса. Наименьшее значение для непрерывной функции на отрезке всегда достигается. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

д) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего и наибольшего значения;
Это утверждение является полной и точной формулировкой первой теоремы Вейерштрасса. Оно объединяет верные утверждения а) и в). Поскольку обе части утверждения истинны, все утверждение целиком является верным. Это наиболее полное описание свойства непрерывных функций на отрезке из всех предложенных вариантов.
Ответ: верно.

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значения?
Это утверждение (сформулированное в виде вопроса) является ложным, так как оно отрицает первую теорему Вейерштрасса в обеих ее частях. Как было показано выше, непрерывная функция на отрезке всегда достигает и наименьшего, и наибольшего значения. Следовательно, такой функции не существует.
Ответ: неверно.

Итоговый вывод:
Верными являются утверждения а), в) и д). Однако, вопрос "Какое из приведённых ниже утверждений верно?" в единственном числе обычно подразумевает выбор одного, наиболее правильного ответа. Утверждения а) и в) являются частными случаями (следствиями) утверждения д), которое представляет собой полную формулировку теоремы Вейерштрасса. Поэтому утверждение д) является наиболее полным и точным ответом.

Ответ: д).