Страница 232, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 1. Cтраница 232

№59.19 (с. 232)
Условие. №59.19 (с. 232)
скриншот условия

59.19 a) $ \begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases} $
б) $ \begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $
Решение 1. №59.19 (с. 232)

Решение 2. №59.19 (с. 232)



Решение 5. №59.19 (с. 232)



Решение 6. №59.19 (с. 232)
а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$
Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.
Преобразуем первое уравнение. Представим числа $0,25$ и $512$ в виде степеней с основанием 2:
$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
$512 = 2^9$
Подставим эти значения в первое уравнение:
$2^x \cdot (2^{-2})^{-y} = 2^9$
$2^x \cdot 2^{2y} = 2^9$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$2^{x+2y} = 2^9$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x+2y=9$
Теперь система уравнений имеет вид:
$\begin{cases} x+2y=9, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$
Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:
$\begin{cases} a^2+2b^2=9, \\ a + 2b = 5; \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 5 - 2b$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(5-2b)^2 + 2b^2 = 9$
$25 - 20b + 4b^2 + 2b^2 = 9$
$6b^2 - 20b + 25 - 9 = 0$
$6b^2 - 20b + 16 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$3b^2 - 10b + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.
$b_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6}$
$b_1 = \frac{12}{6} = 2$
$b_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Оба значения для $b$ неотрицательны, поэтому оба подходят. Найдем соответствующие значения $a$ для каждого $b$.
1. Если $b=2$:
$a = 5 - 2(2) = 1$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^2 = 1^2 = 1$
$y = b^2 = 2^2 = 4$
Получили первую пару решений $(1, 4)$.
2. Если $b=\frac{4}{3}$:
$a = 5 - 2(\frac{4}{3}) = 5 - \frac{8}{3} = \frac{15-8}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$
$y = b^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
Получили вторую пару решений $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.
Проверка подтверждает, что обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(1, 4), (\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.
б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$
Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$. Из второго уравнения $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$, следует что $\sqrt{x} \ge 1$, то есть $x \ge 1$.
Преобразуем первое уравнение. Представим числа $9$ и $729$ в виде степеней с основанием 3:
$9 = 3^2$
$729 = 3^6$
Подставим эти значения в первое уравнение:
$(3^2)^x \cdot 3^{y-3} = 3^6$
$3^{2x} \cdot 3^{y-3} = 3^6$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$3^{2x+y-3} = 3^6$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$2x+y-3=6$
$2x+y=9$
Теперь система уравнений имеет вид:
$\begin{cases} 2x+y=9, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$
Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:
$\begin{cases} 2a^2+b^2=9, \\ a - b = 1; \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(1+b)^2 + b^2 = 9$
$2(1 + 2b + b^2) + b^2 = 9$
$2 + 4b + 2b^2 + b^2 = 9$
$3b^2 + 4b + 2 - 9 = 0$
$3b^2 + 4b - 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.
$b_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 10}{6}$
$b_1 = \frac{6}{6} = 1$
$b_2 = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
Так как $b = \sqrt{y}$, значение $b$ не может быть отрицательным. Поэтому $b_2 = -\frac{7}{3}$ является посторонним корнем. Остается единственное решение $b=1$.
Найдем соответствующее значение $a$:
$a = 1 + b = 1 + 1 = 2$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^2 = 2^2 = 4$
$y = b^2 = 1^2 = 1$
Получили решение $(4, 1)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x=4 \ge 1, y=1 \ge 0$).
Ответ: $(4, 1)$.
№59.20 (с. 232)
Условие. №59.20 (с. 232)
скриншот условия

59.20 a) $$\begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases}$$
Решение 1. №59.20 (с. 232)

Решение 2. №59.20 (с. 232)


Решение 5. №59.20 (с. 232)



Решение 6. №59.20 (с. 232)
а)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из аргументов логарифмов следует, что $x > 0$ и $y > 0$. При этих условиях $x^2 + y^2 > 0$ также выполняется.
Рассмотрим первое уравнение. Упростим его правую часть, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$ и основное логарифмическое тождество $\log_a a = 1$:
$0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 \cdot \log_{\pi} \pi = 1 \cdot 1 = 1$.
Теперь первое уравнение имеет вид: $\log_{13}(x^2 + y^2) = 1$.
По определению логарифма, это эквивалентно $x^2 + y^2 = 13^1 = 13$.
Рассмотрим второе уравнение. Представим $1$ как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.
$\log_3 x - \log_3 3 = \log_3 2 - \log_3 y$
Используя свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$, преобразуем обе части уравнения:
$\log_3(x/3) = \log_3(2/y)$
Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:
$x/3 = 2/y$, откуда получаем $xy = 6$.
В результате мы получили систему алгебраических уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 6/x$. (Деление на $x$ возможно, так как по ОДЗ $x > 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (6/x)^2 = 13$
$x^2 + 36/x^2 = 13$
Умножим обе части уравнения на $x^2$ (которое не равно нулю):
$x^4 + 36 = 13x^2$
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Так как $x > 0$, то $x = 2$. Тогда $y = 6/x = 6/2 = 3$. Эта пара (2, 3) удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$ и $3 > 0$).
2) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Так как $x > 0$, то $x = 3$. Тогда $y = 6/x = 6/3 = 2$. Эта пара (3, 2) также удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $2 > 0$).
Ответ: (2, 3), (3, 2).
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases} $
ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.
Для удобства решения введем замену: пусть $a = \log_7(x + y)$ и $b = \log_7(x - y)$. Система уравнений примет вид:
$ \begin{cases} a = 4b, \\ a = 5 \log_7 3 - b. \end{cases} $
Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:
$4b = 5 \log_7 3 - b$
$5b = 5 \log_7 3$
$b = \log_7 3$
Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в первое уравнение системы: $a = 4b = 4 \log_7 3$.
Выполним обратную замену:
1) $b = \log_7(x - y)$. Так как $b = \log_7 3$, то $\log_7(x - y) = \log_7 3$, откуда $x - y = 3$.
2) $a = \log_7(x + y)$. Так как $a = 4 \log_7 3$, то $\log_7(x + y) = 4 \log_7 3$. Используя свойство степени логарифма, $c \log_b a = \log_b a^c$, получаем: $\log_7(x+y) = \log_7 3^4 = \log_7 81$. Отсюда $x + y = 81$.
В результате мы получили систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 3. \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 81+3$, что дает $2x = 84$, и $x = 42$.
Подставим найденное значение $x=42$ в первое уравнение: $42 + y = 81$, откуда $y = 81 - 42 = 39$.
Проверим, удовлетворяет ли найденное решение (42, 39) ОДЗ:
$x+y = 42+39 = 81 > 0$.
$x-y = 42-39 = 3 > 0$.
Оба условия выполнены, следовательно, решение верно.
Ответ: (42, 39).
№59.21 (с. 232)
Условие. №59.21 (с. 232)
скриншот условия

59.21 a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases}$
б) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75. \end{cases}$
Решение 1. №59.21 (с. 232)

Решение 2. №59.21 (с. 232)


Решение 5. №59.21 (с. 232)


Решение 6. №59.21 (с. 232)
а)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $
Введем замену переменных: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} u + v = 0, \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $u$: $u = -v$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(-v)^2 + v^2 = \frac{1}{2}$
$v^2 + v^2 = \frac{1}{2}$
$2v^2 = \frac{1}{2}$
$v^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v = \frac{1}{2}$ или $v = -\frac{1}{2}$.
Найдем соответствующие значения для $u$, используя $u = -v$:
1. Если $v = \frac{1}{2}$, то $u = -\frac{1}{2}$.
2. Если $v = -\frac{1}{2}$, то $u = \frac{1}{2}$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две системы для нахождения $x$ и $y$.
Случай 1: $\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.
Решения этих уравнений:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = -\frac{1}{2}$.
Решения этих уравнений:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\left( (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
б)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ для преобразования второго уравнения:
$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75$
$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75$
$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - 1,75$
$\cos^2 x + \cos^2 y = 0,25$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \end{cases} $
Введем замену переменных: пусть $u = \cos x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} u + v = 0,5, \\ u^2 + v^2 = 0,25 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v$: $v = 0,5 - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$u^2 + (0,5 - u)^2 = 0,25$
$u^2 + 0,25 - u + u^2 = 0,25$
$2u^2 - u = 0$
$u(2u - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $u$: $u = 0$ или $u = 0,5$.
Найдем соответствующие значения для $v$, используя $v = 0,5 - u$:
1. Если $u = 0$, то $v = 0,5$.
2. Если $u = 0,5$, то $v = 0$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две симметричные системы.
Случай 1: $\cos x = 0$ и $\cos y = 0,5$.
Решения этих уравнений:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\cos x = 0,5$ и $\cos y = 0$.
Решения этих уравнений:
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
№59.22 (с. 232)
Условие. №59.22 (с. 232)
скриншот условия

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:
59.22 а) $\begin{cases}x + 2y - 3z = -3 \\2x - 3y + z = 8 \\-x + y - 5z = -8\end{cases}$
б) $\begin{cases}3x - 5y + z = -13 \\x + 3y - 2z = 5 \\2x - 2y + 5z = -6\end{cases}$
Решение 1. №59.22 (с. 232)

Решение 2. №59.22 (с. 232)


Решение 5. №59.22 (с. 232)

Решение 6. №59.22 (с. 232)
а)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3 & (1) \\ 2x - 3y + z = 8 & (2) \\ -x + y - 5z = -8 & (3) \end{cases} $$
Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Сложим уравнение (1) и уравнение (3), чтобы исключить переменную $x$: $$ (x + 2y - 3z) + (-x + y - 5z) = -3 + (-8) $$ $$ 3y - 8z = -11 \quad (4) $$
Теперь исключим $x$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (1) на -2 и сложим с уравнением (2): $$ -2(x + 2y - 3z) = -2(-3) \implies -2x - 4y + 6z = 6 $$ Сложим полученное уравнение с уравнением (2): $$ (-2x - 4y + 6z) + (2x - 3y + z) = 6 + 8 $$ $$ -7y + 7z = 14 $$ Разделим обе части на 7: $$ -y + z = 2 \quad (5) $$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} 3y - 8z = -11 & (4) \\ -y + z = 2 & (5) \end{cases} $$
Из уравнения (5) выразим $z$: $$ z = y + 2 $$
Подставим это выражение для $z$ в уравнение (4): $$ 3y - 8(y + 2) = -11 $$ $$ 3y - 8y - 16 = -11 $$ $$ -5y = -11 + 16 $$ $$ -5y = 5 $$ $$ y = -1 $$
Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = y + 2$: $$ z = -1 + 2 $$ $$ z = 1 $$
Наконец, найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в уравнение (1): $$ x + 2(-1) - 3(1) = -3 $$ $$ x - 2 - 3 = -3 $$ $$ x - 5 = -3 $$ $$ x = 2 $$
Проверим решение, подставив найденные значения $x=2, y=-1, z=1$ в уравнения (2) и (3):
Уравнение (2): $2(2) - 3(-1) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8$. Верно.
Уравнение (3): $-(2) + (-1) - 5(1) = -2 - 1 - 5 = -8$. Верно.
Ответ: $x=2, y=-1, z=1$.
б)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13 & (1) \\ x + 3y - 2z = 5 & (2) \\ 2x - 2y + 5z = -6 & (3) \end{cases} $$
Решим систему методом подстановки. Из уравнения (2) выразим переменную $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z $$
Подставим это выражение для $x$ в уравнение (1): $$ 3(5 - 3y + 2z) - 5y + z = -13 $$ $$ 15 - 9y + 6z - 5y + z = -13 $$ $$ -14y + 7z = -13 - 15 $$ $$ -14y + 7z = -28 $$ Разделим обе части уравнения на 7: $$ -2y + z = -4 \quad (4) $$
Теперь подставим выражение для $x$ в уравнение (3): $$ 2(5 - 3y + 2z) - 2y + 5z = -6 $$ $$ 10 - 6y + 4z - 2y + 5z = -6 $$ $$ -8y + 9z = -6 - 10 $$ $$ -8y + 9z = -16 \quad (5) $$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} -2y + z = -4 & (4) \\ -8y + 9z = -16 & (5) \end{cases} $$
Из уравнения (4) выразим $z$: $$ z = 2y - 4 $$
Подставим это выражение для $z$ в уравнение (5): $$ -8y + 9(2y - 4) = -16 $$ $$ -8y + 18y - 36 = -16 $$ $$ 10y = -16 + 36 $$ $$ 10y = 20 $$ $$ y = 2 $$
Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = 2y - 4$: $$ z = 2(2) - 4 $$ $$ z = 4 - 4 $$ $$ z = 0 $$
Наконец, найдем $x$, подставив значения $y=2$ и $z=0$ в выражение для $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z = 5 - 3(2) + 2(0) = 5 - 6 = -1 $$
Проверим решение, подставив найденные значения $x=-1, y=2, z=0$ в уравнения (1) и (3):
Уравнение (1): $3(-1) - 5(2) + 0 = -3 - 10 = -13$. Верно.
Уравнение (3): $2(-1) - 2(2) + 5(0) = -2 - 4 + 0 = -6$. Верно.
Ответ: $x=-1, y=2, z=0$.
№59.23 (с. 232)
Условие. №59.23 (с. 232)
скриншот условия

59.23 a) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5. \end{cases}$
Решение 1. №59.23 (с. 232)

Решение 2. №59.23 (с. 232)


Решение 5. №59.23 (с. 232)

Решение 6. №59.23 (с. 232)
a)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1;\end{cases} $
Из первого и второго уравнений выразим $y$ и $z$ через $x$.
Из $x + y = -1$ получаем $y = -1 - x$.
Из $x - z = 2$ получаем $z = x - 2$.
Подставим полученные выражения для $y$ и $z$ в третье уравнение системы:
$x(-1 - x) + x(x - 2) + (-1 - x)(x - 2) = -1$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$-x - x^2 + x^2 - 2x + (-x + 2 - x^2 + 2x) = -1$
$-3x + (x + 2 - x^2) = -1$
$-2x + 2 - x^2 = -1$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, используя корни, которые в сумме дают -2, а в произведении -3. Это числа -3 и 1.
$(x + 3)(x - 1) = 0$
Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого из найденных $x$.
1. Если $x_1 = 1$:
$y_1 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$
$z_1 = x_1 - 2 = 1 - 2 = -1$
Первое решение: $(1, -2, -1)$.
2. Если $x_2 = -3$:
$y_2 = -1 - x_2 = -1 - (-3) = 2$
$z_2 = x_2 - 2 = -3 - 2 = -5$
Второе решение: $(-3, 2, -5)$.
Ответ: $(1, -2, -1), (-3, 2, -5)$.
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5.\end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти связь между $y$ и $z$:
$(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 1 - 0$
$y - z = 1$, откуда получаем $y = z + 1$.
Подставим $y = z + 1$ в первое уравнение, чтобы выразить $x$ через $z$:
$x + (z + 1) + 2z = 0$
$x + 3z + 1 = 0$, откуда $x = -3z - 1$.
Теперь подставим выражения для $x$ и $y$ в третье уравнение системы:
$(-3z - 1)^2 + (z + 1)^2 + z^2 = 5$
Раскроем скобки:
$(9z^2 + 6z + 1) + (z^2 + 2z + 1) + z^2 = 5$
Приведем подобные слагаемые:
$11z^2 + 8z + 2 = 5$
$11z^2 + 8z - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение для $z$ с помощью формулы для корней. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.
Теперь найдем корни:
$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 14}{2 \cdot 11}$
$z_1 = \frac{-8 + 14}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$
$z_2 = \frac{-8 - 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1$
Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого $z$.
1. Если $z_1 = \frac{3}{11}$:
$y_1 = z_1 + 1 = \frac{3}{11} + 1 = \frac{14}{11}$
$x_1 = -3z_1 - 1 = -3\left(\frac{3}{11}\right) - 1 = -\frac{9}{11} - \frac{11}{11} = -\frac{20}{11}$
Первое решение: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$.
2. Если $z_2 = -1$:
$y_2 = z_2 + 1 = -1 + 1 = 0$
$x_2 = -3z_2 - 1 = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$
Второе решение: $(2, 0, -1)$.
Ответ: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11}), (2, 0, -1)$.
№59.24 (с. 232)
Условие. №59.24 (с. 232)
скриншот условия

59.24 Составьте уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что она проходит через точки M, P, Q:
a) M(1; -2), P(-1; 8), Q(2; -1);
б) M(-1; 6), P(2; 9), Q(1; 2).
Решение 1. №59.24 (с. 232)

Решение 2. №59.24 (с. 232)


Решение 5. №59.24 (с. 232)


Решение 6. №59.24 (с. 232)
а)
Чтобы найти уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, необходимо найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Поскольку парабола проходит через точки M(1; −2), P(−1; 8) и Q(2; −1), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему из трех линейных уравнений.
Для точки M(1; −2):
$-2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = -2$ (1)
Для точки P(−1; 8):
$8 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 8$ (2)
Для точки Q(2; −1):
$-1 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = -1$ (3)
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} a + b + c = -2 \\ a - b + c = 8 \\ 4a + 2b + c = -1 \end{cases} $
Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(a - b + c) - (a + b + c) = 8 - (-2)$
$-2b = 10$
$b = -5$
Теперь подставим найденное значение $b = -5$ в уравнения (1) и (3):
$ \begin{cases} a + (-5) + c = -2 \\ 4a + 2(-5) + c = -1 \end{cases} $
Упростим систему:
$ \begin{cases} a + c = 3 \\ 4a + c = 9 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение новой системы из второго:
$(4a + c) - (a + c) = 9 - 3$
$3a = 6$
$a = 2$
Подставим значение $a = 2$ в уравнение $a + c = 3$:
$2 + c = 3$
$c = 1$
Мы нашли все коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:
$y = 2x^2 - 5x + 1$
Ответ: $y = 2x^2 - 5x + 1$.
б)
Аналогично, подставим координаты точек M(−1; 6), P(2; 9) и Q(1; 2) в уравнение $y = ax^2 + bx + c$.
Для точки M(−1; 6):
$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 6$ (1)
Для точки P(2; 9):
$9 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = 9$ (2)
Для точки Q(1; 2):
$2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 2$ (3)
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} a - b + c = 6 \\ 4a + 2b + c = 9 \\ a + b + c = 2 \end{cases} $
Вычтем уравнение (3) из уравнения (1):
$(a - b + c) - (a + b + c) = 6 - 2$
$-2b = 4$
$b = -2$
Подставим значение $b = -2$ в уравнения (3) и (2):
$ \begin{cases} a + (-2) + c = 2 \\ 4a + 2(-2) + c = 9 \end{cases} $
Упростим систему:
$ \begin{cases} a + c = 4 \\ 4a + c = 13 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение новой системы из второго:
$(4a + c) - (a + c) = 13 - 4$
$3a = 9$
$a = 3$
Подставим значение $a = 3$ в уравнение $a + c = 4$:
$3 + c = 4$
$c = 1$
Мы нашли все коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:
$y = 3x^2 - 2x + 1$
Ответ: $y = 3x^2 - 2x + 1$.
№59.25 (с. 232)
Условие. №59.25 (с. 232)
скриншот условия

59.25 Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.
Решение 1. №59.25 (с. 232)

Решение 2. №59.25 (с. 232)

Решение 5. №59.25 (с. 232)


Решение 6. №59.25 (с. 232)
Пусть задуманное трёхзначное число можно представить в виде $\overline{xyz}$, где $x$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятков, а $z$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100x + 10y + z$. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $x$ не может быть нулём ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ и $z$ — это цифры от 0 до 9 ($y, z \in \{0, 1, ..., 9\}$).
Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма цифр равна 8:
$x + y + z = 8$
2. Сумма квадратов его цифр равна 26:
$x^2 + y^2 + z^2 = 26$
3. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, — это $\overline{zyx}$, и его значение равно $100z + 10y + x$.
$(100x + 10y + z) + 198 = 100z + 10y + x$
Начнём с упрощения третьего уравнения:
$100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x$
Вычтем $10y$ из обеих частей уравнения:
$100x + z + 198 = 100z + x$
Сгруппируем слагаемые с переменными в левой части, а постоянные — в правой:
$100x - x + z - 100z = -198$
$99x - 99z = -198$
Разделим обе части на 99:
$x - z = -2$
Отсюда получаем соотношение между первой и последней цифрами:
$z = x + 2$
Теперь подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение ($x + y + z = 8$):
$x + y + (x + 2) = 8$
$2x + y + 2 = 8$
$2x + y = 6$
Выразим $y$ через $x$:
$y = 6 - 2x$
Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Подставим их во второе уравнение ($x^2 + y^2 + z^2 = 26$):
$x^2 + (6 - 2x)^2 + (x + 2)^2 = 26$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$x^2 + (36 - 24x + 4x^2) + (x^2 + 4x + 4) = 26$
Приведём подобные слагаемые:
$(x^2 + 4x^2 + x^2) + (-24x + 4x) + (36 + 4) = 26$
$6x^2 - 20x + 40 = 26$
$6x^2 - 20x + 14 = 0$
Для упрощения разделим всё уравнение на 2:
$3x^2 - 10x + 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $3 - 10 + 7 = 0$. Это означает, что один из корней равен 1.
$x_1 = 1$
Второй корень можно найти по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $c/a$.
$1 \cdot x_2 = \frac{7}{3} \implies x_2 = \frac{7}{3}$
Так как $x$ — это цифра, она должна быть целым числом. Поэтому корень $x = \frac{7}{3}$ не является решением задачи. Единственно возможным значением для первой цифры является $x=1$.
Теперь, зная $x$, найдём значения $y$ и $z$:
$y = 6 - 2x = 6 - 2(1) = 4$
$z = x + 2 = 1 + 2 = 3$
Таким образом, цифры задуманного числа: $x=1$ (сотни), $y=4$ (десятки), $z=3$ (единицы). Задуманное число — 143.
Проведем проверку:
1. Сумма цифр: $1 + 4 + 3 = 8$. Условие выполнено.
2. Сумма квадратов цифр: $1^2 + 4^2 + 3^2 = 1 + 16 + 9 = 26$. Условие выполнено.
3. Прибавление 198: $143 + 198 = 341$. Число 341 — это число 143, записанное в обратном порядке. Условие выполнено.
Все условия задачи соблюдены.
Ответ: 143.
№1 (с. 232)
Условие. №1 (с. 232)
скриншот условия

1. Производная в экономике. Производительность как производная объёма продукции.
Решение 6. №1 (с. 232)
Производная в экономике
Производная является одним из фундаментальных понятий в математическом анализе, которое находит широкое применение в экономике для анализа предельных (маржинальных) величин. Экономические процессы часто описываются функциями, и производная позволяет определить скорость изменения одной экономической величины по отношению к другой. Этот подход называется предельным анализом.
Ключевые экономические понятия, использующие производную:
- Предельные издержки (Marginal Cost, MC): Если функция $C(q)$ описывает общие издержки производства $q$ единиц продукции, то предельные издержки представляют собой дополнительные затраты на производство еще одной единицы продукции. Они вычисляются как производная функции общих издержек:
$MC(q) = C'(q) = \frac{dC}{dq}$
Это значение показывает, насколько примерно возрастут общие издержки при увеличении объема выпуска на одну единицу. - Предельный доход (Marginal Revenue, MR): Если функция $R(q)$ описывает общий доход (выручку) от продажи $q$ единиц продукции, то предельный доход — это дополнительный доход, полученный от продажи еще одной единицы продукции. Он вычисляется как производная функции общего дохода:
$MR(q) = R'(q) = \frac{dR}{dq}$ - Предельная прибыль (Marginal Profit, MP): Прибыль $P(q)$ является разницей между доходом и издержками: $P(q) = R(q) - C(q)$. Предельная прибыль показывает изменение прибыли при производстве и продаже одной дополнительной единицы продукции. Фирма достигает максимальной прибыли, когда предельная прибыль равна нулю, то есть когда предельный доход равен предельным издержкам:
$P'(q) = 0 \implies R'(q) - C'(q) = 0 \implies MR(q) = MC(q)$ - Эластичность функции: Эластичность показывает, на сколько процентов изменится одна переменная (например, объем спроса) при изменении другой переменной (например, цены) на 1%. Эластичность спроса по цене вычисляется с использованием производной:
$E_p(q) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp}$, где $q(p)$ — функция спроса от цены $p$.
Таким образом, производная в экономике — это мощный инструмент для анализа динамики экономических показателей, принятия оптимальных решений и прогнозирования.
Ответ: В экономике производная используется для определения предельных величин, таких как предельные издержки, предельный доход и предельная прибыль. Она показывает скорость изменения одной экономической величины относительно другой и является основой для оптимизации деятельности фирмы, например, для нахождения объема производства, при котором прибыль максимальна.
Производительность как производная объёма продукции
Производительность труда характеризует эффективность использования трудовых ресурсов. В динамическом контексте производительность в конкретный момент времени можно рассматривать как скорость производства продукции. Если объем произведенной продукции $Q$ является функцией времени $t$, то есть $Q = Q(t)$, то производительность труда в момент времени $t$ будет равна производной этой функции по времени.
Математически это выражается следующей формулой:
$P(t) = Q'(t) = \frac{dQ}{dt}$
Здесь $P(t)$ — это мгновенная производительность труда в момент времени $t$. Она измеряется в единицах продукции в единицу времени (например, штук в час, тонн в смену).
Рассмотрим пример. Пусть объем продукции, произведенный бригадой за $t$ часов рабочего дня, описывается функцией $Q(t) = -0.5t^3 + 5t^2 + 20t$, где $0 \le t \le 8$.
Чтобы найти производительность труда в любой момент времени $t$, нужно взять производную от функции $Q(t)$:
$P(t) = Q'(t) = (-0.5t^3 + 5t^2 + 20t)' = -1.5t^2 + 10t + 20$
С помощью этой формулы можно определить производительность в конкретные моменты времени:
- В начале рабочего дня ($t=0$): $P(0) = -1.5(0)^2 + 10(0) + 20 = 20$ ед./час.
- Через два часа после начала работы ($t=2$): $P(2) = -1.5(2)^2 + 10(2) + 20 = -6 + 20 + 20 = 34$ ед./час.
Также с помощью производной можно найти момент времени, когда производительность труда будет максимальной. Для этого нужно найти производную от функции производительности $P(t)$ и приравнять ее к нулю:
$P'(t) = (-1.5t^2 + 10t + 20)' = -3t + 10$
$-3t + 10 = 0 \implies t = \frac{10}{3} \approx 3.33$ часа.
Это означает, что максимальная производительность достигается примерно через 3 часа 20 минут после начала смены.
Ответ: Производительность труда в определенный момент времени представляет собой скорость изменения объема выпускаемой продукции. Если объем продукции задан как функция времени $Q(t)$, то производительность $P(t)$ является ее производной по времени: $P(t) = Q'(t)$.
№2 (с. 232)
Условие. №2 (с. 232)
скриншот условия

объема продукции.
2. Как циркулем и линейкой провести касательную к параболе (эллипсу).
Решение 6. №2 (с. 232)
Построение касательной к параболе
Для построения касательной к параболе в заданной точке P на ней, необходимо сначала определить ключевые элементы параболы: ее ось симметрии и вершину. Предполагается, что дана кривая параболы и точка P на ней.
Этап 1: Нахождение оси симметрии и вершины параболы
- Проведите две произвольные параллельные хорды в параболе. Это можно сделать, проведя одну прямую, пересекающую параболу в двух точках (хорда), а затем вторую прямую, параллельную первой.
- С помощью циркуля и линейки найдите середины этих двух хорд.
- Проведите прямую через эти две середины. Эта прямая будет параллельна оси симметрии параболы.
- Проведите хорду, перпендикулярную этой прямой.
- Найдите середину этой перпендикулярной хорды.
- Прямая, проходящая через эту середину и параллельная прямой из шага 3, является осью симметрии параболы.
- Точка пересечения оси симметрии с параболой является ее вершиной. Обозначим ее V.
Этап 2: Построение касательной в точке P
Построение основано на свойстве параболы: подкасательная (проекция отрезка касательной от точки касания до пересечения с осью симметрии) на эту ось делится вершиной пополам.
- Из точки касания P опустите перпендикуляр на найденную ось симметрии. Обозначим основание этого перпендикуляра как N.
- На оси симметрии отложите от вершины V отрезок VT, равный отрезку VN, в сторону, противоположную точке N. Это делается циркулем, установив его в точку V с радиусом VN и проведя дугу до пересечения с осью.
- Проведите прямую через точки T и P.
Полученная прямая TP является искомой касательной к параболе в точке P.
Ответ: Прямая, построенная согласно вышеописанному алгоритму, является касательной к параболе в заданной точке P.
Построение касательной к эллипсу
Для построения касательной к эллипсу в заданной точке P на нем, необходимо сначала определить его фокусы. Предполагается, что дан эллипс и точка P на нем.
Этап 1: Нахождение центра, осей и фокусов эллипса
- Найдите центр эллипса O. Для этого проведите две пары параллельных хорд. Прямые, соединяющие середины хорд в каждой паре, пересекутся в центре O.
- Проведите через центр O окружность, пересекающую эллипс в четырех точках. Эти точки образуют прямоугольник, оси симметрии которого являются осями эллипса. Проведите эти оси.
- Большая ось пересекает эллипс в вершинах A и A', а малая ось — в вершинах B и B'. Длина большой полуоси $a = OA$.
- Для нахождения фокусов $F_1$ и $F_2$ установите циркуль в одну из вершин на малой оси (например, B) и проведите дугу радиусом, равным большой полуоси ($a$). Точки пересечения этой дуги с большой осью и будут фокусами.
Этап 2: Построение касательной в точке P
Построение основано на оптическом (отражательном) свойстве эллипса. Касательная к эллипсу в точке P является биссектрисой внешнего угла $\angle F_1PF_2$.
- Соедините точку касания P с обоими фокусами $F_1$ и $F_2$, получив отрезки $PF_1$ и $PF_2$.
- Продлите один из этих отрезков, например $F_1P$, за точку P (т.е. постройте луч $F_1P$).
- Постройте биссектрису угла, образованного лучом $PF_2$ и продолжением отрезка $F_1P$ за точку P. Этот угол является внешним для треугольника $\triangle F_1PF_2$.
- Для построения биссектрисы: установите циркуль в точку P и проведите дугу, пересекающую луч $PF_2$ в точке R и продолжение луча $F_1P$ в точке S. Затем с центрами в R и S проведите две дуги одинакового (и достаточного) радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через P и точку пересечения этих дуг, и есть искомая биссектриса.
Эта построенная прямая является касательной к эллипсу в точке P.
Ответ: Прямая, являющаяся биссектрисой внешнего угла при точке касания P треугольника, образованного этой точкой и фокусами эллипса ($\triangle F_1PF_2$), является касательной к эллипсу в данной точке.
№3 (с. 232)
Условие. №3 (с. 232)
скриншот условия

3. Дифференцирование функции $y = f(g(x))$.
Решение 6. №3 (с. 232)
Функция вида $y = f(g(x))$ называется сложной или композицией функций. В этой записи $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f$ — это внешняя функция. Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило (chain rule).
Теорема о производной сложной функции:
Если функция $u = g(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $y = f(u)$ имеет производную в соответствующей точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ также имеет производную в точке $x_0$, которая вычисляется по формуле:
$y'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Иными словами, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (где аргументом выступает внутренняя функция) на производную внутренней функции по независимой переменной $x$.
В обозначениях Лейбница это правило выглядит очень наглядно. Если положить $u = g(x)$, то $y = f(u)$. Тогда:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
- Определить, какая функция является внешней ($f$), а какая — внутренней ($g$).
- Найти производную внешней функции $f'(u)$, оставив её аргумент без изменений (то есть, $g(x)$).
- Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
- Перемножить результаты, полученные на шагах 2 и 3.
Рассмотрим на примерах.
Пример 1: Найти производную функции $y = \sin(x^3)$.
Решение:
1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3$.
2. Находим производную внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. Подставляем вместо $u$ нашу внутреннюю функцию $g(x)$: $f'(g(x)) = \cos(x^3)$.
3. Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
4. Перемножаем результаты: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.
Ответ: $y' = 3x^2\cos(x^3)$
Пример 2: Найти производную функции $y = (5x^2 - 4x + 1)^7$.
Решение:
1. Внешняя функция (степенная): $f(u) = u^7$. Внутренняя функция (многочлен): $g(x) = 5x^2 - 4x + 1$.
2. Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = 7(5x^2 - 4x + 1)^6$.
3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (5x^2 - 4x + 1)' = 10x - 4$.
4. Перемножаем: $y' = 7(5x^2 - 4x + 1)^6 \cdot (10x - 4)$.
Ответ: $y' = 7(10x - 4)(5x^2 - 4x + 1)^6$
Пример 3: Найти производную функции $y = \ln(\cos(x))$.
Решение:
1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(x)$.
2. Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{u}$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = \frac{1}{\cos(x)}$.
3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
4. Перемножаем: $y' = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.
Ответ: $y' = -\tan(x)$
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.