Страница 235, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

60.15 При каких значениях $a > 0$:

a) уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $(\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней?

а)

Данное уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ является уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$ относительно $x$. Уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

1. Если уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю.

2. Если уравнение является квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не равен нулю, а его дискриминант равен нулю.

Для удобства введем замену $t = \log_3 a$. Условие $a > 0$ обеспечивает существование логарифма. Уравнение принимает вид:

$tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$.

Рассмотрим первый случай: уравнение линейное.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t = 0$.
$t = \log_3 a = 0$, откуда $a = 3^0 = 1$.
Подставим $t=0$ в уравнение:
$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 1)x + (0 - 2) = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$.
Уравнение имеет единственный корень, значит, $a = 1$ является решением.

Рассмотрим второй случай: уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $t \ne 0$ и $D = 0$.
Найдем дискриминант $D$ уравнения $tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$:
$D = (-(2t - 1))^2 - 4 \cdot t \cdot (t - 2) = (2t - 1)^2 - 4t(t - 2)$
$D = (4t^2 - 4t + 1) - (4t^2 - 8t) = 4t^2 - 4t + 1 - 4t^2 + 8t = 4t + 1$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$D = 4t + 1 = 0 \implies 4t = -1 \implies t = -\frac{1}{4}$.
Это значение $t$ не равно нулю, поэтому условие $t \ne 0$ выполнено.
Выполним обратную замену:
$\log_3 a = -\frac{1}{4} \implies a = 3^{-1/4} = \frac{1}{3^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.
Это значение $a$ также является решением.

Объединив решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $a=1, a=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.

б)

Уравнение $(\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней, если:

1. Это вырожденное линейное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен нулю, коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю).

2. Это квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом (коэффициент при $x^2$ не равен нулю, а $D < 0$).

Введем замену $t = \log_4 a$. Уравнение примет вид:
$tx^2 + (2t + 1)x + (t + 2) = 0$.

Рассмотрим случай, когда уравнение линейное:
Это происходит при $t=0$, то есть $\log_4 a = 0$, откуда $a = 4^0 = 1$.
Подставим $t=0$ в уравнение:
$0 \cdot x^2 + (2 \cdot 0 + 1)x + (0 + 2) = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$.
Уравнение имеет один корень, что не соответствует условию "не имеет корней". Вырожденный случай ($A=0, B=0$) невозможен, так как при $t=0$ коэффициент $B=1 \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда уравнение квадратное с отрицательным дискриминантом:
Это происходит при $t \ne 0$ и $D < 0$.
Найдем дискриминант $D$ уравнения $tx^2 + (2t + 1)x + (t + 2) = 0$:
$D = (2t + 1)^2 - 4 \cdot t \cdot (t + 2) = (4t^2 + 4t + 1) - (4t^2 + 8t)$
$D = 4t^2 + 4t + 1 - 4t^2 - 8t = -4t + 1$.
Найдем значения $t$, при которых дискриминант отрицателен:
$D < 0 \implies -4t + 1 < 0 \implies 1 < 4t \implies t > \frac{1}{4}$.
Условие $t \ne 0$ выполнено.
Выполним обратную замену:
$\log_4 a > \frac{1}{4}$.
Так как основание логарифма $4 > 1$, то при потенцировании знак неравенства сохраняется:
$a > 4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Итак, уравнение не имеет корней при $a > \sqrt{2}$.
Ответ: $a > \sqrt{2}$.

60.16 При каких значениях параметра $a$ не имеет корней уравнение:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2};$

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0?$

а)

Исходное уравнение: $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Сначала преобразуем уравнение, используя свойство степеней $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$.

$48 \cdot 4^x + 27 = a + 16a \cdot 4^x$

Перенесем все члены с $4^x$ в одну сторону, а остальные члены — в другую:

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

Вынесем $4^x$ за скобки:

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y = 4^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Исходное уравнение не будет иметь корней, если это линейное уравнение относительно $t$ не будет иметь положительных решений.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Коэффициент при $t$ равен нулю.

$48 - 16a = 0 \implies 16a = 48 \implies a = 3$.

Подставим значение $a = 3$ в уравнение: $0 \cdot t = 3 - 27$, что равносильно $0 \cdot t = -24$. Это уравнение не имеет решений для $t$ ни при каких значениях, следовательно, при $a=3$ исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $t$ не равен нулю.

$48 - 16a \neq 0 \implies a \neq 3$.

В этом случае мы можем выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a}$

Поскольку мы ищем случаи, когда исходное уравнение не имеет корней, нам нужно, чтобы не существовало положительного $t$, удовлетворяющего этому равенству. Это произойдет, если значение дроби будет меньше или равно нулю: $t \le 0$.

$\frac{a - 27}{48 - 16a} \le 0$

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Поскольку $16 > 0$, знак неравенства не изменится, если мы разделим на 16:

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $a = 27$ и $a = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

• При $a < 3$ (например, $a=0$): $\frac{0 - 27}{3 - 0} = -9 < 0$. Интервал подходит.
• При $3 < a < 27$ (например, $a=4$): $\frac{4 - 27}{3 - 4} = 23 > 0$. Интервал не подходит.
• При $a > 27$ (например, $a=30$): $\frac{30 - 27}{3 - 30} = -\frac{3}{27} < 0$. Интервал подходит.

Значение $a = 27$ обращает числитель в ноль, что удовлетворяет условию $\le 0$ (при этом $t=0$, и уравнение $4^x=0$ не имеет корней). Значение $a = 3$ обращает знаменатель в ноль и должно быть исключено. Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=3$ из случая 1 и $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$ из случая 2), получаем итоговое множество значений параметра $a$, при которых уравнение не имеет корней.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

б)

Исходное уравнение: $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Преобразуем уравнение, представив $9^x$ как $(3^x)^2$ и $3^{x+1}$ как $3 \cdot 3^x$.

$(3^x)^2 + 2a \cdot (3 \cdot 3^x) + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение не имеет положительных корней. Это возможно в двух случаях: либо у уравнения нет действительных корней, либо все его действительные корни неположительны (т.е. $\le 0$).

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36 = 36(a^2 - 1)$.

Случай 1: Уравнение не имеет действительных корней.

Это происходит, когда $D < 0$.

$36(a^2 - 1) < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies (a-1)(a+1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $a \in (-1, 1)$.

Случай 2: Уравнение имеет действительные корни ($D \ge 0$), но все они неположительны ($t \le 0$).

По теореме Виета для уравнения $t^2 + pt + q = 0$, чтобы оба корня были неположительными, должны выполняться следующие условия:

1. $D \ge 0$ (корни действительные).
2. $t_1 + t_2 \le 0$ (сумма корней неположительна).
3. $t_1 \cdot t_2 \ge 0$ (произведение корней неотрицательно).

Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 + 6at + 9 = 0$:

1. $D = 36(a^2 - 1) \ge 0 \implies a^2 \ge 1 \implies a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Сумма корней $t_1 + t_2 = -6a$. Условие $t_1 + t_2 \le 0$ дает $-6a \le 0 \implies a \ge 0$.

3. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 9$. Условие $9 \ge 0$ всегда выполнено. Так как произведение корней строго положительно ($9 > 0$), то корни не могут быть равны нулю и, если существуют, имеют одинаковый знак.

Найдем пересечение условий 1 и 2: $a \in ((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [0, \infty)$.

Пересечением является промежуток $a \in [1, \infty)$.

Теперь объединим результаты обоих случаев. Уравнение не имеет корней, если $a$ принадлежит множеству, полученному из случая 1, или множеству, полученному из случая 2.

Объединение множеств: $(-1, 1) \cup [1, \infty)$.

Это соответствует условию $a > -1$.

Ответ: $a > -1$.

60.17 При каких значениях a:

а) уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $0,01^x - 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$ не имеет действительных корней?

а)

Дано уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$.

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, произведем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то есть область ее значений $(0, +\infty)$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$t^2 - 3t + a - 1 = 0$.

Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный положительный корень. Рассмотрим два случая.

1. Квадратное уравнение имеет один корень (случай, когда дискриминант равен нулю), и этот корень положителен.Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 9 - 4a + 4 = 13 - 4a$.Приравняем дискриминант к нулю: $13 - 4a = 0$, откуда $a = \frac{13}{4}$.При этом значении $a$ корень уравнения для $t$ равен $t = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$.Так как $t = \frac{3}{2} > 0$, это условие нам подходит. При $a = \frac{13}{4}$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = \log_5(\frac{3}{2})$.

2. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($D > 0$), но только один из них является положительным.Условие $D > 0$ выполняется при $13 - 4a > 0$, то есть $a < \frac{13}{4}$.Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни квадратного уравнения. По теореме Виета:Сумма корней: $t_1 + t_2 = 3$.Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = a - 1$.

Поскольку сумма корней $t_1 + t_2 = 3$ положительна, невозможен случай, когда оба корня отрицательны. Следовательно, как минимум один корень всегда положителен.Чтобы только один корень был положительным, второй корень должен быть либо отрицательным, либо равным нулю.

• Если один корень положителен, а другой отрицателен, их произведение должно быть отрицательным: $t_1 \cdot t_2 < 0$. $a - 1 < 0 \implies a < 1$. При $a < 1$ уравнение для $t$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Только положительный корень $t$ дает решение для $x$, поэтому исходное уравнение имеет единственный корень.

• Если один корень равен нулю, а другой положителен. Если один из корней равен нулю, то их произведение равно нулю: $t_1 \cdot t_2 = 0$. $a - 1 = 0 \implies a = 1$. При $a = 1$ уравнение для $t$ принимает вид $t^2 - 3t = 0$, или $t(t-3) = 0$. Корни: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$. Так как требуется $t > 0$, подходит только корень $t_2 = 3$. Это дает единственное решение $x=\log_5(3)$. Следовательно, $a=1$ также является решением.

Объединим все найденные значения $a$:Из случая 1: $a = \frac{13}{4}$.Из случая 2: $a < 1$ или $a = 1$, что можно объединить как $a \le 1$.Таким образом, уравнение имеет единственный корень при $a \le 1$ или $a = \frac{13}{4}$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{\frac{13}{4}\}$.

б)

Дано уравнение $0,01^x - 2(a+1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$.Заметим, что $0,01^x = (0,1^2)^x = (0,1^x)^2$.Произведем замену переменной. Пусть $t = 0,1^x$. Так как показательная функция $y=0,1^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.После замены исходное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно $t$:$t^2 - 2(a+1)t + 4 = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней. Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.Это происходит, когда его дискриминант $D$ отрицателен.$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a+1)^2 - 16$.$D < 0 \implies 4(a+1)^2 - 16 < 0 \implies (a+1)^2 < 4$.Решая неравенство, получаем $|a+1| < 2$, что равносильно $-2 < a+1 < 2$.Вычитая 1 из всех частей, получаем $-3 < a < 1$.При этих значениях $a$ уравнение для $t$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

2. Квадратное уравнение имеет действительные корни ($D \ge 0$), но все они не являются положительными (т.е. они отрицательны или равны нулю).Условие $D \ge 0$ выполняется при $(a+1)^2 \ge 4$, то есть $|a+1| \ge 2$. Это дает $a+1 \ge 2$ или $a+1 \le -2$, откуда $a \ge 1$ или $a \le -3$.

Рассмотрим корни $t_1, t_2$ квадратного уравнения. По теореме Виета:Сумма корней: $t_1 + t_2 = 2(a+1)$.Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$.

Поскольку произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 4$ строго положительно, корни, если они существуют, имеют одинаковый знак. Они не могут быть равны нулю. Следовательно, они либо оба положительны, либо оба отрицательны.Чтобы уравнение не имело положительных корней, оба корня $t_1$ и $t_2$ должны быть отрицательными.Для этого необходимо, чтобы их сумма была отрицательной:$t_1 + t_2 < 0 \implies 2(a+1) < 0 \implies a+1 < 0 \implies a < -1$.

Итак, для этого случая должны выполняться два условия одновременно:- $D \ge 0 \implies a \ge 1$ или $a \le -3$.- Сумма корней отрицательна $\implies a < -1$.Пересечение этих условий дает $a \le -3$.

Объединим результаты обоих случаев. Исходное уравнение не имеет корней, если:- $-3 < a < 1$ (из случая 1)- $a \le -3$ (из случая 2)Объединяя эти два множества, получаем $a < 1$.

Ответ: $a < 1$.

60.18 При каких значениях $a$ имеет ровно три корня уравнение:

а) $x(x + 3)^2 + a = 0$;

б) $x^3 - 12x + 1 = a?$

а) $x(x + 3)^2 + a = 0$

Для того чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно три корня, преобразуем его к виду, удобному для графического анализа.
Перепишем уравнение: $x(x + 3)^2 = -a$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x(x + 3)^2$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = -a$.
Раскроем скобки в выражении для функции: $f(x) = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Чтобы построить эскиз графика, исследуем функцию на экстремумы. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Это точки экстремумов функции $f(x)$.

Вычислим значения функции в этих точках, чтобы определить значения локальных максимума и минимума:
$f(-3) = -3(-3 + 3)^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$ (локальный максимум).
$f(-1) = -1(-1 + 3)^2 = -1 \cdot 2^2 = -4$ (локальный минимум).

Уравнение $f(x) = -a$ будет иметь ровно три различных корня, если прямая $y = -a$ будет проходить строго между локальным максимумом и локальным минимумом.
Это соответствует двойному неравенству:
$f_{min} < -a < f_{max}$
$-4 < -a < 0$
Умножим все части неравенства на -1, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:
$4 > a > 0$
Что можно записать как $0 < a < 4$.

Ответ: $a \in (0; 4)$.

б) $x^3 - 12x + 1 = a$

Данное уравнение уже представлено в виде $f(x) = a$. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 12x + 1$ на экстремумы. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 12 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Вычислим значения функции в этих точках, чтобы определить локальные максимум и минимум:
$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17$ (локальный максимум).
$f(2) = (2)^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15$ (локальный минимум).

Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если значение параметра $a$ будет находиться строго между значениями локального минимума и локального максимума функции.
Это соответствует двойному неравенству:
$f_{min} < a < f_{max}$
$-15 < a < 17$.

Ответ: $a \in (-15; 17)$.

60.19 При каких значениях $a$:

a) уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ не имеет корней;

б) уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$ имеет не менее трёх корней?

а) Решим задачу графически. Количество корней уравнения $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ равно числу точек пересечения графика функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 4$ и горизонтальной прямой $y=a$. Для нахождения области значений функции $f(x)$ исследуем её на экстремумы.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 4)' = 4x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0 \implies 4x(x-2)(x+2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Определим знаки производной на полученных интервалах. В точках $x=-2$ и $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки локального минимума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f_{min} = f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$.

$f_{max} = f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 4 = 4$.

$f_{min} = f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$.

Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$, наименьшее значение функции (глобальный минимум) равно $-12$. Таким образом, область значений функции $E(f) = [-12; +\infty)$.

Уравнение $f(x) = a$ не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$, то есть когда значение $a$ меньше наименьшего значения функции.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a < -12$.

Ответ: $a \in (-\infty; -12)$.

б) Аналогично пункту а), исследуем функцию $g(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2$, чтобы определить, при каких $a$ уравнение $g(x)=a$ имеет не менее трёх корней. Количество корней равно числу точек пересечения графика функции $y=g(x)$ и прямой $y=a$.

Найдём производную:

$g'(x) = (3x^4 + 4x^3 - 12x^2)' = 12x^3 + 12x^2 - 24x$.

Найдём критические точки, решив уравнение $g'(x)=0$:

$12x^3 + 12x^2 - 24x = 0 \implies 12x(x^2+x-2) = 0 \implies 12x(x+2)(x-1) = 0$.

Критические точки: $x_1=-2$, $x_2=0$, $x_3=1$.

В точке $x=-2$ — локальный минимум, в точке $x=0$ — локальный максимум, в точке $x=1$ — локальный минимум.

Вычислим значения функции в этих экстремумах:

$g(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$.

$g(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$.

$g(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$.

Проанализируем количество корней уравнения $g(x)=a$ в зависимости от $a$:

• Если $a < -32$ (ниже глобального минимума), корней нет.
• Если $a = -32$, есть один корень.
• Если $-32 < a < -5$, есть два корня.
• Если $a = -5$ (значение в локальном минимуме), прямая $y=-5$ касается графика в точке $x=1$ и пересекает его еще в двух точках, итого — три корня.
• Если $-5 < a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в четырёх точках, итого — четыре корня.
• Если $a=0$ (значение в локальном максимуме), прямая $y=0$ касается графика в точке $x=0$ и пересекает его еще в двух точках, итого — три корня.
• Если $a > 0$, есть два корня.

Условию «имеет не менее трёх корней» (то есть 3 или 4 корня) удовлетворяют значения $a$, при которых $a=-5$, $-5 < a < 0$ и $a=0$. Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет не менее трёх корней при $-5 \le a \le 0$.

Ответ: $a \in [-5; 0]$.