Страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

50.5 а) Найдите частоту каждой из букв в строке «Октябрь уж наступил...» из стихотворения «Осень» А. С. Пушкина.

б) Найдите частоту (в процентах) букв слова «гром» среди всех букв двустишия «Как бы резвяся и играя, / Грохочет в небе голубом» из стихотворения Ф. И. Тютчева.

в) Найдите моду и её кратность среди всех букв двустишия «Это дерево сосна, / И судьба сосны ясна» из стихотворения Ю. Минералова.

г) Измеряется длина слов в отрывке из поэмы А. С. Пушкина «Медный всадник». Составьте ряд данных и постройте гистограмму распределения этих данных.

...Ужасен он в окрестной мгле!

Какая дума на челе!

Какая сила в нём сокрыта!

А в сём коне какой огонь!

Куда ты скачешь, гордый конь,

И где опустишь ты копыта?..

a)

Для нахождения частоты каждой буквы в строке «Октябрь уж наступил», необходимо сначала посчитать общее количество букв в этой строке, а затем количество вхождений каждой уникальной буквы. Частота буквы вычисляется как отношение количества этой буквы к общему числу букв.

Строка: «Октябрь уж наступил».

1. Подсчитаем общее количество букв (пробелы не учитываются):

• Слово «Октябрь» содержит 7 букв.
• Слово «уж» содержит 2 буквы.
• Слово «наступил» содержит 8 букв.

Общее количество букв: $7 + 2 + 8 = 17$.

2. Подсчитаем количество каждой буквы в строке:

• а – 1
• б – 1
• ж – 1
• и – 1
• к – 1
• л – 1
• н – 1
• о – 1
• п – 1
• р – 1
• с – 1
• т – 2
• у – 2
• ь – 1
• я – 1

3. Вычислим частоту для каждой буквы по формуле: $Частота = \frac{Количество\;вхождений\;буквы}{Общее\;количество\;букв}$

• Частота букв «т», «у» равна $2/17$.
• Частота остальных 13 букв («а», «б», «ж», «и», «к», «л», «н», «о», «п», «р», «с», «ь», «я») равна $1/17$.

Ответ: Частота букв «т» и «у» равна $2/17$. Частота букв «а», «б», «ж», «и», «к», «л», «н», «о», «п», «р», «с», «ь», «я» равна $1/17$.

б)

Чтобы найти частоту (в процентах) букв слова «гром» (т.е. букв г, р, о, м) среди всех букв двустишия, нужно посчитать общее количество букв в двустишии и количество вхождений указанных букв. Затем найти их отношение и выразить в процентах.

Двустишие: «Как бы резвяся и играя, / Грохочет в небе голубом».

1. Подсчитаем общее количество букв в двустишии (без учета пробелов и знаков препинания):

• «Как бы резвяся и играя»: $3 + 2 + 7 + 1 + 5 = 18$ букв.
• «Грохочет в небе голубом»: $8 + 1 + 4 + 7 = 20$ букв.

Всего букв: $18 + 20 = 38$.

2. Подсчитаем количество букв «г», «р», «о», «м» в тексте (регистр не учитываем):

• «г»: играя, Грохочет, голубом – 3 раза.
• «р»: резвяся, играя, Грохочет – 3 раза.
• «о»: Грохочет, голубом – 4 раза.
• «м»: голубом – 1 раз.

Общее количество этих букв: $3 + 3 + 4 + 1 = 11$.

3. Вычислим частоту в процентах:

$Частота (\%) = \frac{Общее\;число\;букв\;«г,р,о,м»}{Общее\;число\;всех\;букв} \times 100\% = \frac{11}{38} \times 100\% \approx 0.28947 \times 100\% \approx 28.95\%$

Ответ: Частота букв слова «гром» составляет примерно $28.95\%$.

в)

Мода – это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. Кратность моды – это число, показывающее, сколько раз встречается мода. В данном случае мы ищем букву(ы), которая(ые) встречается(ются) чаще всего в двустишии, и её (их) количество повторений.

Двустишие: «Это дерево сосна, / И судьба сосны ясна».

1. Выпишем все буквы и посчитаем их количество (всего 30 букв):

• о – 4 раза
• с – 4 раза
• а – 3 раза
• н – 3 раза
• д – 2 раза
• е – 2 раза
• э, т, р, в, и, у, ь, б, ы, я – по 1 разу

2. Находим буквы с наибольшей частотой встречаемости. Это буквы «о» и «с», каждая из которых встречается 4 раза.

Следовательно, в данном наборе данных две моды: «о» и «с». Кратность каждой из них равна 4.

Ответ: Моды – буквы «о» и «с», их кратность равна 4.

г)

Для составления ряда данных и построения гистограммы, сначала определим длину каждого слова в отрывке.

Отрывок из поэмы «Медный всадник»:

...Ужасен он в окрестной мгле!
Какая дума на челе!
Какая сила в нём сокрыта!
А в сём коне какой огонь!
Куда ты скачешь, гордый конь,
И где опустить ты копыта?..

1. Определяем длину каждого слова (знаки препинания не учитываются):

Ужасен(6), он(2), в(1), окрестной(9), мгле(4), Какая(5), дума(4), на(2), челе(4), Какая(5), сила(4), в(1), нём(3), сокрыта(7), А(1), в(1), сём(3), коне(4), какой(5), огонь(5), Куда(4), ты(2), скачешь(7), гордый(6), конь(4), И(1), где(3), опустить(8), ты(2), копыта(6).

2. Составляем ряд данных из длин слов:

6, 2, 1, 9, 4, 5, 4, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 7, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 4, 2, 7, 6, 4, 1, 3, 8, 2, 6.

3. Составим таблицу частот, где указано, сколько раз встречается слово определенной длины:

4. Построение гистограммы.

Гистограмма распределения – это столбчатая диаграмма, которая показывает распределение данных. Для построения гистограммы:

• По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения длины слов (от 1 до 9).
• По вертикальной оси (оси ординат) откладывается частота, то есть количество слов соответствующей длины.
• Для каждой длины слова строится столбец, высота которого равна частоте из таблицы.

Например, для длины слова 1 высота столбца будет 5, для длины 2 – высота 4, для длины 4 – высота 7 (это будет самый высокий столбец), и так далее.

Ответ:

Ряд данных длин слов: 6, 2, 1, 9, 4, 5, 4, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 7, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 4, 2, 7, 6, 4, 1, 3, 8, 2, 6.

Гистограмма строится на основе таблицы частот, представленной выше. Она будет иметь 9 столбцов, соответствующих длинам слов от 1 до 9, с высотами 5, 4, 3, 7, 4, 3, 2, 1, 1 соответственно.

50.6 Каждый из трёх мальчиков, Миша, Коля и Петя, 200 раз бросил игральный кубик и записал, сколько раз выпали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получились такие данные:

Составьте гистограммы распределения результатов:

а) Миши;

б) Коли;

в) Миши и Коли;

г) Миши, Коли и Пети.

Гистограмма распределения — это столбчатая диаграмма, в которой по горизонтальной оси откладываются варианты (в данном случае — число очков на кубике), а высота столбцов соответствует частоте (количеству раз) выпадения каждого варианта.

а) Миши;

Для построения гистограммы по результатам Миши, используем данные из соответствующей строки таблицы. Высоты столбцов для каждого числа очков будут следующими:

• 1 очко: 45
• 2 очка: 29
• 3 очка: 35
• 4 очка: 31
• 5 очков: 28
• 6 очков: 32

Ответ: Гистограмма для результатов Миши состоит из шести столбцов, соответствующих числам очков от 1 до 6, с высотами 45, 29, 35, 31, 28 и 32.

б) Коли;

Для построения гистограммы по результатам Коли, используем его данные из таблицы. Высоты столбцов для каждого числа очков будут следующими:

• 1 очко: 31
• 2 очка: 32
• 3 очка: 41
• 4 очка: 34
• 5 очков: 36
• 6 очков: 26

Ответ: Гистограмма для результатов Коли состоит из шести столбцов, соответствующих числам очков от 1 до 6, с высотами 31, 32, 41, 34, 36 и 26.

в) Миши и Коли;

Чтобы построить общую гистограмму для Миши и Коли, нужно сложить их результаты для каждого числа очков. Общее число бросков составит $200 + 200 = 400$. Рассчитаем суммарные частоты:

• 1 очко: $45 + 31 = 76$
• 2 очка: $29 + 32 = 61$
• 3 очка: $35 + 41 = 76$
• 4 очка: $31 + 34 = 65$
• 5 очков: $28 + 36 = 64$
• 6 очков: $32 + 26 = 58$

Ответ: Гистограмма для суммарных результатов Миши и Коли состоит из шести столбцов с высотами 76, 61, 76, 65, 64 и 58.

г) Миши, Коли и Пети.

Для построения общей гистограммы для всех троих мальчиков, сложим их результаты. Общее число бросков составит $200 + 200 + 200 = 600$. Рассчитаем суммарные частоты:

• 1 очко: $45 + 31 + 27 = 103$
• 2 очка: $29 + 32 + 40 = 101$
• 3 очка: $35 + 41 + 23 = 99$
• 4 очка: $31 + 34 + 39 = 104$
• 5 очков: $28 + 36 + 30 = 94$
• 6 очков: $32 + 26 + 41 = 99$

Для идеального кубика теоретическая частота выпадения каждой грани при 600 бросках составляет $600 / 6 = 100$. Полученные экспериментальные данные близки к теоретическим.

Ответ: Гистограмма для суммарных результатов Миши, Коли и Пети состоит из шести столбцов с высотами 103, 101, 99, 104, 94 и 99.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x), x \in X$, в точке $a \in X$. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Запишите уравнение касательной к графику функции y = f(x), x ∈ X, в точке a ∈ X.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ представляет собой уравнение прямой, которая проходит через точку $(a; f(a))$ и имеет угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке, $f'(a)$.
Общая формула уравнения касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$
Где:

• $a$ — это абсцисса точки касания.
• $f(a)$ — это значение функции в точке $a$, то есть ордината точки касания.
• $f'(x)$ — это производная функции $f(x)$.
• $f'(a)$ — это значение производной в точке $a$, которое равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной.

Ответ: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Составьте уравнение касательной к графику функции y = cos x в точке x = π/2.
Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой уравнения касательной $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
В данном случае задана функция $f(x) = \cos x$ и точка касания $a = \frac{\pi}{2}$.
Действуем по шагам:
1. Находим значение функции в точке касания $a$.
$f(a) = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{\pi}{2}; 0)$.
2. Находим производную функции $f(x)$.
Производная от косинуса равна минус синусу:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
3. Находим значение производной в точке касания $a$.
Это значение будет угловым коэффициентом нашей касательной.
$f'(a) = f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
4. Подставляем найденные значения в общую формулу.
Мы имеем $a = \frac{\pi}{2}$, $f(a) = 0$ и $f'(a) = -1$. Подставляем их в уравнение $y = f(a) + f'(a)(x - a)$:
$y = 0 + (-1) \cdot (x - \frac{\pi}{2})$
Упрощаем полученное выражение:
$y = -(x - \frac{\pi}{2})$
$y = -x + \frac{\pi}{2}$
Это и есть искомое уравнение касательной.
Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$

2. К графику функции $y = 3x^3 - x^2 + x + 1$ проведена касательная в точке $x = 1$. Каким прямым, перечисленным ниже, она параллельна: $y = 8x - 3$, $y = 6x - 2$, $y = 7 - 8x$, $y = 1 - 6x$, $y = 5 + 8x$, $y = 6x + 1$?

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции
Дана функция $y = 3x^3 - x^2 + x + 1$.
Найдем ее производную, используя правила дифференцирования: $y' = (3x^3 - x^2 + x + 1)' = 3 \cdot (x^3)' - (x^2)' + (x)' + (1)' = 3 \cdot 3x^2 - 2x + 1 + 0 = 9x^2 - 2x + 1$.

2. Вычислим угловой коэффициент касательной
Касательная проведена в точке $x = 1$. Вычислим значение производной в этой точке: $k_{кас} = y'(1) = 9(1)^2 - 2(1) + 1 = 9 - 2 + 1 = 8$. Итак, угловой коэффициент касательной равен 8.

3. Сравним с угловыми коэффициентами заданных прямых
Теперь найдем угловые коэффициенты ($k$) для каждой из предложенных прямых, представленных в виде $y = kx + b$:

• $y = 8x - 3$: $k = 8$
• $y = 6x - 2$: $k = 6$
• $y = 7 - 8x$: $k = -8$
• $y = 1 - 6x$: $k = -6$
• $y = 5 + 8x$ (эквивалентно $y = 8x + 5$): $k = 8$
• $y = 6x + 1$: $k = 6$

Касательная параллельна тем прямым, у которых угловой коэффициент равен 8. Сравнивая полученные значения, видим, что этому условию удовлетворяют две прямые: $y = 8x - 3$ и $y = 5 + 8x$.

Ответ: Касательная параллельна прямым $y = 8x - 3$ и $y = 5 + 8x$.

3. Объясните, почему в достаточно малой окрестности точки $x = a$ справедливо приближённое равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$, если $y = f(x)$ — дифференцируемая в точке $x = a$ функция.

Приближенное равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ справедливо для дифференцируемой в точке $x=a$ функции, потому что оно представляет собой линейную аппроксимацию функции в окрестности этой точки. Суть этого приближения можно объяснить как с алгебраической, так и с геометрической точек зрения, которые тесно связаны.

С алгебраической точки зрения, это равенство следует непосредственно из определения производной. По определению, функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x=a$, если существует конечный предел, называемый производной: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Смысл предела заключается в том, что при $x$, достаточно близком к $a$ (т.е. в малой окрестности точки $a$), значение выражения $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ становится сколь угодно близким к $f'(a)$. Это можно записать в виде приближенного равенства для $x$, близких к $a$: $$\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \approx f'(a)$$ Теперь выполним простые алгебраические преобразования. Умножим обе части на $(x-a)$, что возможно, так как $x \ne a$: $$f(x) - f(a) \approx f'(a)(x-a)$$ И, наконец, перенесем $f(a)$ в правую часть: $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$$ Это и есть искомое приближенное равенство. Точность этого приближения тем выше, чем ближе $x$ находится к $a$.

С геометрической точки зрения, выражение $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ является уравнением касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(a, f(a))$. Само существование производной в точке (дифференцируемость) гарантирует, что у графика функции в этой точке есть касательная. Основное свойство касательной состоит в том, что она наилучшим образом приближает график функции вблизи точки касания. Если мы будем "увеличивать" масштаб графика в окрестности точки $(a, f(a))$, кривая $y=f(x)$ будет становиться все более похожей на прямую линию — свою касательную. Таким образом, приближенное равенство просто констатирует тот факт, что для $x$, близких к $a$, значения функции $f(x)$ можно аппроксимировать значениями на ее касательной.

Ответ: Данное приближенное равенство справедливо, потому что оно является следствием определения производной. Для $x$ в малой окрестности точки $a$, отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ близко к своему пределу $f'(a)$, из чего алгебраически следует искомая формула. Геометрически это означает, что график дифференцируемой функции в малой окрестности точки $(a, f(a))$ очень хорошо аппроксимируется своей касательной, уравнение которой и есть $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.