Страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

52.20 В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной оперы 5 мужских и 3 женские партии.

а) Сколько существует различных составов хора?

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.

а) Для того чтобы найти общее количество различных составов хора, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 певцов из 10 и 3 певицы из 8. Поскольку порядок выбора исполнителей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 5 певцов из 10:
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$ способа.
Количество способов выбрать 3 певицы из 8:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ способов.
Общее число различных составов хора равно произведению этих двух величин:
$N = C_{10}^5 \cdot C_8^3 = 252 \cdot 56 = 14112$.
Ответ: 14112.

б) Чтобы найти количество составов, в которых певцы А и Б не поют вместе, мы можем из общего числа составов (найденного в пункте а) вычесть число составов, в которых А и Б поют вместе.
Найдем количество составов, где А и Б обязательно присутствуют:
1. Выбираем певцов А и Б. Остается выбрать еще $5 - 2 = 3$ певца из оставшихся $10 - 2 = 8$ певцов. Число способов: $C_8^3$.
$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.
2. Выбор певиц не меняется: нужно выбрать 3 певицы из 8. Число способов: $C_8^3 = 56$.
Количество составов, где А и Б поют вместе: $N_{вместе} = C_8^3 \cdot C_8^3 = 56 \cdot 56 = 3136$.
Теперь вычтем это число из общего количества составов:
$N_{не\ вместе} = N - N_{вместе} = 14112 - 3136 = 10976$.
Ответ: 10976.

в) Условие "певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В" означает, что возможны два непересекающихся случая:
1. Певец А и певица В оба участвуют в хоре.
2. Ни певец А, ни певица В не участвуют в хоре.
Рассмотрим каждый случай:
Случай 1: А и В поют вместе.
- Нужно выбрать еще $5 - 1 = 4$ певца из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов: $C_9^4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
- Нужно выбрать еще $3 - 1 = 2$ певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц: $C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
- Количество составов в этом случае: $N_1 = C_9^4 \cdot C_7^2 = 126 \cdot 21 = 2646$.
Случай 2: Ни А, ни В не поют.
- Нужно выбрать 5 певцов из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов: $C_9^5 = C_9^4 = 126$.
- Нужно выбрать 3 певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц: $C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
- Количество составов в этом случае: $N_2 = C_9^5 \cdot C_7^3 = 126 \cdot 35 = 4410$.
Общее число составов, удовлетворяющих условию, равно сумме составов из двух случаев:
$N = N_1 + N_2 = 2646 + 4410 = 7056$.
Ответ: 7056.

г) По новым условиям, 6 певцов не могут петь, значит, в труппе осталось $10 - 6 = 4$ певца. Количество певиц прежнее — 8. В хоре по-прежнему 5 мужских и 3 женские партии. Одной певице придётся петь мужскую партию. Это означает, что для исполнения 5 мужских партий будут выбраны 4 певца и 1 певица.
Процесс формирования состава выглядит так:
1. Выбрать 4 певцов для мужских партий. Поскольку доступно всего 4 певца, их нужно взять всех. Число способов: $C_4^4 = 1$.
2. Выбрать 1 певицу из 8 для исполнения пятой мужской партии. Число способов: $C_8^1 = 8$.
3. Выбрать 3 певицы для женских партий. После того как одну певицу выбрали на мужскую партию, осталось $8 - 1 = 7$ певиц. Число способов выбрать 3 из них: $C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = 35$.
Общее количество составов равно произведению числа способов для каждого шага:
$N = C_4^4 \cdot C_8^1 \cdot C_7^3 = 1 \cdot 8 \cdot 35 = 280$.
Ответ: 280.

53.1 Раскройте скобки в выражении:

а) $(x + 1)^7$;

б) $(2x - y)^6$;

в) $(x^2 + 2)^5$;

г) $(1 - x^3)^4$.

Для раскрытия скобок в данных выражениях используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты можно найти с помощью треугольника Паскаля или по формуле.

а) $(x + 1)^7$

В данном случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 7$.

Найдем биномиальные коэффициенты для $n=7$:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Далее коэффициенты симметричны: $C_7^4 = C_7^3 = 35$, $C_7^5 = C_7^2 = 21$, $C_7^6 = C_7^1 = 7$, $C_7^7 = C_7^0 = 1$.

Подставляем значения в формулу бинома Ньютона:

$(x+1)^7 = C_7^0 x^7 \cdot 1^0 + C_7^1 x^6 \cdot 1^1 + C_7^2 x^5 \cdot 1^2 + C_7^3 x^4 \cdot 1^3 + C_7^4 x^3 \cdot 1^4 + C_7^5 x^2 \cdot 1^5 + C_7^6 x^1 \cdot 1^6 + C_7^7 x^0 \cdot 1^7$

Так как умножение на любую степень единицы не меняет значение, получаем:

$(x+1)^7 = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7 \cdot x + 1$

Ответ: $x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1$

б) $(2x - y)^6$

Здесь $a = 2x$, $b = -y$ и $n = 6$.

Биномиальные коэффициенты для $n=6$: $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$.

Разложим выражение по формуле, учитывая, что $b$ имеет отрицательный знак, поэтому знаки членов будут чередоваться:

$(2x - y)^6 = C_6^0 (2x)^6 (-y)^0 + C_6^1 (2x)^5 (-y)^1 + C_6^2 (2x)^4 (-y)^2 + C_6^3 (2x)^3 (-y)^3 + C_6^4 (2x)^2 (-y)^4 + C_6^5 (2x)^1 (-y)^5 + C_6^6 (2x)^0 (-y)^6$

Выполним вычисления степеней и произведений:

$= 1 \cdot (64x^6) \cdot 1 + 6 \cdot (32x^5) \cdot (-y) + 15 \cdot (16x^4) \cdot (y^2) + 20 \cdot (8x^3) \cdot (-y^3) + 15 \cdot (4x^2) \cdot (y^4) + 6 \cdot (2x) \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (y^6)$

$= 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

Ответ: $64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

в) $(x^2 + 2)^5$

В этом случае $a = x^2$, $b = 2$ и $n = 5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$: $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Раскроем скобки по формуле:

$(x^2 + 2)^5 = C_5^0 (x^2)^5 \cdot 2^0 + C_5^1 (x^2)^4 \cdot 2^1 + C_5^2 (x^2)^3 \cdot 2^2 + C_5^3 (x^2)^2 \cdot 2^3 + C_5^4 (x^2)^1 \cdot 2^4 + C_5^5 (x^2)^0 \cdot 2^5$

Упростим полученное выражение, вычисляя степени:

$= 1 \cdot x^{10} \cdot 1 + 5 \cdot x^8 \cdot 2 + 10 \cdot x^6 \cdot 4 + 10 \cdot x^4 \cdot 8 + 5 \cdot x^2 \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$= x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

Ответ: $x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

г) $(1 - x^3)^4$

Здесь $a = 1$, $b = -x^3$ и $n = 4$.

Биномиальные коэффициенты для $n=4$: $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$, $C_4^4=1$.

Применим формулу бинома, учитывая чередование знаков:

$(1 - x^3)^4 = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot (-x^3)^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot (-x^3)^1 + C_4^2 \cdot 1^2 \cdot (-x^3)^2 + C_4^3 \cdot 1^1 \cdot (-x^3)^3 + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot (-x^3)^4$

Проведем вычисления:

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-x^3) + 6 \cdot 1 \cdot (x^6) + 4 \cdot 1 \cdot (-x^9) + 1 \cdot 1 \cdot (x^{12})$

$= 1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$

Ответ: $1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$

53.3 Найтите коэффициент при $x^3$ у многочлена $P(x)$:

а) $P(x)=(1+3x)^4$;

б) $P(x)=(3-2x)^5$;

в) $P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$;

г) $P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$.

а) $P(x) = (1 + 3x)^4$

Для нахождения коэффициента при $x^3$ воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения $(1+3x)^4$ имеет вид $C_4^k \cdot 1^{4-k} \cdot (3x)^k = C_4^k \cdot 3^k \cdot x^k$.
Чтобы найти член с $x^3$, необходимо взять $k=3$.
Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^3 \cdot 3^3$.
Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Искомый коэффициент: $4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108

б) $P(x) = (3 - 2x)^5$

Общий член разложения $(3-2x)^5$ по формуле бинома Ньютона имеет вид $C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2x)^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2)^k \cdot x^k$.
Чтобы найти член с $x^3$, необходимо взять $k=3$.
Коэффициент при $x^3$ равен $C_5^3 \cdot 3^{5-3} \cdot (-2)^3$.
Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Искомый коэффициент: $10 \cdot 3^2 \cdot (-8) = 10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$.
Ответ: -720

в) $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$

Найдем коэффициент при $x^3$ для каждого выражения в разности отдельно.
1. Для $(x + 2)^5$ общий член равен $C_5^k \cdot x^{5-k} \cdot 2^k$. Чтобы получить $x^3$, показатель степени у $x$ должен быть равен 3, т.е. $5-k=3$, откуда $k=2$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_5^2 \cdot 2^2 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$.
2. Для $(2x + 1)^4$ общий член равен $C_4^k \cdot (2x)^{4-k} \cdot 1^k = C_4^k \cdot 2^{4-k} \cdot x^{4-k}$. Чтобы получить $x^3$, нужно $4-k=3$, то есть $k=1$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^1 \cdot 2^{4-1} = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен разности найденных коэффициентов: $40 - 32 = 8$.
Ответ: 8

г) $P(x) = (x^2 - x)^4 + (3 - \frac{x}{3})^4$

Найдем коэффициент при $x^3$ для каждого слагаемого отдельно.
1. Для $(x^2 - x)^4$ вынесем $x$ за скобку: $(x(x-1))^4 = x^4(x-1)^4$. Разложение $(x-1)^4$ является многочленом, который после умножения на $x^4$ будет иметь члены со степенями $x$ не ниже 4. Следовательно, коэффициент при $x^3$ в этом выражении равен 0.
2. Для $(3 - \frac{x}{3})^4$ общий член равен $C_4^k \cdot 3^{4-k} \cdot (-\frac{x}{3})^k$. Чтобы получить $x^3$, нужно взять $k=3$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^3 \cdot 3^{4-3} \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 4 \cdot 3^1 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{12}{27} = -\frac{4}{9}$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме найденных коэффициентов: $0 + (-\frac{4}{9}) = -\frac{4}{9}$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$

53.2 Найдите коэффициент при первой степени переменной $x$ у многочлена $P(x)$:

а) $P(x) = (1 + x)^7$;

б) $P(x) = (1 + 3x)^4$;

в) $P(x) = (3 - 2x)^5$;

г) $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$.

Для нахождения коэффициента при первой степени переменной $x$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент. Нам необходимо найти член разложения, в котором переменная $x$ находится в первой степени.

а) Для многочлена $P(x) = (1 + x)^7$ имеем: $a=1$, $b=x$, $n=7$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_7^k \cdot 1^{7-k} \cdot x^k = C_7^k x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_7^1$.

Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$.

Ответ: 7

б) Для многочлена $P(x) = (1 + 3x)^4$ имеем: $a=1$, $b=3x$, $n=4$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_4^k \cdot 1^{4-k} \cdot (3x)^k = C_4^k \cdot 3^k \cdot x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_4^1 \cdot 3^1$.

Вычисляем $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Искомый коэффициент равен $4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

в) Для многочлена $P(x) = (3 - 2x)^5$ имеем: $a=3$, $b=-2x$, $n=5$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2x)^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2)^k \cdot x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_5^1 \cdot 3^{5-1} \cdot (-2)^1$.

Вычисляем $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.

Искомый коэффициент равен $5 \cdot 3^4 \cdot (-2) = 5 \cdot 81 \cdot (-2) = -810$.

Ответ: -810

г) Многочлен $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$ является разностью двух многочленов. Коэффициент при $x$ в $P(x)$ равен разности коэффициентов при $x$ в $(x + 2)^5$ и $(2x + 1)^4$.

1. Найдем коэффициент при $x$ в разложении $(x + 2)^5$. Для удобства запишем как $(2+x)^5$. Здесь $a=2$, $b=x$, $n=5$.

Член с $x^1$ (при $k=1$) равен $C_5^1 \cdot 2^{5-1} \cdot x^1$.

Коэффициент равен $C_5^1 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$.

2. Найдем коэффициент при $x$ в разложении $(2x + 1)^4$. Запишем как $(1+2x)^4$. Здесь $a=1$, $b=2x$, $n=4$.

Член с $x^1$ (при $k=1$) равен $C_4^1 \cdot 1^{4-1} \cdot (2x)^1$.

Коэффициент равен $C_4^1 \cdot 2^1 = 4 \cdot 2 = 8$.

3. Искомый коэффициент равен разности найденных коэффициентов: $80 - 8 = 72$.

Ответ: 72

53.4 Найдите член разложения, не содержащий переменных:

a) $(2x^2 + \frac{1}{x})^6$; б) $(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^9$.

a) Для нахождения члена разложения, не содержащего переменных, в выражении $(2x^2 + \frac{1}{x})^6$ воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k A^{n-k} B^k$

где $A$ и $B$ — слагаемые в биноме, $n$ — степень бинома, а $k$ — номер члена (начиная с 0). В данном случае $A = 2x^2$, $B = \frac{1}{x} = x^{-1}$, и $n=6$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_6^k (2x^2)^{6-k} (x^{-1})^k$

Раскроем скобки и сгруппируем степени переменной $x$:

$T_{k+1} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot (x^2)^{6-k} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{2(6-k)} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-2k-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-3k}$

Член разложения не содержит переменную $x$, если показатель степени при $x$ равен нулю. Составим и решим уравнение:

$12 - 3k = 0$

$3k = 12$

$k = 4$

Поскольку $k$ должно быть целым числом в диапазоне от 0 до $n=6$, значение $k=4$ является допустимым. Искомый член является $(k+1)$-м, то есть пятым членом разложения.

Теперь вычислим значение этого члена, подставив $k=4$ в его формулу:

$T_{4+1} = T_5 = C_6^4 \cdot 2^{6-4} \cdot x^{12-3 \cdot 4} = C_6^4 \cdot 2^2 \cdot x^0 = 4 \cdot C_6^4$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, искомый член равен:

$T_5 = 4 \cdot 15 = 60$

Ответ: 60

б) Для нахождения члена разложения, не содержащего переменных, в выражении $(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^9$ также используем формулу общего члена бинома Ньютона.

Сначала представим слагаемые в виде степеней переменной $a$:

$A = 3\sqrt[4]{a} = 3a^{1/4}$

$B = \frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}$

Степень бинома $n=9$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_9^k (3a^{1/4})^{9-k} (a^{-1/2})^k$

Упростим выражение, сгруппировав степени переменной $a$:

$T_{k+1} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot (a^{1/4})^{9-k} \cdot a^{-k/2} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9-k}{4}} \cdot a^{-\frac{k}{2}} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9-k}{4} - \frac{k}{2}}$

Чтобы член не содержал переменную $a$, показатель степени при $a$ должен быть равен нулю:

$\frac{9-k}{4} - \frac{k}{2} = 0$

Для решения уравнения умножим обе его части на 4:

$(9-k) - 2k = 0$

$9 - 3k = 0$

$3k = 9$

$k = 3$

Значение $k=3$ является допустимым ($0 \le 3 \le 9$). Искомый член является $(k+1)$-м, то есть четвертым членом разложения.

Вычислим значение этого члена, подставив $k=3$ в его формулу:

$T_{3+1} = T_4 = C_9^3 \cdot 3^{9-3} \cdot a^0 = C_9^3 \cdot 3^6$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Вычислим $3^6$:

$3^6 = 729$

Таким образом, искомый член равен:

$T_4 = 84 \cdot 729 = 61236$

Ответ: 61236