Страница 231, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

59.10 a) $\begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x} + 2 = y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x - 3| = y + 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое.

$ (\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1 $

Определим область допустимых значений. Из первого уравнения системы $y = \frac{1}{2^{x+1}} = 2^{-(x+1)}$. Так как основание степени $2 > 0$, значение показательной функции всегда положительно, следовательно, $y > 0$.
Учитывая это, из второго уравнения получаем, что $\sqrt[3]{x+2} > 0$, что равносильно неравенству $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Вернемся к уравнению $(\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1$.
Попробуем найти решение методом подбора. Пусть $x = -1$. Это значение удовлетворяет условию $x > -2$.
Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:
$ (\sqrt[3]{-1+2}) \cdot 2^{-1+1} = \sqrt[3]{1} \cdot 2^0 = 1 \cdot 1 = 1 $.
Левая часть равна правой ($1=1$), значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1}$ при $x > -2$.
Эта функция представляет собой произведение двух функций: $g(x) = \sqrt[3]{x+2}$ и $h(x) = 2^{x+1}$.
Функция $g(x)$ является возрастающей. Функция $h(x)$ также является возрастающей. На интервале $x > -2$ обе функции положительны.
Произведение двух положительных возрастающих функций является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает, и каждое свое значение она может принимать только один раз. Таким образом, уравнение $f(x)=1$ имеет единственный корень, который мы уже нашли: $x = -1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ во второе уравнение системы:

$ y = \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1. \end{cases} $$

Применим метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$ |x-3| = 2^{x-1} + 1 $

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
В этом случае $|x-3| = x-3$, и уравнение принимает вид:
$ x-3 = 2^{x-1} + 1 $
$ x-4 = 2^{x-1} $

Рассмотрим две функции: $f(x) = x-4$ (линейная, возрастающая) и $g(x) = 2^{x-1}$ (показательная, возрастающая).
При $x=3$, $f(3) = 3-4 = -1$, а $g(3) = 2^{3-1} = 4$. Видим, что $f(3) < g(3)$.
Поскольку показательная функция $g(x)$ растет значительно быстрее линейной $f(x)$ при $x \ge 3$, а в начальной точке интервала $g(x)$ уже больше $f(x)$, то их графики не пересекутся. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$, и уравнение принимает вид:
$ 3-x = 2^{x-1} + 1 $
$ 2-x = 2^{x-1} $

Рассмотрим функции $h(x) = 2-x$ и $k(x) = 2^{x-1}$.
Функция $h(x) = 2-x$ является строго убывающей.
Функция $k(x) = 2^{x-1}$ является строго возрастающей.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором.
Пусть $x=1$. Это значение удовлетворяет условию $x < 3$.
Левая часть: $h(1) = 2-1 = 1$.
Правая часть: $k(1) = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.
Поскольку $1=1$, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в первое уравнение системы:

$ y = 2^{1-1} = 2^0 = 1 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

Решите систему уравнений:

59.11 a) $\begin{cases} y + 2x = 3, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ y = \log_2 x. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 3, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases}$

Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Решим ее методом подстановки.

1. Выразим y из первого (линейного) уравнения:

$y = 3 - 2x$

2. Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:

$x^2 + (3 - 2x)^2 = 2$

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно x:

$x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 2$

$5x^2 - 12x + 9 - 2 = 0$

$5x^2 - 12x + 7 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

4. Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x, используя выражение $y = 3 - 2x$.

При $x_1 = \frac{7}{5}$:

$y_1 = 3 - 2 \cdot \frac{7}{5} = 3 - \frac{14}{5} = \frac{15}{5} - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}$

Первое решение: $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$.

При $x_2 = 1$:

$y_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

Второе решение: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$, $(1, 1)$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ y = \log_2 x; \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение:

$\frac{y}{9} = (3^{-1})^x$

$\frac{y}{9} = 3^{-x}$

$y = 9 \cdot 3^{-x} = 3^2 \cdot 3^{-x}$

$y = 3^{2-x}$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} y = 3^{2-x}, \\ y = \log_2 x; \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$3^{2-x} = \log_2 x$

3. Проанализируем функции в левой и правой частях уравнения. Функция $f(x) = 3^{2-x}$ является показательной функцией, она монотонно убывает на всей своей области определения. Функция $g(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией, она монотонно возрастает на своей области определения ($x > 0$).

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной точки пересечения, то есть данное уравнение может иметь не более одного корня.

4. Попробуем найти решение методом подбора. Проверим простые целые значения x. Из области определения логарифма следует, что $x > 0$.

Пусть $x = 2$:

Левая часть: $3^{2-2} = 3^0 = 1$.

Правая часть: $\log_2 2 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x = 2$ является корнем уравнения.

5. Найдем соответствующее значение y:

$y = \log_2 2 = 1$

Таким образом, единственным решением системы является пара чисел $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

59.12 a) $\begin{cases} 2 \sin (x+y) - 3 \cos (x-y) = 5, \\ 7 \cos (x-y) + 5 \sin (x+y) = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^4 - y^4 = 15, \\ x^4 + y^4 = 17. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2 \sin(x + y) - 3 \cos(x - y) = 5, \\ 7 \cos(x - y) + 5 \sin(x + y) = -2. \end{cases} $$ Для решения введем замену переменных. Пусть $u = \sin(x + y)$ и $v = \cos(x - y)$. С учетом того, что $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\beta)| \le 1$, имеем $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Перепишем систему с новыми переменными: $$ \begin{cases} 2u - 3v = 5, \\ 5u + 7v = -2. \end{cases} $$ Это система линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Решим ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 14u - 21v = 35, \\ 15u + 21v = -6. \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения: $$(14u - 21v) + (15u + 21v) = 35 - 6$$ $$29u = 29$$ $$u = 1$$ Подставим найденное значение $u=1$ в первое уравнение системы $2u - 3v = 5$: $$2(1) - 3v = 5$$ $$2 - 3v = 5$$ $$-3v = 3$$ $$v = -1$$ Найденные значения $u=1$ и $v=-1$ удовлетворяют условиям $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$\sin(x + y) = 1$$ $$\cos(x - y) = -1$$ Из этих простейших тригонометрических уравнений получаем: $$x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x - y = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Мы получили новую систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x - y = \pi + 2\pi k. \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$: $$2x = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) + (\pi + 2\pi k)$$ $$2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(n + k)$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k)$$ Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$: $$2y = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) - (\pi + 2\pi k)$$ $$2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$$ $$y = -\frac{\pi}{4} + \pi(n - k)$$

Ответ: $\left(\frac{3\pi}{4} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{4} + \pi(n-k)\right)$, где $n \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^4 - y^4 = 15, \\ x^4 + y^4 = 17. \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $a = x^4$ и $b = y^4$. Так как $x^4$ и $y^4$ являются четными степенями, то их значения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a - b = 15, \\ a + b = 17. \end{cases} $$ Это простая система линейных уравнений. Сложим два уравнения: $$(a - b) + (a + b) = 15 + 17$$ $$2a = 32$$ $$a = 16$$ Подставим найденное значение $a=16$ во второе уравнение $a + b = 17$: $$16 + b = 17$$ $$b = 1$$ Значения $a=16$ и $b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Теперь вернемся к исходным переменным: $$x^4 = a = 16$$ $$y^4 = b = 1$$ Решим каждое из этих уравнений. Из уравнения $x^4 = 16$ следует, что $x^2 = \sqrt{16} = 4$ (поскольку $x^2$ должно быть неотрицательным). Из $x^2=4$ получаем $x = \pm 2$. Из уравнения $y^4 = 1$ следует, что $y^2 = \sqrt{1} = 1$. Из $y^2=1$ получаем $y = \pm 1$. Таким образом, мы имеем два возможных значения для $x$ и два для $y$. Комбинируя их, получаем четыре пары решений: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

59.13 a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{y-x}{2x}} - \sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2}, \\ 16\sqrt{\frac{x}{x+y}} - 7\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1, \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{\frac{y-x}{2x}} - \sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2} \\16\sqrt{\frac{x}{x+y}} - 7\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1\end{cases}$$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{\frac{y-x}{2x}}$ и $v = \sqrt{\frac{x}{x+y}}$. Так как значения квадратных корней не могут быть отрицательными, должно выполняться $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

С новыми переменными система примет вид:

$$\begin{cases}u - v = \frac{1}{2} \\16v - 7u = 1\end{cases}$$

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + \frac{1}{2}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$16v - 7(v + \frac{1}{2}) = 1$

$16v - 7v - 3.5 = 1$

$9v = 4.5$

$v = \frac{4.5}{9} = 0.5 = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $u$:

$u = v + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Найденные значения $u=1$ и $v=1/2$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1 \implies \frac{y-x}{2x} = 1^2 \implies y-x = 2x \implies y = 3x$

$\sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{x+y} = (\frac{1}{2})^2 \implies \frac{x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 4x = x+y \implies y = 3x$

Оба уравнения приводят к одному и тому же соотношению $y=3x$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Необходимо также проверить область допустимых значений (ОДЗ) для исходных выражений. Знаменатели не должны быть равны нулю, а подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$x \ne 0$, $x+y \ne 0$, $\frac{y-x}{2x} \ge 0$ и $\frac{x}{x+y} \ge 0$.

Подставляя $y=3x$ в эти условия, получаем:

$x \ne 0$ (это основное ограничение).

$x+y = x+3x = 4x \ne 0$, что выполняется при $x \ne 0$.

$\frac{y-x}{2x} = \frac{3x-x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$. Условие $1 \ge 0$ выполнено.

$\frac{x}{x+y} = \frac{x}{x+3x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$. Условие $\frac{1}{4} \ge 0$ выполнено.

Следовательно, решением является любая пара чисел $(x, y)$, для которой $y=3x$ при любом $x \ne 0$.

Ответ: $y=3x, x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\2^{x+y} + 3^{x-y} = 3\end{cases}$$

Введем замену переменных для упрощения системы. Пусть $a = 2^{x+y}$ и $b = 3^{x-y}$. Так как основание степени положительно, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система в новых переменных выглядит следующим образом:

$$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$(a - b) + (a + b) = 1 + 3$

$2a = 4 \implies a = 2$

Теперь подставим найденное значение $a$ в любое из уравнений, например, во второе:

$2 + b = 3 \implies b = 1$

Полученные значения $a=2$ и $b=1$ положительны. Выполним обратную замену:

$a = 2^{x+y} = 2 \implies 2^{x+y} = 2^1 \implies x+y=1$

$b = 3^{x-y} = 1 \implies 3^{x-y} = 3^0 \implies x-y=0$

Теперь у нас есть простая система линейных уравнений для $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x+y = 1 \\x-y = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:

$x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

Так как $x=y$, то $y = \frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

59.14 a) $$ \begin{cases} \sqrt{x + 1} - y = 2, \\ \log_{7}(4 - x) = y; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} y + x = 1, \\ 2^{x - y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2}. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2, \\ \log_7(4-x) = y \end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Из первого уравнения, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что дает $x \ge -1$.
Из второго уравнения, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $4-x > 0$, что дает $x < 4$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ для $x$: $x \in [-1; 4)$.

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$\sqrt{x+1} - \log_7(4-x) = 2$

Перенесем 2 в левую часть, а логарифм в правую:

$\sqrt{x+1} - 2 = \log_7(4-x)$

Рассмотрим функции в левой и правой частях этого уравнения.
Функция $f(x) = \sqrt{x+1} - 2$ является возрастающей на своей области определения.
Функция $g(x) = \log_7(4-x)$ является убывающей, так как основание логарифма $7 > 1$, а выражение под логарифмом $4-x$ является убывающей функцией от $x$.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения. Попробуем найти это решение методом подбора, используя целые числа из ОДЗ.

Пусть $x=3$. Проверим это значение:
Левая часть: $\sqrt{3+1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Правая часть: $\log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.
Поскольку $0=0$, значение $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x=3$ во второе уравнение исходной системы:

$y = \log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.

Решение системы - пара чисел $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + x = 1, \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}$

Упростим правую часть второго уравнения. Выполним вычисления по частям:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$4 \cdot \frac{4}{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$2^{x-y} = 8$

Так как $8 = 2^3$, мы можем записать:

$2^{x-y} = 2^3$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить $y$:

$(x+y) + (x-y) = 1 + 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы ($x+y=1$):

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2$

$y = -1$

Решение системы - пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

59.15 a) $\begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $u = 2x + y$ и $v = x + 3y$. Тогда система примет вид:

$\begin{cases} u \cdot v = 48, \\ \frac{u}{v} = \frac{3}{4} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$:

$u = \frac{3}{4}v$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(\frac{3}{4}v) \cdot v = 48$

$\frac{3}{4}v^2 = 48$

$v^2 = 48 \cdot \frac{4}{3}$

$v^2 = 16 \cdot 4 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $v$:

$v_1 = 8$ и $v_2 = -8$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $v = 8$.

Найдем соответствующее значение $u$:

$u = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 6, \\ x + 3y = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 6 - 2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + 3(6 - 2x) = 8$

$x + 18 - 6x = 8$

$-5x = -10$

$x = 2$

Теперь найдем $y$:

$y = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$

Первое решение: $(2; 2)$.

Случай 2: $v = -8$.

Найдем соответствующее значение $u$:

$u = \frac{3}{4} \cdot (-8) = -6$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} 2x + y = -6, \\ x + 3y = -8 \end{cases}$

Из первого уравнения: $y = -6 - 2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + 3(-6 - 2x) = -8$

$x - 18 - 6x = -8$

$-5x = 10$

$x = -2$

Теперь найдем $y$:

$y = -6 - 2(-2) = -6 + 4 = -2$

Второе решение: $(-2; -2)$.

Ответ: $(2; 2)$, $(-2; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17 \end{cases}$

В этой системе также удобно применить метод замены переменных. Пусть $a = x - 3$ и $b = y + 2$. При этом из первого уравнения следует, что знаменатель не может быть равен нулю: $y + 2 \neq 0$, то есть $y \neq -2$. В новых переменных это означает $b \neq 0$.

Система в новых переменных выглядит так:

$\begin{cases} \frac{a}{b} = 4, \\ a^2 + b^2 = 17 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$a = 4b$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4b)^2 + b^2 = 17$

$16b^2 + b^2 = 17$

$17b^2 = 17$

$b^2 = 1$

Отсюда находим два возможных значения для $b$:

$b_1 = 1$ и $b_2 = -1$. Оба значения удовлетворяют условию $b \neq 0$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $b = 1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 4b = 4 \cdot 1 = 4$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему:

$\begin{cases} x - 3 = 4, \\ y + 2 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7, \\ y = -1 \end{cases}$

Первое решение: $(7; -1)$.

Случай 2: $b = -1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 4b = 4 \cdot (-1) = -4$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} x - 3 = -4, \\ y + 2 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1, \\ y = -3 \end{cases}$

Второе решение: $(-1; -3)$.

Ответ: $(7; -1)$, $(-1; -3)$.

59.16 a)

$\begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases}$

а) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4 \\2x - y = 4\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных, исходя из того, что выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x - y \ge 0$

$x + 3y \ge 0$

Из второго уравнения системы выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение и в условия ОДЗ.

Проверка ОДЗ:

1) $x - (2x - 4) \ge 0 \implies -x + 4 \ge 0 \implies x \le 4$.

2) $x + 3(2x - 4) \ge 0 \implies x + 6x - 12 \ge 0 \implies 7x \ge 12 \implies x \ge \frac{12}{7}$.

Таким образом, ОДЗ для x: $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Подставим $y = 2x - 4$ в первое уравнение:

$\sqrt{x - (2x - 4)} + \sqrt{x + 3(2x - 4)} = 4$

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{7x - 12} = 4$

Для решения этого иррационального уравнения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{4 - x}$ и $b = \sqrt{7x - 12}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда уравнение примет вид $a + b = 4$.

Возведем выражения для a и b в квадрат: $a^2 = 4 - x$ и $b^2 = 7x - 12$.

Из первого равенства выразим x: $x = 4 - a^2$. Подставим во второе:

$b^2 = 7(4 - a^2) - 12 = 28 - 7a^2 - 12 = 16 - 7a^2$.

Получили систему для a и b:

$\begin{cases}a + b = 4 \\7a^2 + b^2 = 16\end{cases}$

Из первого уравнения выразим b: $b = 4 - a$. Подставим во второе:

$7a^2 + (4 - a)^2 = 16$

$7a^2 + 16 - 8a + a^2 = 16$

$8a^2 - 8a = 0$

$8a(a - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для a: $a_1 = 0$ и $a_2 = 1$. Оба значения неотрицательны, поэтому подходят.

Рассмотрим оба случая:

1) Если $a = 0$, то $\sqrt{4 - x} = 0$, откуда $x = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Найдем y: $y = 2(4) - 4 = 4$. Получили решение $(4, 4)$.

2) Если $a = 1$, то $\sqrt{4 - x} = 1$, откуда $4 - x = 1$, то есть $x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Найдем y: $y = 2(3) - 4 = 2$. Получили решение $(3, 2)$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему. Оба решения удовлетворяют уравнениям системы.

Ответ: $(3; 2), (4; 4)$.

б) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}6x + 2y = 10 \\\sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2\end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 2:

$3x + y = 5$

Выразим y через x:

$y = 5 - 3x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$2x + y \ge 0$

$6x - 3y \ge 0$

Подставим $y = 5 - 3x$ в условия ОДЗ:

1) $2x + (5 - 3x) \ge 0 \implies 5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.

2) $6x - 3(5 - 3x) \ge 0 \implies 6x - 15 + 9x \ge 0 \implies 15x - 15 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Таким образом, ОДЗ для x: $1 \le x \le 5$.

Подставим $y = 5 - 3x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2x + (5 - 3x)} + \sqrt{6x - 3(5 - 3x)} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{15x - 15} = 2$

Для решения введем замену. Пусть $a = \sqrt{5 - x}$ и $b = \sqrt{15x - 15}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение примет вид $a + b = 2$.

Возведем выражения для a и b в квадрат: $a^2 = 5 - x$ и $b^2 = 15x - 15$.

Из первого равенства $x = 5 - a^2$. Подставим во второе:

$b^2 = 15(5 - a^2) - 15 = 75 - 15a^2 - 15 = 60 - 15a^2$.

Получили систему для a и b:

$\begin{cases}a + b = 2 \\15a^2 + b^2 = 60\end{cases}$

Из первого уравнения $b = 2 - a$. Подставим во второе:

$15a^2 + (2 - a)^2 = 60$

$15a^2 + 4 - 4a + a^2 = 60$

$16a^2 - 4a - 56 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$4a^2 - a - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

$a = \frac{1 \pm 15}{8}$

$a_1 = \frac{1 + 15}{8} = 2$

$a_2 = \frac{1 - 15}{8} = -\frac{7}{4}$

Так как по определению $a = \sqrt{5 - x} \ge 0$, то корень $a_2 = -7/4$ является посторонним.

Остается единственное значение $a = 2$.

Вернемся к замене: $\sqrt{5 - x} = 2$.

Возведем в квадрат: $5 - x = 4$, откуда $x = 1$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 1 \le 5$).

Найдем соответствующее значение y:

$y = 5 - 3(1) = 2$.

Получили единственное решение $(1, 2)$. Проверка показывает, что оно удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $(1; 2)$.

59.17 a)

б)

a)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $

Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.
Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:
$a^3 b^3 = 216$
$(ab)^3 = 6^3$
$ab = 6$

Первое уравнение системы в новых переменных будет выглядеть так:
$a + b = 5$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6; \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Найдем корни этого уравнения, например, разложив на множители: $(t-2)(t-3)=0$.
Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Следовательно, у нас есть два случая для пар $(a, b)$: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 1: $a = 2$, $b = 3$.
$ \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8 $
$ \sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27 $
Получили решение $(8, 27)$.

Случай 2: $a = 3$, $b = 2$.
$ \sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27 $
$ \sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8 $
Получили решение $(27, 8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.
Ответ: $(8, 27), (27, 8)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.
Тогда $x = u^4$ и $y = v^4$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:
$\sqrt{u^4 v^4} = 4$
$\sqrt{(uv)^4} = 4$
$(uv)^2 = 4$
Поскольку $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Следовательно, $uv = 2$.

Первое уравнение системы в новых переменных будет выглядеть так:
$u - v = 1$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для $u$ и $v$:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ uv = 2; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1+v)v = 2$
$v^2 + v - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$. Корни можно найти, например, по теореме Виета: $v_1 = 1$, $v_2 = -2$.
Так как $v = \sqrt[4]{y}$, то $v$ не может быть отрицательным ($v \ge 0$). Поэтому корень $v_2 = -2$ является посторонним.
Единственное возможное значение для $v$ это $v = 1$.

Теперь найдем $u$:
$u = 1 + v = 1 + 1 = 2$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$ \sqrt[4]{x} = u = 2 \implies x = 2^4 = 16 $
$ \sqrt[4]{y} = v = 1 \implies y = 1^4 = 1 $

Проверка показывает, что найденное решение $(16, 1)$ удовлетворяет исходной системе.
Ответ: $(16, 1)$.

59.18 a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3\sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}}, \\ xy + 2x = 13 - 4y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0, \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3\sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}} \\ xy + 2x = 13 - 4y \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.

$y+5 \neq 0 \implies y \neq -5$

$x+3y \neq 0$

Из этих условий следует, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}}$. Так как корень из положительного числа, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + 2 = \frac{3}{t}$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Поскольку $t > 0$, корень $t = -3$ является посторонним. Таким образом, $t = 1$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x + 3y}{y + 5} = 1 \implies x + 3y = y + 5 \implies x = 5 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$xy + 2x + 4y = 13$

$(5 - 2y)y + 2(5 - 2y) + 4y = 13$

$5y - 2y^2 + 10 - 4y + 4y = 13$

$-2y^2 + 5y + 10 = 13$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 5 - 2y$:

При $y_1 = 1$: $x_1 = 5 - 2(1) = 3$. Получили решение $(3, 1)$.

При $y_2 = 3/2$: $x_2 = 5 - 2(\frac{3}{2}) = 5 - 3 = 2$. Получили решение $(2, 3/2)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ.

Для пары $(3, 1)$: $\frac{3 + 3(1)}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(2, 3/2)$: $\frac{2 + 3(3/2)}{3/2 + 5} = \frac{2 + 9/2}{13/2} = \frac{13/2}{13/2} = 1 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(3, 1)$, $(2, 3/2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0 \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4 \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. ОДЗ: $\frac{x + y}{x - y} > 0$. Это означает, что $x+y$ и $x-y$ должны быть одного знака и не равны нулю.

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{x + y}{x - y}}$. Тогда $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{3}{t} = 4$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны и подходят.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 1 \implies \frac{x + y}{x - y} = 1 \implies x + y = x - y \implies 2y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 4x - 0^2 - 3(0) = 0 \implies x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $x = -4$.

Получаем две возможные пары: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Проверим по ОДЗ:

Для $(0, 0)$: $\frac{0+0}{0-0}$ - выражение не определено. Решение постороннее.

Для $(-4, 0)$: $\frac{-4+0}{-4-0} = \frac{-4}{-4} = 1 > 0$. Решение подходит.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 3 \implies \frac{x + y}{x - y} = 9 \implies x + y = 9(x - y) \implies x + y = 9x - 9y \implies 10y = 8x \implies y = \frac{4}{5}x$.

Подставим $y = \frac{4}{5}x$ в первое уравнение:

$x^2 + 4x - (\frac{4}{5}x)^2 - 3(\frac{4}{5}x) = 0$

$x^2 + 4x - \frac{16}{25}x^2 - \frac{12}{5}x = 0$

Умножим на 25: $25x^2 + 100x - 16x^2 - 60x = 0$.

$9x^2 + 40x = 0 \implies x(9x + 40) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $x = -\frac{40}{9}$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{4}{5}(0) = 0$. Получаем пару $(0, 0)$, которая является посторонней.

Если $x = -\frac{40}{9}$, то $y = \frac{4}{5}(-\frac{40}{9}) = -\frac{32}{9}$. Получаем пару $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.

Проверим по ОДЗ: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{-40/9 - 32/9}{-40/9 - (-32/9)} = \frac{-72/9}{-8/9} = 9 > 0$. Решение подходит.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два решения.

Ответ: $(-4, 0)$, $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.