Страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

56.3 а) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1;$

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}.$

а) $0.5^{\sin x - \cos x} = 1$

Запишем число 0,5 в виде степени с основанием 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Представим правую часть уравнения, число 1, в виде степени с тем же основанием: $1 = 2^0$ или $1 = 0.5^0$.

Перепишем исходное уравнение:

$(2^{-1})^{\sin x - \cos x} = 2^0$

Или, что проще:

$0.5^{\sin x - \cos x} = 0.5^0$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sin x - \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$

Приведем все части уравнения к основанию 3.

Левая часть:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, следовательно $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} = (3^{\frac{1}{2}})^{\sin^2 x - 1} = 3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)}$.

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.

Правая часть:

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = (3^6)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей:

$\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) = 0$

Умножим обе части на 2:

$\sin^2 x - 1 = 0$

$\sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Эти два случая можно объединить в одну серию решений. Уравнение $\sin x = \pm 1$ выполняется в точках, где косинус равен нулю.

$\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

56.5 a) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9.$

а) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5$

Данное уравнение представляет собой равенство двух выражений в одинаковой нечетной степени ($n=5$). Если $a^n = b^n$ и $n$ — нечетное число, то это равносильно уравнению $a = b$.

Приравняем основания степеней:

$x^2 - 6x = 2x - 7$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 2x + 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $8$, а их произведение равно $7$. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Ответ: $1; 7$.

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9$

В данном уравнении степени также нечетные ($n=9$), поэтому мы можем приравнять основания:

$\sqrt{6x - 1} + 1 = \sqrt{6x + 8}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых все подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 6x - 1 \geq 0 \\ 6x + 8 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \geq 1 \\ 6x \geq -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{1}{6} \\ x \geq -\frac{8}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{1}{6} \\ x \geq -\frac{4}{3} \end{cases}$

Общим решением системы неравенств является $x \geq \frac{1}{6}$.

Теперь решим само уравнение. Для избавления от корней возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{6x - 1} + 1)^2 = (\sqrt{6x + 8})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(6x - 1) + 2\sqrt{6x - 1} + 1 = 6x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6x + 2\sqrt{6x - 1} = 6x + 8$

Вычтем $6x$ из обеих частей уравнения:

$2\sqrt{6x - 1} = 8$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{6x - 1} = 4$

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$6x - 1 = 16$

Найдем $x$:

$6x = 17$

$x = \frac{17}{6}$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Условие $x \geq \frac{1}{6}$.

Поскольку $17 > 1$, то $\frac{17}{6} > \frac{1}{6}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{17}{6}$.

56.7 a) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0;$

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0.$

а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0$

Для решения данного показательного уравнения сначала перенесем второе слагаемое в правую часть, изменив его знак:

$2^{x^2+3} = 8^{x+1}$

Теперь приведем обе части уравнения к одному основанию. Наименьшим общим основанием для чисел 2 и 8 является 2, так как $8 = 2^3$. Подставим это в уравнение:

$2^{x^2+3} = (2^3)^{x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, раскроем скобки в показателе степени в правой части:

$2^{x^2+3} = 2^{3(x+1)}$

$2^{x^2+3} = 2^{3x+3}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 + 3 = 3x + 3$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 3x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, перенесем второй член уравнения в правую часть:

$27^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основанием будет 3, так как $27 = 3^3$.

$(3^3)^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для левой части уравнения:

$3^{3(5-x^2)} = 3^{x^2-1}$

$3^{15-3x^2} = 3^{x^2-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$15 - 3x^2 = x^2 - 1$

Решим полученное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$15 + 1 = x^2 + 3x^2$

$16 = 4x^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Ответ: $-2; 2$.

56.9 a) $log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1;$

б) $log_{1.2}(3x - 1) + log_{1.2}(3x + 1) = log_{1.2}8.$

а) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - \log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1$.

Первым шагом найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 7x + 9 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -9 \\ x < 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{9}{7} \\ x < 8 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{9}{7}; 8)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{7x + 9}{8 - x}\right) = 1$

Теперь воспользуемся определением логарифма: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \frac{2}{3}$

Решим полученное рациональное уравнение с помощью перекрестного умножения:

$3(7x + 9) = 2(8 - x)$

$21x + 27 = 16 - 2x$

$21x + 2x = 16 - 27$

$23x = -11$

$x = -\frac{11}{23}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы должны проверить, выполняется ли неравенство $-\frac{9}{7} < -\frac{11}{23} < 8$.

Поскольку $-\frac{9}{7} \approx -1.286$ и $-\frac{11}{23} \approx -0.478$, неравенство $-1.286 < -0.478 < 8$ является верным. Значит, корень подходит.

Ответ: $-\frac{11}{23}$.

б) Дано логарифмическое уравнение $\log_{1.2}(3x - 1) + \log_{1.2}(3x + 1) = \log_{1.2}8$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 1 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем более строгое: $x > \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

$\log_{1.2}((3x - 1)(3x + 1)) = \log_{1.2}8$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(3x - 1)(3x + 1) = 8$

В левой части уравнения находится формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3x)^2 - 1^2 = 8$

$9x^2 - 1 = 8$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{3}$):

Для $x_1 = 1$: $1 > \frac{1}{3}$ (верно). Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 > \frac{1}{3}$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $1$.

56.11 a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0;$

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0.$

а) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как мы имеем дело с квадратными корнями, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Условия $x^5 \ge 0$, $x^3 \ge 0$ и $x \ge 0$ выполняются одновременно при $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$):

$\sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \cdot x} = \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt{x} - 3x\sqrt{x} - 18\sqrt{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$\sqrt{x}(x^2 - 3x - 18) = 0$

4. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sqrt{x} = 0$

2) $x^2 - 3x - 18 = 0$

5. Решим каждое уравнение.

Из первого уравнения $\sqrt{x} = 0$ получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge 0$).

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_3 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

6. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$, и является посторонним корнем.

Следовательно, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=6$.

Ответ: $0; 6$.

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Корень четвертой степени (четной) требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Условия $x^9 \ge 0$, $x^5 \ge 0$ и $x \ge 0$ выполняются одновременно при $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для $a, b \ge 0$):

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x\sqrt[4]{x}$

Подставим преобразования в исходное уравнение:

$x^2\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[4]{x} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки:

$\sqrt[4]{x}(x^2 - 2x - 15) = 0$

4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sqrt[4]{x} = 0$

2) $x^2 - 2x - 15 = 0$

5. Решим каждое уравнение.

Из первого уравнения $\sqrt[4]{x} = 0$ получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней $x_2 + x_3 = 2$, произведение корней $x_2 \cdot x_3 = -15$.

Подбором находим корни $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_3 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

6. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 0$.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$, и является посторонним корнем.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=5$.

Ответ: $0; 5$.

56.13 a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2;$

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2.$

a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2$

Перенесем члены уравнения так, чтобы сгруппировать слагаемые с $\sin x$ и без него:

$2x^2 \sin x - 8 \sin x = x^2 - 4$

Вынесем за скобки общие множители в левой и правой частях:

$2(x^2 - 4) \sin x = (x^2 - 4)$

Перенесем все в левую часть:

$2(x^2 - 4) \sin x - (x^2 - 4) = 0$

$(x^2 - 4)(2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2) $2 \sin x - 1 = 0$

$2 \sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 2$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2$

Сгруппируем члены уравнения, содержащие $\cos x$, и остальные члены:

$2x^2 \cos x - 18 \cos x = x^2 - 9$

Вынесем за скобки общие множители:

$2(x^2 - 9) \cos x = (x^2 - 9)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:

$2(x^2 - 9) \cos x - (x^2 - 9) = 0$

$(x^2 - 9)(2 \cos x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2) $2 \cos x - 1 = 0$

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \pm 3$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

56.2 a) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32};$

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0,00001 = 0,1^{\log_2(x-7)}.$

а) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 3 \geq 0$

$x \geq 3$

Далее преобразуем правую часть уравнения. Упростим $\sqrt{32}$:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Тогда правая часть равна:

$\frac{1}{2}\sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь представим $2\sqrt{2}$ как степень с основанием 2, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$2^{\sqrt{x-3}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x-3} = \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\frac{3}{2})^2$

$x-3 = \frac{9}{4}$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4}$

$x = 5.25$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \geq 3$). Так как $5.25 > 3$, корень является решением уравнения.

Ответ: $\frac{21}{4}$.

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0.00001 = 0.1^{\log_2(x-7)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$\begin{cases} x-3 > 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > 7 \end{cases} \implies x > 7$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (7; +\infty)$.

Представим числовые множители в виде степеней с основанием 10:

$0.00001 = 10^{-5}$

$0.1 = 10^{-1}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$10^{\log_2(x-3)} \cdot 10^{-5} = (10^{-1})^{\log_2(x-7)}$

Применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части и $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:

$10^{\log_2(x-3) - 5} = 10^{-\log_2(x-7)}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\log_2(x-3) - 5 = -\log_2(x-7)$

Соберем слагаемые с логарифмами в левой части уравнения:

$\log_2(x-3) + \log_2(x-7) = 5$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_2((x-3)(x-7)) = 5$

По определению логарифма, если $\log_a(B) = c$, то $B = a^c$. Применим это к нашему уравнению:

$(x-3)(x-7) = 2^5$

$(x-3)(x-7) = 32$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x - 3x + 21 = 32$

$x^2 - 10x + 21 - 32 = 0$

$x^2 - 10x - 11 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2=10, x_1x_2=-11$) или найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 = 12^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 12}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$).

Корень $x_1 = 11$ удовлетворяет условию $11 > 7$, значит, он является решением.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $11$.

56.4 a) $ \log_3(x^2 - 10x + 40) = \log_3(4x - 8); $

б) $ \log_{\sqrt{3}} \frac{x-2}{2x-4} = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}. $

а) Дано логарифмическое уравнение: $ \log_3(x^2 - 10x + 40) = \log_3(4x - 8) $

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Однако сначала необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), при которых аргументы обоих логарифмов положительны.

Система неравенств для ОДЗ: $ \begin{cases} x^2 - 10x + 40 > 0 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 - 10x + 40 > 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 100 - 160 = -60 $.
Так как дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положительный ($ a=1 > 0 $), парабола $ y = x^2 - 10x + 40 $ полностью находится выше оси Ox, следовательно, неравенство $ x^2 - 10x + 40 > 0 $ выполняется для любых действительных значений $ x $.

2. Решим второе неравенство: $ 4x - 8 > 0 $.
$ 4x > 8 $
$ x > 2 $

Таким образом, общая область допустимых значений для уравнения: $ x > 2 $.

Теперь решим само уравнение, приравняв аргументы: $ x^2 - 10x + 40 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть: $ x^2 - 10x - 4x + 40 + 8 = 0 $
$ x^2 - 14x + 48 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 48. Это числа 6 и 8.
$ x_1 = 6 $
$ x_2 = 8 $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x > 2 $).
Корень $ x_1 = 6 $ удовлетворяет условию $ 6 > 2 $.
Корень $ x_2 = 8 $ удовлетворяет условию $ 8 > 2 $.
Оба корня подходят.

Ответ: 6; 8.

б) Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{\sqrt{3}}\frac{x-2}{2x-4} = \log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x+2} $

Поскольку основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы. Но сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Система неравенств для ОДЗ: $ \begin{cases} \frac{x-2}{2x-4} > 0 \\ \frac{x+1}{x+2} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x-2}{2x-4} > 0 $.
Упростим знаменатель: $ 2x-4 = 2(x-2) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{x-2}{2(x-2)} > 0 $.
При условии $ x-2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq 2 $), дробь сокращается до $ \frac{1}{2} $.
Неравенство $ \frac{1}{2} > 0 $ является верным. Значит, первое условие ОДЗ выполняется для всех $ x $, кроме $ x = 2 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x+1}{x+2} > 0 $.
Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = -1 $ и $ x = -2 $.
Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки дроби в каждом интервале:
$ (-\infty; -2) $: $ (+) $
$ (-2; -1) $: $ (-) $
$ (-1; +\infty) $: $ (+) $
Решением является объединение интервалов, где дробь положительна: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty) $.

Объединяя оба условия, получаем итоговую ОДЗ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty) $.

Теперь решаем уравнение, приравняв аргументы: $ \frac{x-2}{2x-4} = \frac{x+1}{x+2} $

На ОДЗ ($ x \neq 2 $) левая часть уравнения равна $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} = \frac{x+1}{x+2} $

Используем основное свойство пропорции: $ 1 \cdot (x+2) = 2 \cdot (x+1) $
$ x+2 = 2x+2 $

Переносим члены с $ x $ в одну сторону, а числа в другую: $ 2-2 = 2x-x $
$ 0 = x $

Проверим, принадлежит ли найденный корень $ x=0 $ области допустимых значений: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty) $.
Корень $ x=0 $ входит в интервал $ (-1; 2) $, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 0.

56.6 a) $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$

б) $(\log_{0.1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0.1} x + 1)^3$

a) Исходное уравнение: $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$.

Это уравнение имеет вид $A^{20} = B^{20}$. Поскольку показатель степени 20 является четным числом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B$ или $A = -B$.

$2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$
$2^{2x} + 16 = -10 \cdot 2^x$

Рассмотрим второе уравнение. Выражение $2^{2x}$ всегда положительно ($2^{2x} > 0$), значит, левая часть $2^{2x} + 16$ всегда больше нуля. Выражение $2^x$ также всегда положительно ($2^x > 0$), значит, правая часть $-10 \cdot 2^x$ всегда меньше нуля. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому второе уравнение не имеет решений.

Решим первое уравнение: $2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$.

Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то и $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 16 = 10t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корни — это 2 и 8.

$t_1 = 2$, $t_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $2^x = t_1 = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.

2) $2^x = t_2 = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x_2 = 3$.

Ответ: $1; 3$.

б) Исходное уравнение: $(\log_{0,1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0,1} x + 1)^3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Уравнение имеет вид $A^3 = B^3$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, данное уравнение равносильно уравнению $A = B$.

$\log_{0,1}^2 x - 2 = 2 \log_{0,1} x + 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_{0,1} x$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 2 = 2y + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

$y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\log_{0,1} x = y_1 = 3$. По определению логарифма, $x_1 = (0,1)^3 = 0.001$.

2) $\log_{0,1} x = y_2 = -1$. По определению логарифма, $x_2 = (0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10$.

Оба корня ($0.001$ и $10$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.001; 10$.

56.8 a) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

а) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобнее всего использовать основание 3.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и определение корня $\sqrt{a} = a^{1/2}$:
$(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = (3^{1/2})^{\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{1+1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x = \frac{3}{2} - \operatorname{tg} x$.
Решим полученное линейное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$
$\operatorname{tg} x = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:
$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.
Преобразуем левую часть:
$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$.
Преобразуем правую часть, используя свойства степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1 + \cos x}} = 2^{-(1 + \cos x)} = 2^{-1 - \cos x}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^{\cos x} = 2^{-1 - \cos x}$.
Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели:
$\cos x = -1 - \cos x$.
Решим полученное уравнение относительно $\cos x$:
$\cos x + \cos x = -1$
$2\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ для данного уравнения — все действительные числа, так как функция $\cos x$ определена при любом $x$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение методом разложения на множители:

56.10 а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0;$

б) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0.$

а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0$

Для решения данного уравнения методом разложения на множители, вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9x + 20) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Первый корень уравнения $x_1 = 0$. Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть:

$x_2 + x_3 = 9$

$x_2 \cdot x_3 = 20$

Подбором находим корни: $x_2 = 4$ и $x_3 = 5$.

Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

$x_3 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 4; 5$.

б) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Второе выражение в скобках, $x^2 - 9$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Подставив это в уравнение, получаем:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; -1; 3$.

56.12 a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0;$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x.$

a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(2^x \cdot x + 2^x) + (-4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2^x(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(2^x - 4)(x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы получаем два независимых уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $2^x - 4 = 0 \implies 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $-1; 2$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x$

Сначала перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$3^x \cdot x - 3^{x+1} - 9x + 27 = 0$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем слагаемое $3^{x+1}$ в $3 \cdot 3^x$.

$3^x \cdot x - 3 \cdot 3^x - 9x + 27 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(3^x \cdot x - 9x) + (-3 \cdot 3^x + 27) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x(3^x - 9) - 3(3^x - 9) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(3^x - 9)$ за скобки:

$(x - 3)(3^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

2) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $2; 3$