Страница 226, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

57.25 а) $x^2 + 1 \ge \cos x;$

В) $x^2 + 1 \le \cos x;$

б) $\sin x \le -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1;$

Г) $\sin x \ge -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1.$

а) $x^2 + 1 \ge \cos x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \cos x$. Для решения неравенства оценим области значений этих функций.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [1; +\infty)$.

Функция $g(x) = \cos x$ является тригонометрической функцией, область значений которой $E(g) = [-1; 1]$. Таким образом, $\cos x \le 1$ для любого действительного $x$.

Сравнивая области значений, мы видим, что наименьшее значение левой части неравенства равно 1, а наибольшее значение правой части также равно 1. Для любого действительного $x$ выполняется $x^2 + 1 \ge 1$ и $\cos x \le 1$. Следовательно, неравенство $x^2 + 1 \ge \cos x$ выполняется для всех $x$. Равенство достигается только в случае, когда обе части равны 1, то есть при $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Для решения оценим области значений этих функций.

Область значений функции $f(x) = \sin x$ есть $E(f) = [-1; 1]$. Наименьшее значение функции $\sin x$ равно -1.

Функция $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ является параболой с ветвями вниз. Ее вершина находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$. Значение функции в этой точке: $g(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})^2 - 1 = -1$. Это максимальное значение функции $g(x)$. Таким образом, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -1]$.

Неравенство $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ может выполняться только в том случае, если обе части равны -1, так как $\sin x \ge -1$ и $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0$, откуда $x+\frac{\pi}{2} = 0$, то есть $x = -\frac{\pi}{2}$.

Подставим это значение в первое уравнение для проверки: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Равенство верное. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $x^2 + 1 \le \cos x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \cos x$. Как было показано в пункте а), область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [1; +\infty)$, а область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [-1; 1]$.

Неравенство $f(x) \le g(x)$ может иметь решение только в том случае, если существует значение $x$, при котором $f(x) = g(x)$. Учитывая, что $f(x) \ge 1$ и $g(x) \le 1$, равенство возможно только если обе части равны 1.

Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos(0) = 1$. Равенство верное. Таким образом, неравенство выполняется только в одной точке.

Ответ: $x = 0$.

г) $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Как было показано в пункте б), область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [-1; 1]$, а область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -1]$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем $\sin x \ge -1$. Также для любого действительного $x$ имеем $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$.

Сравнивая значения функций, получаем, что для любого $x$ выполняется: $\sin x \ge -1 \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Следовательно, неравенство $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ выполняется для всех действительных значений $x$. Равенство достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

57.27 a) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0;$

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0.$

а) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0$

Первым делом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменная $x$ находится под знаком квадратного корня, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Заметим, что $4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$. Это позволяет нам свести данное показательное неравенство к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, а показательная функция с основанием больше 1 является возрастающей, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.
После замены неравенство принимает вид:
$t^2 - 9t + 8 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Графиком функции $y(t) = t^2 - 9t + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.
Решением неравенства является интервал $1 < t < 8$.
Теперь необходимо учесть условие $t \ge 1$, полученное при замене. Система неравенств для $t$:
$\begin{cases} 1 < t < 8 \\ t \ge 1 \end{cases}$
Решением этой системы является $1 < t < 8$.
Выполним обратную замену, подставив $2^{\sqrt{x}}$ вместо $t$:
$1 < 2^{\sqrt{x}} < 8$
Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2:
$2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$0 < \sqrt{x} < 3$
Поскольку все части этого двойного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 3^2$
$0 < x < 9$
Полученное решение $x \in (0, 9)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x \in (0, 9)$.

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0$

ОДЗ данного неравенства: $x \ge 0$, так как $x$ находится под знаком квадратного корня.
Преобразуем выражение: $9^{\sqrt{x}} = (3^2)^{\sqrt{x}} = (3^{\sqrt{x}})^2$.
Введем новую переменную. Пусть $y = 3^{\sqrt{x}}$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, а основание $3 > 1$, то $y = 3^{\sqrt{x}} \ge 3^0 = 1$.
Подставим новую переменную в исходное неравенство:
$y^2 - 10y + 9 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Парабола $f(y) = y^2 - 10y + 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение для $y$: $1 < y < 9$.
Совместим это решение с условием $y \ge 1$:
$\begin{cases} 1 < y < 9 \\ y \ge 1 \end{cases}$
Общим решением является $1 < y < 9$.
Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$1 < 3^{\sqrt{x}} < 9$
Запишем 1 и 9 как степени с основанием 3:
$3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2$
Поскольку основание $3 > 1$, неравенство для показателей будет иметь тот же знак:
$0 < \sqrt{x} < 2$
Возведем все части двойного неравенства в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 2^2$
$0 < x < 4$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x \in (0, 4)$.

57.29 a) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0;$

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0.$

а) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя, приравняв их к нулю.

1) Найдем корень первого множителя:

$2^x - 3 = 0$

$2^x = 3$

$x_1 = \log_2 3$

2) Найдем корень второго множителя:

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Теперь сравним полученные корни $x_1$ и $x_2$. Для этого сравним $\log_2 3$ и $\frac{4}{3}$.

Можно представить $\frac{4}{3}$ как $\log_2(2^{4/3}) = \log_2(\sqrt[3]{2^4}) = \log_2(\sqrt[3]{16})$.

Теперь сравним подлогарифмические выражения: $3$ и $\sqrt[3]{16}$.

Возведем оба числа в куб: $3^3 = 27$ и $(\sqrt[3]{16})^3 = 16$.

Так как $27 > 16$, то $3 > \sqrt[3]{16}$. Поскольку логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то $\log_2 3 > \log_2(\sqrt[3]{16})$, следовательно, $\log_2 3 > \frac{4}{3}$.

Отметим на числовой оси точки $x = \frac{4}{3}$ и $x = \log_2 3$ и определим знаки произведения $(2^x - 3)(3x - 4)$ в каждом из трех полученных интервалов.

Функция $f(x) = 2^x - 3$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \log_2 3$.

Функция $g(x) = 3x - 4$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \frac{4}{3}$.

• При $x \in (-\infty, \frac{4}{3})$, имеем: $2^x - 3 < 0$ и $3x - 4 < 0$. Произведение: $(-)\cdot(-)=(+)$.
• При $x \in (\frac{4}{3}, \log_2 3)$, имеем: $2^x - 3 < 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(-)\cdot(+)=(-)$.
• При $x \in (\log_2 3, +\infty)$, имеем: $2^x - 3 > 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(+)\cdot(+)=(+)$.

Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому нас интересует промежуток, где произведение отрицательно, а также точки, где оно равно нулю. Это соответствует отрезку от меньшего корня до большего.

Ответ: $[\frac{4}{3}; \log_2 3]$.

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x > 0$

Далее решаем неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ. Найдем нули каждого множителя.

1) Найдем корень первого множителя:

$3\log_3 x - 1 = 0$

$3\log_3 x = 1$

$\log_3 x = \frac{1}{3}$

$x_1 = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$

2) Найдем корень второго множителя:

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Оба корня $x_1 = \sqrt[3]{3}$ и $x_2 = \frac{4}{3}$ являются положительными числами, поэтому они входят в ОДЗ.

Сравним корни. Для этого возведем оба числа в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{3})^3 = 3$

$(\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$

Так как $3 > \frac{64}{27}$, то $\sqrt[3]{3} > \frac{4}{3}$.

Отметим на числовой оси (с учетом $x>0$) точки $x = \frac{4}{3}$ и $x = \sqrt[3]{3}$ и определим знаки произведения $(3\log_3 x - 1)(3x - 4)$ в каждом из интервалов.

Функция $f(x) = 3\log_3 x - 1$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \sqrt[3]{3}$.

Функция $g(x) = 3x - 4$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \frac{4}{3}$.

• При $x \in (0, \frac{4}{3})$, имеем: $3\log_3 x - 1 < 0$ и $3x - 4 < 0$. Произведение: $(-)\cdot(-)=(+)$.
• При $x \in (\frac{4}{3}, \sqrt[3]{3})$, имеем: $3\log_3 x - 1 < 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(-)\cdot(+)=(-)$.
• При $x \in (\sqrt[3]{3}, +\infty)$, имеем: $3\log_3 x - 1 > 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(+)\cdot(+)=(+)$.

Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому нас интересуют промежутки, где произведение положительно, и точки, где оно равно нулю.

Ответ: $(0; \frac{4}{3}] \cup [\sqrt[3]{3}; +\infty)$.

57.31 a) $(x^2 - 2x)(\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}) \le 0;$

б) $(x^2 + 4x)(\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 - 2x)(\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}) \le 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Рассмотрим каждый из них.
Первый множитель: $x^2 - 2x = x(x-2)$.
Второй множитель: $\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}$.

Проанализируем второй множитель. Выражение $\operatorname{tg}^2 x$ всегда неотрицательно, то есть $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$. Показательная функция $2^{x+1}$ всегда строго положительна, то есть $2^{x+1} > 0$.
Следовательно, их сумма $\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из области определения.

Так как второй множитель всегда положителен, то знак всего произведения зависит только от знака первого множителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$x^2 - 2x \le 0$

Решим это квадратное неравенство. Разложим на множители:
$x(x-2) \le 0$
Корнями уравнения $x(x-2)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=2$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Получаем решение: $x \in [0, 2]$.

Теперь необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства. Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем, какие из этих "запрещенных" точек попадают в наш промежуток $[0, 2]$.
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0, 2]$, значит, его нужно исключить.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, что не входит в отрезок $[0, 2]$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, что также не входит в отрезок $[0, 2]$.

Таким образом, из отрезка $[0, 2]$ нужно исключить точку $x = \frac{\pi}{2}$.
Итоговое решение: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

б) Решим неравенство $(x^2 + 4x)(\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0$.

Это неравенство также является произведением двух множителей.
Первый множитель: $x^2 + 4x = x(x+4)$.
Второй множитель: $\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}$.

Рассмотрим второй множитель. Выражение $\operatorname{ctg}^2 x$ всегда неотрицательно: $\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$. Показательная функция $3^{x-1}$ всегда строго положительна: $3^{x-1} > 0$.
Значит, их сумма $\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из области определения.

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак произведения определяется знаком первого множителя. Исходное неравенство равносильно следующему:
$x^2 + 4x \le 0$

Решим это неравенство:
$x(x+4) \le 0$
Корнями уравнения $x(x+4)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-4$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Получаем решение: $x \in [-4, 0]$.

Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, когда $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих точек попадают в найденный отрезок $[-4, 0]$.
При $k=0$: $x = 0$. Эта точка является концом отрезка $[-4, 0]$ и должна быть исключена.
При $k=-1$: $x = -\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx -3.14$. Это значение принадлежит отрезку $[-4, 0]$, и его нужно исключить.
При $k=-2$: $x = -2\pi \approx -6.28$, что не входит в отрезок $[-4, 0]$.

Следовательно, из отрезка $[-4, 0]$ необходимо исключить точки $x = -\pi$ и $x = 0$.
Итоговое решение: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.
Ответ: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.

57.33 a) $6 \log_3 |x - 1| \le 14 + 2x - x^2;$

б) $\log_2(x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2.$

a) $6 \log_3|x - 1| \le 14 + 2x - x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$|x - 1| > 0$

Это выражение верно для всех $x$, кроме $x = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \ne 1$.

2. Преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$14 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 14) = -(x^2 - 2x + 1 - 15) = -((x - 1)^2 - 15) = 15 - (x - 1)^2$.

3. Подставим преобразованное выражение обратно в неравенство:

$6 \log_3|x - 1| \le 15 - (x - 1)^2$

4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x - 1|$. Так как $x \ne 1$, то $t > 0$. Заметим, что $(x - 1)^2 = |x - 1|^2 = t^2$.

Неравенство принимает вид:

$6 \log_3 t \le 15 - t^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$6 \log_3 t + t^2 - 15 \le 0$

5. Рассмотрим функцию $f(t) = 6 \log_3 t + t^2 - 15$ при $t > 0$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:

$f'(t) = (6 \log_3 t + t^2 - 15)' = \frac{6}{t \ln 3} + 2t$

Поскольку $t > 0$ и $\ln 3 > 0$, оба слагаемых в производной положительны. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$, а значит, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей области определения $(0, +\infty)$.

6. Так как функция $f(t)$ монотонно возрастает, уравнение $f(t) = 0$ может иметь не более одного корня. Найдем его подбором:

При $t=3$: $f(3) = 6 \log_3 3 + 3^2 - 15 = 6 \cdot 1 + 9 - 15 = 0$.

Значит, $t=3$ является единственным корнем уравнения $f(t) = 0$.

7. Решим неравенство $f(t) \le 0$. Поскольку $f(t)$ возрастает и $f(3)=0$, неравенство выполняется при $t \le 3$. С учетом ОДЗ для $t$ ($t>0$), получаем $0 < t \le 3$.

8. Выполним обратную замену:

$0 < |x - 1| \le 3$

Неравенство $0 < |x-1|$ эквивалентно $x \ne 1$, что мы уже учли в ОДЗ.

Решим неравенство $|x - 1| \le 3$. Оно равносильно системе:

$-3 \le x - 1 \le 3$

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-3 + 1 \le x \le 3 + 1$

$-2 \le x \le 4$

9. Объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ne 1$).

Решением является объединение интервалов $[-2, 1) \cup (1, 4]$.

Ответ: $x \in [-2, 1) \cup (1, 4]$.

б) $\log_2(x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + x - 10 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 10 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$

Парабола $y = x^2 + x - 10$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней:

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, +\infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2x^2 + 2x - 25 > 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение, стоящее под логарифмом:

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x) - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10 + 10) - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10) + 20 - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10) - 5 > 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x - 10$. Согласно ОДЗ, $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2 t + 2t - 5 > 0$

4. Рассмотрим функцию $f(t) = \log_2 t + 2t - 5$ при $t > 0$. Найдем ее производную:

$f'(t) = (\log_2 t + 2t - 5)' = \frac{1}{t \ln 2} + 2$

Так как $t > 0$ и $\ln 2 > 0$, то $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$. Значит, функция $f(t)$ является строго возрастающей на $(0, +\infty)$.

5. Так как функция $f(t)$ монотонно возрастает, уравнение $f(t) = 0$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором:

При $t=2$: $f(2) = \log_2 2 + 2 \cdot 2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Значит, $t=2$ — единственный корень.

6. Решим неравенство $f(t) > 0$. Так как $f(t)$ возрастает и $f(2)=0$, неравенство выполняется при $t > 2$.

7. Выполним обратную замену:

$x^2 + x - 10 > 2$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 12 > 0$ выполняется вне корней:

$x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.

8. Заметим, что если $x^2 + x - 12 > 0$, то $x^2 + x > 12$, и тогда $x^2 + x - 10 > 2$. А раз $x^2 + x - 10 > 2$, то условие ОДЗ ($x^2 + x - 10 > 0$) выполняется автоматически. Таким образом, найденное решение является окончательным.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.

Решите неравенство:

57.26 а) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4\frac{1}{3}$;

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24\frac{1}{2}$.

a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}$

Первым шагом приведем все степени в левой части неравенства к одному основанию 3. Известно, что $9 = 3^2$.

$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4}$

Также преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:

$3^{2x+4} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести общий множитель. Представим $3^{2x+4}$ как $3^{2x+2} \cdot 3^2$:

$3^{2x+2} \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

$9 \cdot 3^{2x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Вынесем общий множитель $3^{2x+2}$ за скобки:

$(9+4) \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

$13 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$3^{2x+2} \geq \frac{1}{3}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^{2x+2} \geq 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$2x+2 \geq -1$

$2x \geq -1 - 2$

$2x \geq -3$

$x \geq -\frac{3}{2}$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, большие или равные $-\frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}$

Приведем все степени в левой части к основанию 2. Известно, что $8 = 2^3$.

$8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$

Преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$2^{3x-6} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq \frac{49}{2}$

Чтобы вынести общий множитель, приведем степени к одному показателю. Представим $2^{3x-2}$ через $2^{3x-6}$:

$2^{3x-2} = 2^{(3x-6)+4} = 2^{3x-6} \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^{3x-6}$

Подставим это выражение в неравенство:

$2^{3x-6} + 3 \cdot (16 \cdot 2^{3x-6}) \leq \frac{49}{2}$

Вынесем общий множитель $2^{3x-6}$ за скобки:

$(1 + 3 \cdot 16) \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

$(1 + 48) \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

$49 \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

Разделим обе части на 49 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$2^{3x-6} \leq \frac{1}{2}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$2^{3x-6} \leq 2^{-1}$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$3x-6 \leq -1$

$3x \leq -1 + 6$

$3x \leq 5$

$x \leq \frac{5}{3}$

Следовательно, решение неравенства — это все значения $x$, меньшие или равные $\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}]$.

57.28 a) $(x - 2)\log_{4}(x + 2) \ge 0;$

б) $(3 - x)\sqrt{\log_{3}(x + 5)} \le 0.$

а) $(x - 2)\log_4(x + 2) \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя в произведении:

Первый множитель: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Второй множитель: $\log_4(x + 2) = 0 \implies x + 2 = 4^0 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$.

3. Отметим на числовой прямой точки, соответствующие нулям множителей ($x = -1$ и $x = 2$) и границе ОДЗ ($x = -2$). Эти точки разбивают ОДЗ на три интервала: $(-2, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знаки произведения на каждом интервале:

• Интервал $(-2, -1)$: Возьмем пробную точку $x = -1.5$.
  $x - 2 = -1.5 - 2 = -3.5 < 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(-1.5 + 2) = \log_4(0.5) < 0$ (так как основание $4 > 1$ и аргумент $0.5 < 1$).
  Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$. Интервал подходит.

• Интервал $(-1, 2)$: Возьмем пробную точку $x = 0$.
  $x - 2 = 0 - 2 = -2 < 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(0 + 2) = \log_4(2) > 0$ (так как основание $4 > 1$ и аргумент $2 > 1$).
  Произведение: $(-)\cdot(+) = (-)$. Интервал не подходит.

• Интервал $(2, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x = 14$.
  $x - 2 = 14 - 2 = 12 > 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(14 + 2) = \log_4(16) = 2 > 0$.
  Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$. Интервал подходит.

4. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение необходимо включить точки, в которых произведение равно нулю: $x = -1$ и $x = 2$. Обе точки входят в ОДЗ.

5. Объединяя полученные результаты, получаем решение:

$x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$

Ответ: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

б) $(3 - x)\sqrt{\log_3(x + 5)} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

$\begin{cases} \log_3(x + 5) \ge 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x + 5 \ge 3^0 \implies x + 5 \ge 1 \implies x \ge -4$.

Второе неравенство: $x > -5$.

Пересечение решений $x \ge -4$ и $x > -5$ дает ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.

2. Проанализируем неравенство на ОДЗ. Множитель $\sqrt{\log_3(x + 5)}$ всегда неотрицателен (больше или равен нулю).

Рассмотрим два случая, когда произведение будет меньше или равно нулю:

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это возможно, если один из множителей равен нулю.

$3 - x = 0 \implies x = 3$. Эта точка входит в ОДЗ.

$\sqrt{\log_3(x + 5)} = 0 \implies \log_3(x + 5) = 0 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$. Эта точка также входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = 3$ и $x = -4$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.

Так как $\sqrt{\log_3(x + 5)} > 0$ при $x > -4$, для выполнения неравенства $(3-x) \cdot (\text{положительное число}) < 0$ необходимо, чтобы множитель $(3 - x)$ был отрицательным:

$3 - x < 0 \implies x > 3$.

3. Объединим решения из обоих случаев.

Из случая 1 мы получили точки $x=-4$ и $x=3$.

Из случая 2 мы получили интервал $x > 3$, то есть $(3, +\infty)$.

Объединяя все вместе, получаем: $\{ -4 \} \cup \{ 3 \} \cup (3, +\infty)$, что можно записать как $\{ -4 \} \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [3, +\infty)$.

57.30 a) $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x < 0$;

б) $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$;

В) $\frac{e^{3x - 1} - 1}{x + 8} > 0$;

Г) $x\sqrt{x + 7} < 0$.

а) Решим неравенство $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}}x < 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Применим метод интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя на ОДЗ.
- Первый множитель: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ. На всей ОДЗ ($x > 0$) множитель $x + 3$ положителен.
- Второй множитель: $\log_{\frac{1}{7}}x = 0 \implies x = (\frac{1}{7})^0 = 1$.
3. Так как множитель $(x + 3)$ всегда положителен на ОДЗ, то знак всего произведения совпадает со знаком множителя $\log_{\frac{1}{7}}x$. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{7}}x < 0 \end{cases}$
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{7}}x < 0$. Представим 0 как логарифм по тому же основанию: $\log_{\frac{1}{7}}x < \log_{\frac{1}{7}}1$.
Так как основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ и $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение $x > 1$ полностью ему удовлетворяет.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$.
1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Множитель $\sqrt{x + 1}$ на ОДЗ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
3. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то случай, когда $\sqrt{x + 1} = 0$ (т.е. $x = -1$), не является решением. Значит, мы должны рассматривать только те значения $x$, при которых $\sqrt{x + 1} > 0$, что эквивалентно $x > -1$.
4. При условии $x > -1$, множитель $\sqrt{x+1}$ положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель $(x-5)$ был отрицательным.
$x - 5 < 0 \implies x < 5$.
5. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-1 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

в) Решим неравенство $\frac{e^{3x-1} - 1}{x + 8} > 0$.
1. Применим метод обобщенной рационализации. Знак выражения $a^{f(x)} - 1$ (где $a > 1$) совпадает со знаком показателя $f(x)$. В нашем случае основание $a = e \approx 2.718$, что больше 1.
2. Следовательно, знак числителя $e^{3x-1} - 1$ совпадает со знаком выражения $3x - 1$.
3. Исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
$\frac{3x - 1}{x + 8} > 0$.
4. Решим это неравенство методом интервалов.
- Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \implies x = -8$.
5. Нанесем точки $-8$ и $\frac{1}{3}$ на числовую ось, они разбивают ее на три интервала. Определим знак дроби на каждом интервале.
- Интервал $(-\infty, -8)$: пусть $x = -10$, $\frac{3(-10) - 1}{-10 + 8} = \frac{-31}{-2} > 0$.
- Интервал $(-8, \frac{1}{3})$: пусть $x = 0$, $\frac{3(0) - 1}{0 + 8} = -\frac{1}{8} < 0$.
- Интервал $(\frac{1}{3}, +\infty)$: пусть $x = 1$, $\frac{3(1) - 1}{1 + 8} = \frac{2}{9} > 0$.
6. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $x\sqrt{x + 7} < 0$.
1. Найдем ОДЗ: $x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7$.
2. Множитель $\sqrt{x + 7}$ на ОДЗ всегда $\ge 0$.
3. Так как неравенство строгое, то $\sqrt{x + 7} \neq 0$, следовательно $x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$. Таким образом, $\sqrt{x+7}$ должен быть строго больше нуля.
4. Для того, чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множители имели разные знаки. Поскольку $\sqrt{x + 7} > 0$ при $x > -7$, то множитель $x$ должен быть отрицательным.
5. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 7 > 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7 \\ x < 0 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-7 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-7, 0)$.

57.32 а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$;

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49.$

а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0$
$\sin x \ge 1$
Поскольку максимальное значение функции синус равно 1, это неравенство превращается в равенство:
$\sin x = 1$
Это равенство выполняется только при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. При этих значениях $x$ левая часть исходного неравенства равна:
$\sqrt{\sin x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.

3. Подставим это значение в исходное неравенство:
$0 \le 4 - x^2$
$x^2 \le 4$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2, 2]$.

4. Теперь нам нужно найти такие целые значения $k$, при которых решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ попадают в отрезок $[-2, 2]$.
Проверим значения $k$:
- При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
- При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение не принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
- При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Это значение не принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
Для других целых значений $k$ решения также не будут попадать в нужный отрезок.

Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos x - 1 \ge 0$
$\cos x \ge 1$
Поскольку максимальное значение функции косинус равно 1, это неравенство превращается в равенство:
$\cos x = 1$
Это равенство выполняется только при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. При этих значениях $x$ левая часть исходного неравенства равна:
$\sqrt{\cos x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.

3. Подставим это значение в исходное неравенство:
$0 \ge x^2 - 49$
$x^2 \le 49$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-7, 7]$.

4. Теперь нам нужно найти такие целые значения $n$, при которых решения $x = 2\pi n$ попадают в отрезок $[-7, 7]$.
Проверим значения $n$:
- При $n = 0$, $x = 0$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = 1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 6.28$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = -1$, $x = -2\pi \approx -6.28$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = 2$, $x = 4\pi \approx 12.56$. Это значение не принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = -2$, $x = -4\pi \approx -12.56$. Это значение не принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
Для других целых значений $n$ с $|n| \ge 2$ решения также не будут попадать в нужный отрезок.

Таким образом, решениями исходного неравенства являются $x = -2\pi$, $x = 0$ и $x = 2\pi$.

Ответ: $\{-2\pi, 0, 2\pi\}$.

58.2 Постройте график уравнения:

а) $x^2 = 1$;

б) $y^2 - 6y + 8 = 0$;

в) $3x - 4y = 12$;

г) $2y - x - 4 = 0$.

а) Уравнение $x^2 = 1$ не зависит от переменной $y$. Это означает, что для любого значения $y$ значение $x$ должно удовлетворять этому уравнению. Решим уравнение относительно $x$: $x = \pm\sqrt{1}$, что дает два решения: $x = 1$ и $x = -1$. Каждое из этих уравнений задает прямую, параллельную оси $Oy$. Таким образом, график исходного уравнения представляет собой совокупность двух вертикальных прямых. Первая прямая проходит через точку $(1, 0)$, вторая — через точку $(-1, 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x = 1$ и $x = -1$.

б) Уравнение $y^2 - 6y + 8 = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $y$ и не зависит от $x$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ должно удовлетворять этому уравнению. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6-2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6+2}{2} = 4$. Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух горизонтальных прямых, параллельных оси $Ox$: $y = 2$ и $y = 4$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $y = 2$ и $y = 4$.

в) Уравнение $3x - 4y = 12$ является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Найдем точки пересечения с осями координат. Если $x = 0$, то $3 \cdot 0 - 4y = 12$, откуда $-4y = 12$, $y = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.Если $y = 0$, то $3x - 4 \cdot 0 = 12$, откуда $3x = 12$, $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.Графиком является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(4, 0)$.

г) Уравнение $2y - x - 4 = 0$ также является линейным уравнением с двумя переменными, и его графиком является прямая. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$: $2y = x + 4$, откуда $y = \frac{1}{2}x + 2$. Найдем две точки для построения.Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.Если $y = 0$, то $0 = \frac{1}{2}x + 2$, откуда $\frac{1}{2}x = -2$, $x = -4$. Получаем точку $(-4, 0)$.Графиком является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-4, 0)$.

58.1 Решите уравнение:

a) $ (x - 1)^2 + (y + 2)^4 = 0; $

б) $ \sqrt{2x - 3} + \sqrt{3y + 4} = 0; $

В) $ \sin^2 x + \cos^2 y = 0; $

Г) $ \sin x + \cos y = \sqrt{5}. $

Дано уравнение $(x-1)^2 + (y+2)^4 = 0$.

Выражения $(x-1)^2$ и $(y+2)^4$ являются степенями с четным показателем, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^4 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^4 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases} $

Ответ: $(1; -2)$.

Дано уравнение $\sqrt{2x-3} + \sqrt{3y+4} = 0$.

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательной величиной. Следовательно, оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны: $\sqrt{2x-3} \ge 0$ и $\sqrt{3y+4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2x-3} = 0 \\ \sqrt{3y+4} = 0 \end{cases} $

Для решения возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

$ \begin{cases} 2x - 3 = 0 \\ 3y + 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 3 \\ 3y = -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = -\frac{4}{3} \end{cases} $

При этих значениях подкоренные выражения равны нулю, что входит в область допустимых значений.

Ответ: $(\frac{3}{2}; -\frac{4}{3})$.

Дано уравнение $\sin^2 x + \cos^2 y = 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Поэтому $\sin^2 x \ge 0$ и $\cos^2 y \ge 0$ для любых $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда оба выражения равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 0 \\ \cos^2 y = 0 \end{cases} $

Это, в свою очередь, равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos y = 0 \end{cases} $

Решением уравнения $\sin x = 0$ является множество $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решением уравнения $\cos y = 0$ является множество $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pi k, y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $\sin x + \cos y = \sqrt{5}$.

Область значений тригонометрических функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любых действительных $x$ и $y$ выполняются неравенства:

$-1 \le \sin x \le 1$

$-1 \le \cos y \le 1$

Чтобы оценить максимальное значение левой части уравнения, сложим максимальные значения синуса и косинуса:

$\sin x + \cos y \le 1 + 1 = 2$.

Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше 2.

Теперь оценим правую часть уравнения. Мы знаем, что $4 < 5$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, что означает $2 < \sqrt{5}$.

Получаем, что левая часть уравнения $\sin x + \cos y$ всегда меньше или равна 2, а правая часть $\sqrt{5}$ строго больше 2. Равенство между ними невозможно.

Ответ: решений нет.