Страница 227, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

58.4 a) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0;$

В) $x^2 + 2xy + y^2 = 0;$

Г) $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Разложим выражение на множители:

$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $x - y = 0$, откуда следует, что $x = y$.
2. $x + y = 0$, откуда следует, что $x = -y$.

Ответ: $x = y$ или $x = -y$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0$.
Это однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$.

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=7y$, $c=-18y^2$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (7y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18y^2) = 49y^2 + 72y^2 = 121y^2 = (11y)^2$.

Теперь найдем корни для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-7y \pm \sqrt{(11y)^2}}{2} = \frac{-7y \pm 11y}{2}$.

Это дает нам два решения:
1. $x_1 = \frac{-7y + 11y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.
2. $x_2 = \frac{-7y - 11y}{2} = \frac{-18y}{2} = -9y$.

Ответ: $x = 2y$ или $x = -9y$.

в)

Дано уравнение $x^2 + 2xy + y^2 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Свернем выражение в полный квадрат:
$(x + y)^2 = 0$.

Квадрат выражения равен нулю только в том случае, если само выражение равно нулю:
$x + y = 0$.

Отсюда получаем решение: $x = -y$.

Ответ: $x = -y$.

г)

Дано уравнение $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$.
Это также однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3y$, $c=2y^2$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.

Найдем корни для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-3y) \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$.

Это дает нам два решения:
1. $x_1 = \frac{3y + y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.
2. $x_2 = \frac{3y - y}{2} = \frac{2y}{2} = y$.

Ответ: $x = y$ или $x = 2y$.

58.6 a) $|x| + |y| = x + y;$

б) $|x| + |y| = y - x;$

В) $|x| + |y| = x - y;$

Г) $|x| + |y| = -x - y.$

Для решения данных уравнений воспользуемся свойством модуля: для любого действительного числа $a$ выполняются неравенства $|a| \ge a$ и $|a| \ge -a$. Из этих неравенств следуют два важных факта:

1. $|a| - a \ge 0$, причем равенство $|a| - a = 0$ (или $|a|=a$) достигается тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.
2. $|a| + a \ge 0$, причем равенство $|a| + a = 0$ (или $|a|=-a$) достигается тогда и только тогда, когда $a \le 0$.

Также будем использовать тот факт, что сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.

а) $|x| + |y| = x + y$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$|x| + |y| - x - y = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(|x| - x) + (|y| - y) = 0$

Как было показано выше, выражения $(|x| - x)$ и $(|y| - y)$ являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x| - x = 0 \\ |y| - y = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = x \\ |y| = y \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением уравнения является множество всех точек $(x, y)$, у которых обе координаты неотрицательны. Геометрически это соответствует первому координатному углу, включая его границы (положительные полуоси и начало координат).

Ответ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

б) $|x| + |y| = y - x$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| + x) + (|y| - y) = 0$

Выражения $(|x| + x)$ и $(|y| - y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| + x = 0 \\ |y| - y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = -x \\ |y| = y \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых абсцисса неположительна, а ордината неотрицательна. Геометрически это второй координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

в) $|x| + |y| = x - y$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| - x) + (|y| + y) = 0$

Выражения $(|x| - x)$ и $(|y| + y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| - x = 0 \\ |y| + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = x \\ |y| = -y \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых абсцисса неотрицательна, а ордината неположительна. Геометрически это четвертый координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

г) $|x| + |y| = -x - y$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| + x) + (|y| + y) = 0$

Выражения $(|x| + x)$ и $(|y| + y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| + x = 0 \\ |y| + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = -x \\ |y| = -y \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых обе координаты неположительны. Геометрически это третий координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.

58.7 a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

Б) $|y| = \sqrt{4 - x^2}$;

В) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

Г) $x = \sqrt{4 - y^2}$.

а) Данное уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ определяет график функции $y(x)$.

1. Анализ уравнения.
Во-первых, найдём область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 \le 4$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Во-вторых, по определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. Следовательно, $y \ge 0$. Это означает, что график функции будет расположен в верхней полуплоскости (выше оси $Ox$).

2. Преобразование уравнения.
Чтобы определить форму графика, возведём обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
$y^2 = 4 - x^2$
Перенесём $x^2$ в левую часть:
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ (или $x^2 + y^2 = 2^2$) является каноническим уравнением окружности с центром в начале координат, точке (0, 0), и радиусом $r = 2$. Учитывая ограничение $y \ge 0$ из первоначального уравнения, мы заключаем, что график представляет собой только верхнюю часть этой окружности.

Ответ: Графиком является верхняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

б) Рассмотрим уравнение $|y| = \sqrt{4 - x^2}$.

1. Анализ уравнения.
Область определения для $x$ такая же, как в пункте а): $-2 \le x \le 2$. Обе части уравнения неотрицательны ($|y| \ge 0$ и $\sqrt{4 - x^2} \ge 0$).

2. Преобразование уравнения.
Возведение в квадрат в данном случае является равносильным преобразованием, так как обе части неотрицательны.
$(|y|)^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
Поскольку $(|y|)^2 = y^2$, получаем:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
В результате преобразований мы получили уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2^2$ с центром в (0, 0) и радиусом 2. Так как преобразование было равносильным, никаких дополнительных ограничений на знак $y$ не накладывается (в отличие от пункта а)). Уравнение $|y| = \sqrt{4-x^2}$ объединяет два случая: $y = \sqrt{4-x^2}$ (верхняя полуокружность) и $y = -\sqrt{4-x^2}$ (нижняя полуокружность). Вместе они образуют полную окружность.

Ответ: Графиком уравнения является полная окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

в) Рассмотрим уравнение $y = -\sqrt{4 - x^2}$.

1. Анализ уравнения.
Область определения для $x$ не изменилась: $-2 \le x \le 2$. Значение квадратного корня $\sqrt{4 - x^2}$ неотрицательно. Из-за знака минус перед корнем, значение $y$ всегда будет неположительным, то есть $y \le 0$. График будет расположен в нижней полуплоскости (ниже оси $Ox$).

2. Преобразование уравнения.
Возведем обе части в квадрат:
$y^2 = (-\sqrt{4 - x^2})^2$
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Мы вновь получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2. С учётом ограничения $y \le 0$ из исходного уравнения, решением является только та часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости.

Ответ: Графиком является нижняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

г) Рассмотрим уравнение $x = \sqrt{4 - y^2}$. В этом случае $x$ выражен через $y$.

1. Анализ уравнения.
Найдём область определения для переменной $y$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4 - y^2 \ge 0$, что даёт $y^2 \le 4$, или $-2 \le y \le 2$.
Поскольку $x$ равен значению арифметического квадратного корня, то $x \ge 0$. Это значит, что график будет расположен в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).

2. Преобразование уравнения.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{4 - y^2})^2$
$x^2 = 4 - y^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2. Принимая во внимание начальное условие $x \ge 0$, мы заключаем, что график представляет собой правую часть этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является правая полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

58.8 a) $y = \sqrt{1 - x^2};$

б) $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2};$

В) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2};$

Г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3.$

а) $y = \sqrt{1 - x^2}$

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$.
Область определения функции находится из условия подкоренного выражения: $1 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$.
Так как по определению арифметического квадратного корня его значение всегда неотрицательно, то $y \ge 0$.
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = (\sqrt{1 - x^2})^2$
$y^2 = 1 - x^2$
Перенеся $x^2$ в левую часть, получим каноническое уравнение окружности:
$x^2 + y^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$.
Однако, исходное уравнение содержит условие $y \ge 0$, поэтому мы должны взять только ту часть окружности, которая лежит выше или на оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

б) $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$

Рассмотрим уравнение $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$.
Левая часть уравнения, $|y|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|y| \ge 0$.
Правая часть уравнения, $-\sqrt{1 - (x - 1)^2}$, всегда неположительна (или равна нулю), так как значение квадратного корня $\sqrt{1 - (x - 1)^2}$ неотрицательно, а перед ним стоит знак «минус».
Равенство между неотрицательной и неположительной величиной возможно только в одном случае: когда обе части равны нулю.
$|y| = 0$ и $-\sqrt{1 - (x - 1)^2} = 0$.
Из первого уравнения следует, что $y = 0$.
Из второго уравнения следует, что $1 - (x - 1)^2 = 0$, или $(x - 1)^2 = 1$.
Извлекая корень, получаем два варианта:
1) $x - 1 = 1 \implies x = 2$
2) $x - 1 = -1 \implies x = 0$
Таким образом, уравнение имеет решение только при $y=0$ и при $x=0$ или $x=2$.

Ответ: График представляет собой две изолированные точки: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

в) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$

Рассмотрим уравнение $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$.
Выразим $y$: $y = -\sqrt{1 - x^2} - 2$.
График этой функции можно получить из графика функции $y_1 = -\sqrt{1 - x^2}$ путем сдвига на 2 единицы вниз по оси $Oy$.
Рассмотрим функцию $y_1 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возведем обе части в квадрат: $y_1^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + y_1^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом 1. Так как в уравнении для $y_1$ перед корнем стоит минус, $y_1 \le 0$, что соответствует нижней полуокружности.
Следовательно, график исходной функции — это нижняя полуокружность, сдвинутая на 2 единицы вниз.
Можно также преобразовать исходное уравнение. Возведем в квадрат обе части $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$ (учитывая, что $y+2 \le 0$, то есть $y \le -2$):
$(y + 2)^2 = 1 - x^2$
$x^2 + (y + 2)^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $r=1$. Условие $y \le -2$ означает, что мы берем только нижнюю половину этой окружности.

Ответ: Графиком является нижняя полуокружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 1.

г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3$

Рассмотрим уравнение $|y| = 3 - \sqrt{1 - x^2}$.
Область определения задается условием $1 - x^2 \ge 0$, то есть $-1 \le x \le 1$.
Так как $|y| \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{1 - x^2} \ge 0$, или $\sqrt{1 - x^2} \le 3$. В области определения $x \in [-1, 1]$ максимальное значение $\sqrt{1-x^2}$ равно 1 (при $x=0$), поэтому это неравенство всегда выполняется.
Уравнение вида $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$.
1) $y = 3 - \sqrt{1 - x^2} \implies y - 3 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возводим в квадрат (при условии $y-3 \le 0$): $(y - 3)^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + (y - 3)^2 = 1$. Это нижняя полуокружность с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1.
2) $y = -(3 - \sqrt{1 - x^2}) = \sqrt{1 - x^2} - 3 \implies y + 3 = \sqrt{1 - x^2}$. Возводим в квадрат (при условии $y+3 \ge 0$): $(y + 3)^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + (y + 3)^2 = 1$. Это верхняя полуокружность с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1.
Таким образом, график состоит из двух полуокружностей, симметричных относительно оси абсцисс.

Ответ: График состоит из двух частей: нижней полуокружности окружности $x^2 + (y - 3)^2 = 1$ (центр в $(0, 3)$, радиус 1) и верхней полуокружности окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ (центр в $(0, -3)$, радиус 1).

58.9 a) $ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16; $

б) $ (x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16; $

в) $ (|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16; $

г) $ (|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16. $

а) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Данное уравнение является каноническим уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Сравнивая с общей формулой, находим параметры окружности:

• Центр окружности находится в точке $(x_0, y_0) = (1, 2)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|y|$, что означает симметрию графика относительно оси Ox. Если точка $(x, y)$ удовлетворяет уравнению, то и точка $(x, -y)$ тоже ему удовлетворяет, так как $|y| = |-y|$.

Для построения графика можно рассмотреть два случая:

1. Если $y \geq 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, что эквивалентно $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$, расположенная в нижней полуплоскости ($y < 0$).

Искомая фигура является объединением этих двух дуг окружностей.

Ответ: Фигура, состоящая из двух дуг окружностей: части окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $y \geq 0$ и части окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$ при $y < 0$.

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|x|$, что означает симметрию графика относительно оси Oy. Если точка $(x, y)$ удовлетворяет уравнению, то и точка $(-x, y)$ тоже ему удовлетворяет, так как $|x| = |-x|$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в правой полуплоскости ($x \geq 0$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $(-x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, что эквивалентно $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в левой полуплоскости ($x < 0$).

Искомая фигура является объединением этих двух дуг окружностей.

Ответ: Фигура, состоящая из двух дуг окружностей: части окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x \geq 0$ и части окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x < 0$.

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|x|$ и $|y|$, что означает симметрию графика относительно обеих осей координат (Ox и Oy), а также относительно начала координат.

Для построения графика рассмотрим четыре случая, по одному для каждой координатной четверти:

1. Первая четверть ($x \geq 0, y \geq 0$): $|x| = x, |y| = y$. Уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$.

2. Вторая четверть ($x < 0, y \geq 0$): $|x| = -x, |y| = y$. Уравнение: $(-x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, или $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$.

3. Третья четверть ($x < 0, y < 0$): $|x| = -x, |y| = -y$. Уравнение: $(-x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, или $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(-1, -2)$ и радиусом $4$.

4. Четвертая четверть ($x \geq 0, y < 0$): $|x| = x, |y| = -y$. Уравнение: $(x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, или $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$.

Итоговая фигура является объединением этих четырех дуг.

Ответ: Фигура, состоящая из четырех дуг окружностей. В первой четверти это дуга окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$; во второй — дуга окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$; в третьей — дуга окружности $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$; в четвертой — дуга окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Все окружности имеют радиус $4$.

58.10 Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком:

а) $2|x| + 3|y| = 6;$

б) $0.5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2.$

а) $2|x| + 3|y| = 6$

Чтобы построить график данного уравнения, необходимо рассмотреть его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули. Поскольку в уравнение входят $|x|$ и $|y|$, график будет симметричен относительно обеих координатных осей (оси Ox и оси Oy). Это позволяет нам построить часть графика только в одной четверти, а затем отобразить ее симметрично, чтобы получить полный график.
Рассмотрим первую координатную четверть, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$. В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение принимает вид:
$2x + 3y = 6$
Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
- При $x = 0$, получаем $3y = 6$, откуда $y = 2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 2)$.
- При $y = 0$, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Точка пересечения с осью Ox — $(3, 0)$.
Таким образом, в первой четверти график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(3, 0)$ и $(0, 2)$.
Теперь, используя свойство симметрии, отражаем этот отрезок относительно оси Oy (получаем отрезок между точками $(-3, 0)$ и $(0, 2)$) и относительно оси Ox (получаем отрезки, соединяющие точки $(3, 0)$ с $(0, -2)$ и $(-3, 0)$ с $(0, -2)$).
В результате получается замкнутая фигура — ромб, вершины которого находятся в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.

Для вычисления площади полученной фигуры (ромба) найдем длины его диагоналей. Диагонали ромба лежат на осях координат.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$, лежащей на оси Ox, равна расстоянию между точками $(3, 0)$ и $(-3, 0)$: $d_1 = 3 - (-3) = 6$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$, лежащей на оси Oy, равна расстоянию между точками $(0, 2)$ и $(0, -2)$: $d_2 = 2 - (-2) = 4$.
Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.
Подставляем значения длин диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12.

б) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$

Данное уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а), поэтому его график также будет симметричен относительно обеих координатных осей.
Рассмотрим уравнение в первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$), где оно принимает вид:
$0,5x + \frac{1}{3}y = 2$
Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
- При $x = 0$, получаем $\frac{1}{3}y = 2$, откуда $y = 6$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 6)$.
- При $y = 0$, получаем $0,5x = 2$, откуда $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox — $(4, 0)$.
В первой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, 6)$.
За счет симметрии относительно осей, полная фигура является ромбом с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 6)$, $(-4, 0)$ и $(0, -6)$.

Теперь вычислим площадь этого ромба. Его диагонали лежат на осях координат.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ (по оси Ox) равна $4 - (-4) = 8$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ (по оси Oy) равна $6 - (-6) = 12$.
Площадь ромба: $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.
Подставляем найденные значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48.

Решите уравнение в целых числах:

58.11 a) $x + 2y = 7;$

б) $5x + y = 17.$

а) $x + 2y = 7$

Дано линейное уравнение с двумя переменными. Требуется найти все его целочисленные решения. Такие уравнения также называют диофантовыми.

Для нахождения решений выразим одну переменную через другую. В данном случае удобнее выразить $x$ через $y$:

$x = 7 - 2y$

Это выражение показывает, что если $y$ — любое целое число, то $x$, вычисленный по этой формуле, также будет целым числом. Например, подставив несколько целых значений для $y$, найдем соответствующие значения $x$:

• Если $y = 0$, то $x = 7 - 2(0) = 7$. Решение: $(7, 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 7 - 2(1) = 5$. Решение: $(5, 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = 7 - 2(-1) = 9$. Решение: $(9, -1)$.

Чтобы записать общее решение, которое описывает все бесконечное множество целочисленных пар $(x, y)$, введем параметр. Пусть $y = n$, где $n$ — произвольное целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $x$ будет равен $7 - 2n$.

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:

Ответ: $(7 - 2n, n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $5x + y = 17$

Это также линейное диофантово уравнение. Для его решения в целых числах выразим $y$ через $x$:

$y = 17 - 5x$

Из этой формулы видно, что для любого целого числа $x$ соответствующее значение $y$ также будет целым. Найдем несколько частных решений:

• Если $x = 0$, то $y = 17 - 5(0) = 17$. Решение: $(0, 17)$.
• Если $x = 3$, то $y = 17 - 5(3) = 2$. Решение: $(3, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = 17 - 5(4) = -3$. Решение: $(4, -3)$.

Для описания всех решений введем целочисленный параметр $k$. Пусть $x = k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Тогда $y$ будет равен $17 - 5k$.

Следовательно, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:

Ответ: $(k, 17 - 5k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

58.12 a) $7x + 2y = 1;$

б) $7x - 12y = 1.$

Это линейные диофантовы уравнения вида $ax + by = c$, которые нужно решить в целых числах.

а) Дано уравнение:

$7x + 2y = 1$

Это диофантово уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=2$ и $c=1$.

1. Проверка разрешимости. Уравнение имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $x$ и $y$ делит свободный член $c$.

Найдем НОД(7, 2):

$\text{НОД}(7, 2) = 1$.

Поскольку $1$ делит $1$, уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах.

2. Нахождение частного решения. Найдем одну пару целых чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет уравнению. Это можно сделать подбором. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 1 - 7x$

$y = \frac{1 - 7x}{2}$

Чтобы $y$ был целым числом, выражение $1 - 7x$ должно быть четным. Так как $1$ — нечетное число, то и $7x$ должно быть нечетным, что возможно только если $x$ — нечетное число. Возьмем простейшее нечетное значение для $x$, например, $x_0 = 1$.

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для $y$:

$y_0 = \frac{1 - 7 \cdot 1}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (1, -3)$.

Проверка: $7 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 7 - 6 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Общее решение диофантова уравнения $ax + by = c$ с частным решением $(x_0, y_0)$ и $d = \text{НОД}(a,b)$ находится по формулам:

$x = x_0 + \frac{b}{d}n$

$y = y_0 - \frac{a}{d}n$

где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a=7, b=2, d=1, x_0=1, y_0=-3$. Подставляем значения в формулы:

$x = 1 + \frac{2}{1}n = 1 + 2n$

$y = -3 - \frac{7}{1}n = -3 - 7n$

Ответ: $(1 + 2n, -3 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение:

$7x - 12y = 1$

Это диофантово уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=-12$ и $c=1$.

1. Проверка разрешимости.

Найдем НОД(7, -12), что то же самое, что НОД(7, 12):

$\text{НОД}(7, 12) = 1$.

Поскольку $1$ делит $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

2. Нахождение частного решения. Найдем частное решение $(x_0, y_0)$. Это можно сделать, решив сравнение. Выразим $7x$:

$7x = 1 + 12y$

Это означает, что $7x$ дает остаток 1 при делении на 12. Запишем это в виде сравнения:

$7x \equiv 1 \pmod{12}$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части на число, обратное к 7 по модулю 12. Найдем это число подбором: $7 \cdot 7 = 49 = 4 \cdot 12 + 1$, значит $49 \equiv 1 \pmod{12}$. Обратное число — это 7.

Умножим обе части сравнения на 7:

$7 \cdot (7x) \equiv 7 \cdot 1 \pmod{12}$

$49x \equiv 7 \pmod{12}$

$x \equiv 7 \pmod{12}$

Это значит, что $x$ может быть любым числом вида $7 + 12k$. Возьмем простейший случай при $k=0$, тогда $x_0=7$.

Подставим $x_0 = 7$ в исходное уравнение, чтобы найти $y_0$:

$7(7) - 12y = 1$

$49 - 12y = 1$

$12y = 48$

$y_0 = 4$

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (7, 4)$.

Проверка: $7 \cdot 7 - 12 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Используем те же формулы общего решения, что и в пункте а).

Уравнение можно записать как $7x + (-12)y = 1$. Здесь $a=7, b=-12, d=1, x_0=7, y_0=4$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}n = 7 + \frac{-12}{1}n = 7 - 12n$

$y = y_0 - \frac{a}{d}n = 4 - \frac{7}{1}n = 4 - 7n$

где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $(7 - 12n, 4 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

58.13 a) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2;$

б) $x^2 + 2xy - 8y^2 = 7.$

а) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$

Данное уравнение является диофантовым уравнением второй степени. Левую часть уравнения можно разложить на множители, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно переменной $x$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5yx + 6y^2 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$D = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6y^2) = 25y^2 - 24y^2 = y^2$.

$x_{1,2} = \frac{5y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{5y \pm y}{2}$.

$x_1 = \frac{5y+y}{2} = \frac{6y}{2} = 3y$;

$x_2 = \frac{5y-y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

Тогда левую часть уравнения можно представить в виде: $(x - 2y)(x - 3y)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$(x - 2y)(x - 3y) = 2$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x - 3y)$ также являются целыми числами. Число 2 можно представить как произведение двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 2$, $2 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-2)$, $(-2) \cdot (-1)$. Рассмотрим каждую из этих четырех возможностей в виде системы уравнений.

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = 1 - 2$, откуда $y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 1 \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Решение: $(-1, -1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = 2 - 1$, откуда $y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 2 \Rightarrow x = 4$. Решение: $(4, 1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = -1 - (-2)$, откуда $y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$. Решение: $(1, 1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = -2 - (-1)$, откуда $y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -2 \Rightarrow x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4$. Решение: $(-4, -1)$.

Таким образом, мы получили четыре пары целых решений.

Ответ: $(-4, -1)$, $(-1, -1)$, $(1, 1)$, $(4, 1)$.

б) $x^2 + 2xy - 8y^2 = 7$

Аналогично предыдущему пункту, разложим левую часть уравнения на множители, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно $x$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2yx - 8y^2 = 0$:

$D = (2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8y^2) = 4y^2 + 32y^2 = 36y^2 = (6y)^2$.

$x_{1,2} = \frac{-2y \pm \sqrt{36y^2}}{2} = \frac{-2y \pm 6y}{2}$.

$x_1 = \frac{-2y+6y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$;

$x_2 = \frac{-2y-6y}{2} = \frac{-8y}{2} = -4y$.

Тогда левую часть уравнения можно представить в виде: $(x - 2y)(x - (-4y)) = (x-2y)(x+4y)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$(x - 2y)(x + 4y) = 7$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 2y)$ и $(x + 4y)$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 7$, $7 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-7)$, $(-7) \cdot (-1)$. Рассмотрим каждую из этих четырех возможностей.

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 4y = 7 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = 7 - 1$, откуда $6y = 6 \Rightarrow y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 1 \Rightarrow x = 3$. Решение: $(3, 1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 7 \\ x + 4y = 1 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = 1 - 7$, откуда $6y = -6 \Rightarrow y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 7 \Rightarrow x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5$. Решение: $(5, -1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 4y = -7 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = -7 - (-1)$, откуда $6y = -6 \Rightarrow y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -1 \Rightarrow x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Решение: $(-3, -1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -7 \\ x + 4y = -1 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = -1 - (-7)$, откуда $6y = 6 \Rightarrow y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -7 \Rightarrow x = -5$. Решение: $(-5, 1)$.

Таким образом, мы получили четыре пары целых решений.

Ответ: $(-5, 1)$, $(-3, -1)$, $(3, 1)$, $(5, -1)$.

58.3 а) $x^2 - 3xy = 0;$

б) $(x - 1)(y + 5) = 0;$

В) $xy - 2y^2 = 0;$

Г) $xy - 5x + y = 5.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 - 3xy = 0$, вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 3y) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений: $x=0$ или $x-3y=0$. Первое уравнение, $x=0$, задает ось ординат. Второе уравнение, $x-3y=0$, можно переписать в виде $y = \frac{x}{3}$, что является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=0$ или на прямой $y = \frac{x}{3}$.

б) Уравнение $(x - 1)(y + 5) = 0$ уже представлено в виде произведения, равного нулю. Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $x - 1 = 0$, либо $y + 5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 1$, что является уравнением вертикальной прямой. Из второго уравнения получаем $y = -5$, что является уравнением горизонтальной прямой. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=1$ или на прямой $y=-5$.

в) Для решения уравнения $xy - 2y^2 = 0$ вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(x - 2y) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность уравнений: $y = 0$ или $x - 2y = 0$. Первое уравнение, $y=0$, задает ось абсцисс. Второе уравнение, $x - 2y = 0$, можно представить в виде $y = \frac{x}{2}$, что является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $y=0$ или на прямой $y = \frac{x}{2}$.

г) Для решения уравнения $xy - 5x + y = 5$ преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону и разложив на множители методом группировки. $xy - 5x + y - 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(xy - 5x) + (y - 5) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y - 5) + 1(y - 5) = 0$. Теперь вынесем общий множитель $(y - 5)$: $(x + 1)(y - 5) = 0$. Это равенство истинно, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x + 1 = 0$ или $y - 5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = -1$ (вертикальная прямая), из второго — $y = 5$ (горизонтальная прямая). Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=-1$ или на прямой $y=5$.

58.5 а) $\frac{x}{y} = 1;$

б) $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0;$

В) $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0;$

Г) $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x.$

а) Исходное уравнение: $ \frac{x}{y} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $ y \neq 0 $.
Чтобы найти решение, умножим обе части уравнения на $ y $:
$ \frac{x}{y} \cdot y = 1 \cdot y $
$ x = y $
Таким образом, решение представляет собой все пары чисел $ (x, y) $, для которых $ x = y $, за исключением случая, когда $ y = 0 $ (что также означает $ x = 0 $). Графически это прямая $ y=x $ с выколотой точкой $ (0, 0) $.
Ответ: $ x = y $ при $ y \neq 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе условий:
$ \begin{cases} 2x + 3y - 5 = 0 \\ x + y \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения получаем уравнение прямой: $ 2x + 3y = 5 $.
Второе условие $ x + y \neq 0 $ означает, что $ x \neq -y $.
Найдем точку, которая не удовлетворяет ОДЗ, решив систему:
$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x = -y \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$ 2(-y) + 3y = 5 $
$ -2y + 3y = 5 $
$ y = 5 $
Тогда $ x = -5 $.
Следовательно, точка $ (-5, 5) $ должна быть исключена из решения.
Ответ: $ 2x + 3y - 5 = 0 $ при $ x + y \neq 0 $.

в) Исходное уравнение: $ \frac{x - y}{x + y - 2} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $ x = y $.
Подставим это равенство во второе условие, чтобы найти исключаемые значения:
$ x + (x) - 2 \neq 0 $
$ 2x - 2 \neq 0 $
$ 2x \neq 2 $
$ x \neq 1 $
Поскольку $ x = y $, то и $ y \neq 1 $. Таким образом, точка $ (1, 1) $ не является решением.
Решением является прямая $ x=y $ с выколотой точкой $ (1, 1) $.
Ответ: $ x = y $ при $ x \neq 1 $.

г) Исходное уравнение: $ \frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x $.
ОДЗ: $ x - y \neq 0 $, то есть $ x \neq y $.
При этом условии умножим обе части уравнения на знаменатель $ (x - y) $:
$ 2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x(x - y) $
Раскроем скобки в правой части:
$ 2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x^2 - 2xy $
Сократим одинаковые слагаемые $ 2x^2 $ и $ -2xy $ в обеих частях:
$ -4x + 3y - 5 = 0 $
$ 3y = 4x + 5 $
Теперь найдем точки на этой прямой, для которых нарушается ОДЗ, то есть $ x = y $. Подставим $ y = x $ в полученное уравнение:
$ 3x = 4x + 5 $
$ 3x - 4x = 5 $
$ -x = 5 \Rightarrow x = -5 $
Если $ x = -5 $, то и $ y = -5 $. Значит, точка $ (-5, -5) $ не входит в ОДЗ.
Решением является прямая $ 3y = 4x + 5 $ с выколотой точкой $ (-5, -5) $.
Ответ: $ 3y = 4x + 5 $ при $ x \neq -5 $.