Страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

54.24 Произвольно выбирают числа $x$ и $y$ так, что $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$.

Точку $(x, y)$ отмечают на координатной плоскости. Какова вероятность того, что:

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

б) $x + y < 0$;

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Условия $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$ задают на координатной плоскости квадрат с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Этот квадрат является пространством всех возможных исходов.

Площадь этого квадрата, $S_{общ}$, равна $2 \times 2 = 4$.

Вероятность события $A$ будет равна отношению площади области $S_A$, соответствующей этому событию, к общей площади квадрата: $P(A) = \frac{S_A}{S_{общ}}$.

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

Точка $(x, y)$ лежит в первой координатной четверти, если выполняются условия $x > 0$ и $y > 0$. С учётом исходных ограничений, область, благоприятствующая этому событию, определяется системой неравенств:

$0 < x \le 1$
$0 < y \le 1$

Эта область представляет собой квадрат с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ и $(0, 1)$. Площадь этой области $S_a$ равна $1 \times 1 = 1$.

Вероятность данного события равна:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) $x + y < 0$;

Неравенство $x + y < 0$ эквивалентно $y < -x$. Это условие определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой $y = -x$. Прямая $y = -x$ проходит через вершины исходного квадрата $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ и делит его на два равных треугольника.

Область, удовлетворяющая условию $y < -x$ внутри квадрата, — это треугольник с вершинами в точках $(-1, 1)$, $(1, -1)$ и $(-1, -1)$. Площадь этой области $S_б$ равна половине площади всего квадрата.

$S_б = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

Вероятность события равна:

$P(б) = \frac{S_б}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

Точка лежит во второй четверти, если $x < 0$ и $y > 0$. В пределах заданного квадрата это область $-1 \le x < 0$ и $0 < y \le 1$. Это квадрат с площадью $1 \times 1 = 1$.

Точка лежит в четвёртой четверти, если $x > 0$ и $y < 0$. В пределах заданного квадрата это область $0 < x \le 1$ и $-1 \le y < 0$. Это также квадрат с площадью $1 \times 1 = 1$.

Так как эти две области не пересекаются, общая благоприятствующая площадь $S_в$ является суммой их площадей:

$S_в = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события равна:

$P(в) = \frac{S_в}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Это событие является пересечением двух условий: $x + y > 0$ и $xy < 0$.

1. Условие $xy < 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют разные знаки. Это соответствует нахождению точки во второй или четвертой координатной четверти. Как было найдено в пункте (в), площадь этой области внутри исходного квадрата равна 2.

2. Условие $x + y > 0$ (или $y > -x$) означает, что точка должна лежать выше прямой $y = -x$.

Найдём площадь пересечения этих двух областей.

• Во второй четверти (область $-1 \le x < 0, 0 < y \le 1$): прямая $y = -x$ делит этот единичный квадрат на два равных треугольника. Условию $y > -x$ удовлетворяет верхний треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(0, 1)$ и $(-1, 1)$. Его площадь равна $\frac{1}{2}$.
• В четвертой четверти (область $0 < x \le 1, -1 \le y < 0$): прямая $y = -x$ также делит этот единичный квадрат на два равных треугольника. Условию $y > -x$ удовлетворяет верхний треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, -1)$. Его площадь также равна $\frac{1}{2}$.

Суммарная площадь благоприятствующей области $S_г$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_г = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Вероятность события равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

54.23 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $ \sqrt{x} \le 10 $. Найдите вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства $ \sqrt{x} \le 1 $;

б) принадлежит области определения функции

$ y = \ln(40x - 39 - x^2) $;

в) является решением неравенства $ \sqrt{x - 10} \le 5 $;

г) принадлежит области значений функции

$ y = 0,5 \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1. $

Сначала найдем множество всех решений исходного неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Это будет наше пространство элементарных исходов. Область допустимых значений для этого неравенства: $x \ge 0$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 \le 10^2$

$x \le 100$

С учетом области допустимых значений, множество решений $S$ представляет собой отрезок $[0, 100]$. В задачах на геометрическую вероятность, вероятность события равна отношению меры (в данном случае, длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства исходов. Длина отрезка $[0, 100]$ равна $100 - 0 = 100$. Это и есть мера всего пространства исходов.

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \le 1$

Найдем множество решений $A$ для неравенства $\sqrt{x} \le 1$. Область допустимых значений: $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $x \le 1^2$, то есть $x \le 1$. Таким образом, множество решений $A$ есть отрезок $[0, 1]$. Все решения из этого множества также принадлежат исходному множеству $[0, 100]$. Следовательно, множество благоприятных исходов совпадает с $A$ и равно $[0, 1]$. Длина этого отрезка равна $1 - 0 = 1$. Вероятность $P(A)$ равна отношению длины отрезка благоприятных исходов к длине отрезка всех исходов:

$P(A) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

б) принадлежит области определения функции $y = \ln(40x - 39 - x^2)$

Найдем область определения $B$ данной функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$40x - 39 - x^2 > 0$

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

$x^2 - 40x + 39 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 40x + 39 = 0$. По теореме Виета, корни равны $1$ и $39$. Поскольку ветви параболы $f(x) = x^2 - 40x + 39$ направлены вверх, неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, область определения $B$ есть интервал $(1, 39)$. Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранное число из отрезка $[0, 100]$ попадет в интервал $(1, 39)$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap (1, 39)$, что равно $(1, 39)$. Длина этого интервала равна $39 - 1 = 38$. Вероятность $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{38}{100} = 0,38$.

Ответ: $0,38$.

в) является решением неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$

Найдем множество решений $C$ для этого неравенства. Область допустимых значений: $x - 10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$x - 10 \le 5^2$

$x - 10 \le 25$

$x \le 35$

С учетом ОДЗ, множество решений $C$ есть отрезок $[10, 35]$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap [10, 35]$, что равно $[10, 35]$. Длина этого отрезка равна $35 - 10 = 25$. Вероятность $P(C)$ равна:

$P(C) = \frac{25}{100} = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

г) принадлежит области значений функции $y = 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1$

Найдем область значений $D$ данной функции. Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 1$

Умножим все части на $0,5$:

$-0,5 \le 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 0,5$

Прибавим ко всем частям $1$:

$-0,5 + 1 \le 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1 \le 0,5 + 1$

$0,5 \le y \le 1,5$

Таким образом, область значений функции $D$ есть отрезок $[0,5; 1,5]$. Событие состоит в том, что случайно выбранное число $x$ из отрезка $[0, 100]$ принадлежит отрезку $[0,5; 1,5]$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap [0,5; 1,5]$, что равно $[0,5; 1,5]$. Длина этого отрезка равна $1,5 - 0,5 = 1$. Вероятность $P(D)$ равна:

$P(D) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

54.25 Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 3$. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) левее прямой $x = 1$;

б) правее прямой $x = 2$;

в) выше прямой $y = 4$;

г) ниже прямой $y = 1$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади области, благоприятствующей событию, к площади всей фигуры (пространства элементарных исходов).

Сначала найдем площадь всей фигуры. Фигура $\Omega$ ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямой $x = 3$. Поскольку $y = x^2 \ge 0$ для всех $x$, фигура расположена в первом квадранте и ограничена по $x$ от $0$ до $3$.

Площадь всей фигуры $S_{total}$ вычисляется с помощью определенного интеграла от функции $y = x^2$ в пределах от $0$ до $3$:

$S_{total} = \int_{0}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Теперь найдем вероятности для каждого из предложенных случаев.

а) левее прямой x = 1

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $x < 1$. Эта область ограничена линиями $y = x^2$, $y=0$, $x=0$ и $x=1$. Найдем ее площадь $S_a$:

$S_a = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

Вероятность $P(a)$ равна отношению площади $S_a$ к общей площади $S_{total}$:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{total}} = \frac{1/3}{9} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

б) правее прямой x = 2

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $x > 2$. Эта область ограничена линиями $y = x^2$, $y=0$, $x=2$ и $x=3$. Найдем ее площадь $S_b$:

$S_b = \int_{2}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

Вероятность $P(b)$ равна:

$P(b) = \frac{S_b}{S_{total}} = \frac{19/3}{9} = \frac{19}{27}$

Ответ: $\frac{19}{27}$

в) выше прямой y = 4

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $y > 4$. Это условие выполняется, только если $x^2 > 4$, что для $x \ge 0$ означает $x > 2$. Таким образом, эта область ограничена снизу прямой $y=4$, сверху параболой $y=x^2$, и по бокам прямыми $x=2$ и $x=3$.

Площадь $S_c$ можно найти как интеграл разности функций $y=x^2$ и $y=4$ от $x=2$ до $x=3$:

$S_c = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 - (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Вероятность $P(c)$ равна:

$P(c) = \frac{S_c}{S_{total}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$

Ответ: $\frac{7}{27}$

г) ниже прямой y = 1

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $y < 1$. Эту область удобно разбить на две части в точке пересечения $y = x^2$ и $y=1$, то есть при $x=1$.
1. При $0 \le x \le 1$, верхняя граница $y=x^2$ находится ниже или на уровне $y=1$. Таким образом, здесь благоприятствующая область совпадает с частью фигуры $\Omega$ на этом интервале. Ее площадь: $S_{г1} = \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$.
2. При $1 < x \le 3$, верхняя граница $y=x^2$ находится выше $y=1$. В этом случае благоприятствующая область ограничена сверху прямой $y=1$. Получается прямоугольник, ограниченный прямыми $x=1, x=3, y=0, y=1$. Его площадь: $S_{г2} = (3-1) \times (1-0) = 2$.

Общая площадь благоприятствующей области $S_г$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S_г = S_{г1} + S_{г2} = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{total}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$

Ответ: $\frac{7}{27}$