Страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

51.9 Из костей домино выбрали одну. Какова вероятность того, что:

а) она является дублем;

б) на ней выпала «шестёрка»;

в) произведение очков на ней меньше 26;

г) модуль разности очков больше 1?

Для решения задачи сначала определим общее число костей в стандартном наборе домино. В домино используются числа от 0 (пусто) до 6. Каждая кость представляет собой пару чисел (a, b), где a и b — целые числа от 0 до 6, причем пара (a, b) и (b, a) — это одна и та же кость.

Общее число костей (N), то есть общее число всех возможных исходов, можно рассчитать как сумму членов арифметической прогрессии: 7 (кости с нулем) + 6 (кости с единицей без нуля) + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (кость 6-6) = 28. Также можно использовать формулу для сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2 (две половинки кости): $N = C_{n+k-1}^{k} = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$. Итак, всего в наборе 28 костей домино. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи.

а) она является дублем;

Событие A — выбранная кость является дублем. Дубли — это кости, у которых числа на обеих половинках совпадают. В наборе домино есть следующие дубли: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 7 дублей. Это число благоприятных исходов, $m_a = 7$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N}$. $P(A) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) на ней выпала «шестёрка»;

Событие B — на выбранной кости есть число 6. Перечислим все кости, на которых есть хотя бы одна шестёрка: (0,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6). Всего 7 таких костей. Число благоприятных исходов $m_b = 7$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_b}{N}$. $P(B) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) произведение очков на ней меньше 26;

Событие C — произведение очков на кости меньше 26. Чтобы найти количество благоприятных исходов, удобнее посчитать количество неблагоприятных исходов (противоположное событие C'), то есть найти кости, у которых произведение очков $a \cdot b \ge 26$. Максимальное число очков на одной половинке равно 6, поэтому максимальное возможное произведение $6 \cdot 6 = 36$.

Проверим пары, которые могут дать произведение, близкое к 26. Пары с 4: максимальное произведение $4 \cdot 6 = 24$, что меньше 26. Пары с 5: $5 \cdot 5 = 25$ (меньше 26), $5 \cdot 6 = 30$ (больше или равно 26). Кость (5,6) не подходит. Пары с 6: $6 \cdot 6 = 36$ (больше или равно 26). Кость (6,6) не подходит.

Таким образом, есть только 2 кости, которые не удовлетворяют условию: (5,6) и (6,6). Число неблагоприятных исходов равно 2. Тогда число благоприятных исходов $m_c = N - 2 = 28 - 2 = 26$.

Вероятность события C: $P(C) = \frac{m_c}{N}$. $P(C) = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$

г) модуль разности очков больше 1?

Событие D — модуль разности очков на кости больше 1, то есть $|a - b| > 1$. Рассмотрим противоположное событие D' — модуль разности очков меньше или равен 1, то есть $|a - b| \le 1$. Это означает, что разность равна 0 или 1.

Случай 1: $|a - b| = 0$. Это означает, что $a = b$. Такие кости — дубли. Их 7: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Случай 2: $|a - b| = 1$. Это кости с соседними по значению числами. Их 6: (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

Общее число исходов, не благоприятствующих событию D (то есть благоприятствующих событию D'), равно сумме исходов из этих двух случаев: $7 + 6 = 13$. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m_d = N - 13 = 28 - 13 = 15$.

Вероятность события D: $P(D) = \frac{m_d}{N}$. $P(D) = \frac{15}{28}$.

Ответ: $\frac{15}{28}$

51.11 Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочерёдно выбирают два. Найдите вероятность того, что:

а) первое из чисел меньше второго;

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

г) первое из чисел делится на второе.

Сначала определим общее число возможных исходов. Из пяти чисел (1, 2, 3, 4, 5) поочерёдно выбирают два. Это означает, что выборки упорядочены и без повторений. Число таких выборок (размещений) равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=5$ и $k=2$.

Общее число исходов $N = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

а) первое из чисел меньше второго;

Пусть событие $A$ заключается в том, что первое выбранное число ($a$) меньше второго ($b$). Нам нужно найти количество пар $(a, b)$, для которых $a < b$. Перечислим все благоприятные исходы:

- для $a=1$: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) — 4 исхода;
- для $a=2$: (2, 3), (2, 4), (2, 5) — 3 исхода;
- для $a=3$: (3, 4), (3, 5) — 2 исхода;
- для $a=4$: (4, 5) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m_a = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

Пусть событие $B$ заключается в том, что выбранные числа $a$ и $b$ являются катетами прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — целое число. Нам нужно найти упорядоченные пары $(a, b)$ из нашего множества, которые удовлетворяют этому условию.

Проверим все возможные комбинации катетов из чисел {1, 2, 3, 4, 5}:

$1^2+2^2=5$, $1^2+3^2=10$, $1^2+4^2=17$, $1^2+5^2=26$,
$2^2+3^2=13$, $2^2+4^2=20$, $2^2+5^2=29$,
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Эта пара подходит, гипотенуза $c=5$.
$3^2+5^2=34$,
$4^2+5^2=41$.

Единственная пара чисел, которая образует Пифагорову тройку, — это {3, 4}. Так как числа выбираются поочерёдно, порядок важен. Следовательно, благоприятными исходами являются пары (3, 4) и (4, 3).

Число благоприятных исходов $m_b = 2$.

Вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

Пусть событие $C$ заключается в том, что произведение выбранных чисел $a \times b$ оканчивается нулём. Это означает, что произведение должно быть кратно 10. Чтобы число было кратно 10, оно должно быть кратно 2 и 5 одновременно.

В наборе {1, 2, 3, 4, 5} есть только одно число, кратное 5 — это 5. Значит, одно из выбранных чисел обязательно должно быть 5. Второе число должно быть чётным, чтобы произведение было кратно 2. В наборе есть два чётных числа: 2 и 4.

Таким образом, возможны следующие пары:

- Одно число 2, другое 5. Пары: (2, 5) и (5, 2). Произведение равно 10.
- Одно число 4, другое 5. Пары: (4, 5) и (5, 4). Произведение равно 20.

Число благоприятных исходов $m_c = 2 + 2 = 4$.

Вероятность события $C$ равна:

$P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) первое из чисел делится на второе.

Пусть событие $D$ заключается в том, что первое выбранное число $a$ делится нацело на второе выбранное число $b$. Найдём все упорядоченные пары $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию.

Переберём возможные значения для второго числа $b$:

- Если $b=1$, то $a$ может быть любым из оставшихся чисел {2, 3, 4, 5}. Получаем 4 пары: (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1).
- Если $b=2$, то $a$ должно быть кратно 2. Из оставшихся чисел {1, 3, 4, 5} подходит только 4. Получаем 1 пару: (4, 2).
- Если $b=3$, то $a$ должно быть кратно 3. Среди чисел {1, 2, 4, 5} таких нет.
- Если $b=4$, то $a$ должно быть кратно 4. Среди чисел {1, 2, 3, 5} таких нет.
- Если $b=5$, то $a$ должно быть кратно 5. Среди чисел {1, 2, 3, 4} таких нет.

Общее число благоприятных исходов $m_d = 4 + 1 = 5$.

Вероятность события $D$ равна:

$P(D) = \frac{m_d}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

51.10 В русском языке 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и две специальные буквы (ъ и ь). Два ученика независимо друг от друга выбрали по одной букве русского алфавита. Какова вероятность того, что:

a) были выбраны различные буквы;

б) обе выбранные буквы — гласные;

в) среди выбранных букв есть согласные;

г) это две соседние буквы алфавита?

В задаче рассматривается случайный выбор двух букв из 33 букв русского алфавита двумя учениками независимо друг от друга. Общее число возможных исходов равно произведению числа вариантов для каждого ученика, поскольку выборы независимы.

Всего букв в алфавите: $N = 33$.

Количество гласных: $N_г = 10$.

Количество согласных: $N_с = 21$.

Количество специальных букв (ъ, ь): $N_{сп} = 2$.

Общее число элементарных исходов (упорядоченных пар букв) в данном эксперименте равно $n = 33 \times 33 = 1089$.

а) были выбраны различные буквы;

Найдем вероятность события A, что были выбраны различные буквы. Проще вычислить вероятность противоположного события A', состоящего в том, что были выбраны одинаковые буквы.

Первый ученик может выбрать любую из 33 букв. Чтобы буквы совпали, второй ученик должен выбрать ту же самую букву. Таким образом, для каждой из 33 букв, выбранной первым учеником, есть только один благоприятный исход для второго.

Количество исходов, благоприятствующих событию A' (выбраны одинаковые буквы), равно $m_{A'} = 33$ (пары А-А, Б-Б, ..., Я-Я).

Вероятность события A' равна: $P(A') = \frac{m_{A'}}{n} = \frac{33}{1089} = \frac{1}{33}$.

Вероятность события A (выбраны различные буквы) находится как $P(A) = 1 - P(A')$. $P(A) = 1 - \frac{1}{33} = \frac{32}{33}$.

Альтернативный способ: Первый ученик может выбрать любую из 33 букв. Чтобы вторая буква отличалась от первой, у второго ученика есть $33 - 1 = 32$ варианта. Число благоприятных исходов равно $m_A = 33 \times 32 = 1056$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{33 \times 32}{33 \times 33} = \frac{32}{33}$.

Ответ: $ \frac{32}{33} $

б) обе выбранные буквы — гласные;

Пусть B — событие, при котором оба ученика выбрали гласные буквы. В русском алфавите 10 гласных букв.

Выбор каждого ученика независим. Вероятность того, что первый ученик выберет гласную, равна $P_1 = \frac{10}{33}$.

Вероятность того, что второй ученик выберет гласную, также равна $P_2 = \frac{10}{33}$.

Вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна произведению их вероятностей: $P(B) = P_1 \times P_2 = \frac{10}{33} \times \frac{10}{33} = \frac{100}{1089}$.

Альтернативный способ: Число способов выбрать пару гласных букв равно $10 \times 10 = 100$. Это число благоприятных исходов $m_B$. Общее число исходов $n = 33 \times 33 = 1089$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{100}{1089}$.

Ответ: $ \frac{100}{1089} $

в) среди выбранных букв есть согласные;

Пусть C — событие, при котором среди выбранных букв есть хотя бы одна согласная. Проще найти вероятность противоположного события C', которое заключается в том, что среди выбранных букв нет ни одной согласной.

Буквы, не являющиеся согласными, — это 10 гласных и 2 специальные буквы. Всего их $10 + 2 = 12$.

Событие C' означает, что оба ученика выбрали буквы из этих 12-ти.

Вероятность того, что первый ученик выберет не согласную букву, равна $\frac{12}{33}$.

Вероятность того, что второй ученик выберет не согласную букву, также равна $\frac{12}{33}$.

Вероятность события C' (оба выбрали не согласные) равна: $P(C') = \frac{12}{33} \times \frac{12}{33} = \frac{144}{1089}$.

Дробь можно сократить на 9: $\frac{144 \div 9}{1089 \div 9} = \frac{16}{121}$.

Тогда вероятность события C (есть хотя бы одна согласная) равна $P(C) = 1 - P(C')$. $P(C) = 1 - \frac{16}{121} = \frac{121 - 16}{121} = \frac{105}{121}$.

Ответ: $ \frac{105}{121} $

г) это две соседние буквы алфавита?

Пусть D — событие, когда выбраны две соседние буквы алфавита. Например, (А, Б) или (Б, А).

Рассмотрим все возможные пары соседних букв в алфавите: (А, Б), (Б, В), ..., (Ю, Я). Всего таких пар 32.

Для каждой такой пары, например, для букв $L_k$ и $L_{k+1}$, благоприятными исходами будут две упорядоченные пары: $(L_k, L_{k+1})$ и $(L_{k+1}, L_k)$. Это означает, что первый ученик мог выбрать $L_k$, а второй $L_{k+1}$, либо наоборот.

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно $m_D = 32 \times 2 = 64$.

Другой способ подсчета: Если первый ученик выбирает первую ('А') или последнюю ('Я') букву алфавита (2 варианта), то у второго ученика есть только 1 вариант для выбора соседней буквы. Это дает $2 \times 1 = 2$ исхода.

Если первый ученик выбирает любую другую букву (с 2-й по 32-ю, всего $33 - 2 = 31$ вариант), то у второго ученика есть 2 варианта для выбора соседней буквы (предыдущая и следующая). Это дает $31 \times 2 = 62$ исхода.

Общее число благоприятных исходов $m_D = 2 + 62 = 64$.

Общее число всех возможных исходов $n = 33 \times 33 = 1089$.

Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m_D}{n} = \frac{64}{1089}$.

Эта дробь несократима, так как $64 = 2^6$, а $1089 = 33^2 = (3 \times 11)^2 = 3^2 \times 11^2$, и у них нет общих делителей.

Ответ: $ \frac{64}{1089} $

51.12 Случайно и поочерёдно нажимают три клавиши одной октавы.

Найдите вероятность того, что:

а) не была нажата «фа»;

б) не были нажаты ни «до», ни «си»;

в) была нажата «ля»;

г) получилась последовательность «до-ми-соль» (до-мажорное трезвучие).

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. В стандартной музыкальной октаве 7 основных нот (белых клавиш): до, ре, ми, фа, соль, ля, си. По условию, случайно и поочерёдно нажимают три клавиши. Это означает, что мы выбираем 3 различные клавиши из 7, и порядок их нажатия важен. Таким образом, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Общее число возможных исходов $N$ – это число размещений из 7 элементов по 3, которое вычисляется по формуле:

$N = A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=7$ (общее число клавиш) и $k=3$ (число нажимаемых клавиш).

$N = A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Таким образом, существует 210 различных последовательностей из трёх нот.

а) не была нажата «фа»;

Чтобы нота «фа» не была нажата, все три клавиши должны быть выбраны из оставшихся 6 нот (до, ре, ми, соль, ля, си). Число благоприятных исходов $m_a$ – это число размещений из 6 элементов по 3:

$m_a = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{120}{210} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$

б) не были нажаты ни «до», ни «си»;

Чтобы не были нажаты ни «до», ни «си», все три клавиши должны быть выбраны из оставшихся 5 нот (ре, ми, фа, соль, ля). Число благоприятных исходов $m_b$ – это число размещений из 5 элементов по 3:

$m_b = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Вероятность этого события $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{60}{210} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

в) была нажата «ля»;

Это событие является противоположным событию «нота "ля" не была нажата». Найдем вероятность противоположного события и вычтем её из 1.

Пусть событие $C$ – «была нажата "ля"», а событие $\overline{C}$ – «не была нажата "ля"».

Вероятность того, что «ля» не была нажата, рассчитывается аналогично пункту а). Мы выбираем 3 клавиши из 6 оставшихся (все, кроме «ля»). Число таких исходов $m_{\overline{C}} = A_6^3 = 120$.

Вероятность не нажать «ля»:

$P(\overline{C}) = \frac{m_{\overline{C}}}{N} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$.

Тогда вероятность того, что «ля» была нажата, равна:

$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.

Альтернативный способ:
Посчитаем число благоприятных исходов напрямую. Нота «ля» должна входить в выбранную тройку.
1. Выберем место для ноты «ля» в последовательности из трех нажатий. Есть 3 варианта (первое, второе или третье место).
2. Оставшиеся 2 места в последовательности нужно заполнить нотами из оставшихся 6 нот. Число способов для этого - $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Общее число благоприятных исходов: $m_c = 3 \times A_6^2 = 3 \times 30 = 90$.
Вероятность: $P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{90}{210} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{3}{7}$

г) получилась последовательность «до-ми-соль» (до-мажорное трезвучие).

Событие заключается в том, что была нажата конкретная упорядоченная последовательность клавиш: «до», затем «ми», затем «соль». Эта последовательность уникальна.

Такая последовательность является одним-единственным из всех возможных исходов. То есть число благоприятных исходов $m_d = 1$.

Общее число возможных последовательностей, как мы посчитали ранее, равно $N = 210$.

Вероятность этого события $P(D)$ равна:

$P(D) = \frac{m_d}{N} = \frac{1}{210}$.

Ответ: $\frac{1}{210}$

52.1 Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Дано множество цифр $S = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 9\}$. Всего в множестве 7 цифр. Мы составляем двузначные числа, в которых повторение цифр допустимо. Двузначное число состоит из двух позиций: десятки и единицы.

а) Сколько всего можно составить чисел?

Для составления двузначного числа нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц.
На место первой цифры (десятки) можно поставить любую цифру из данного множества, кроме нуля, так как число должно быть двузначным. Следовательно, у нас есть 6 вариантов для первой цифры: $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из 7 данных цифр, так как повторения разрешены. Варианты для второй цифры: $\{0, 1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$N_{\text{всего}} = 6 \times 7 = 42$.
Ответ: 42

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

Чтобы двузначное число было больше 50, его первая цифра (десятки) должна быть 5, 6 или 9. Рассмотрим эти случаи:
1. Первая цифра — 5. Чтобы число было больше 50, вторая цифра (единицы) должна быть больше 0. Из нашего множества подходят цифры $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$. Всего 6 таких чисел.
2. Первая цифра — 6. Любое число, начинающееся с 6, будет больше 50. Вторая цифра может быть любой из 7 данных цифр. Всего 7 таких чисел.
3. Первая цифра — 9. Аналогично, любое число, начинающееся с 9, будет больше 50. Вторая цифра может быть любой из 7 данных цифр. Всего 7 таких чисел.
Суммируем количество чисел из всех случаев:
$N_{>50} = 6 + 7 + 7 = 20$.
Ответ: 20

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

Число является нечётным, если его последняя цифра (единицы) нечётная.
Из данного множества $S$ нечётными являются цифры $\{1, 3, 5, 9\}$. Таким образом, для разряда единиц есть 4 варианта.
Для разряда десятков по-прежнему можно использовать любую цифру, кроме 0. То есть 6 вариантов: $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
Общее количество нечётных двузначных чисел находим по правилу произведения:
$N_{\text{нечёт}} = 6 \times 4 = 24$.
Ответ: 24

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Мы ищем числа, которые одновременно нечётные и меньше 55. Это накладывает ограничения на обе цифры.
Рассмотрим возможные варианты для первой цифры (десятки):
1. Первая цифра принадлежит множеству $\{1, 3, 4\}$. Таких вариантов 3. Любое число, начинающееся с этих цифр, будет меньше 55. Вторая цифра должна быть нечётной. Как мы выяснили в пункте в), у нас 4 варианта для нечётной цифры: $\{1, 3, 5, 9\}$.
Количество таких чисел: $3 \times 4 = 12$.
2. Первая цифра — 5. Чтобы число было меньше 55, вторая цифра должна быть меньше 5. При этом число должно быть нечётным. Из доступных нечётных цифр $\{1, 3, 5, 9\}$ условию "меньше 5" удовлетворяют только $\{1, 3\}$. Значит, у нас есть 2 варианта (числа 51 и 53).
Чтобы найти общее количество, сложим результаты из обоих случаев:
$N_{<55, \text{нечёт}} = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14