Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 1. Cтраница 198

№49.17 (с. 198)
Условие. №49.17 (с. 198)
скриншот условия

49.17 a) $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, $y = e^x$;
б) $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$, $y = e^{-x}$;
в) $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$, $y = e^x$;
г) $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$, $y = e^{-x}$.
Решение 1. №49.17 (с. 198)

Решение 2. №49.17 (с. 198)


Решение 5. №49.17 (с. 198)



Решение 6. №49.17 (с. 198)
а)
Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$, $x = 3$ и графиком функции $y = e^x$. Так как на отрезке $[0, 3]$ функция $y = e^x$ неотрицательна ($e^x > 0$ для любого $x$), искомая площадь является площадью криволинейной трапеции и вычисляется с помощью определенного интеграла.
Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу осью абсцисс, и по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.
В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$ и $b = 3$. Подставляем значения в формулу: $S = \int_{0}^{3} e^x \,dx$.
Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $S = [e^x]_{0}^{3} = e^3 - e^0 = e^3 - 1$.
Ответ: $e^3 - 1$
б)
Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[0, 4]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна, поэтому площадь вычисляется по той же формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.
Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = 0$ и $b = 4$. $S = \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$.
Первообразная для функции $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Проверим: $(-e^{-x})' = -e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{0}^{4} = (-e^{-4}) - (-e^{-0}) = -e^{-4} - (-1) = 1 - e^{-4}$.
Ответ: $1 - e^{-4}$
в)
Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$ и графиком функции $y = e^x$. На отрезке $[-1, 1]$ функция $y = e^x$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.
В этом случае $f(x) = e^x$, $a = -1$ и $b = 1$. $S = \int_{-1}^{1} e^x \,dx$.
Первообразная для $e^x$ есть $e^x$. Вычисляем интеграл: $S = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.
Ответ: $e - \frac{1}{e}$
г)
Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.
Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = -2$ и $b = 0$. $S = \int_{-2}^{0} e^{-x} \,dx$.
Первообразная для $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{-2}^{0} = (-e^{-0}) - (-e^{-(-2)}) = -e^0 - (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 - 1$.
Ответ: $e^2 - 1$
№49.18 (с. 198)
Условие. №49.18 (с. 198)
скриншот условия

49.18 a) $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$;
б) $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x+3}$;
в) $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$;
Г) $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x-5}$.
Решение 1. №49.18 (с. 198)

Решение 2. №49.18 (с. 198)


Решение 5. №49.18 (с. 198)



Решение 6. №49.18 (с. 198)
а)
Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$. Эта фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $f(x) = \frac{1}{x}$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и с боков вертикальными прямыми $x=1$ и $x=e$.
Площадь $S$ такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:
$S = \int_a^b f(x) \,dx$
Подставляем наши значения: $f(x) = \frac{1}{x}$, $a = 1$, $b = e$.
$S = \int_1^e \frac{1}{x} \,dx$
Первообразная для функции $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$S = [\ln|x|]_1^e = \ln|e| - \ln|1| = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$
Ответ: $1$.
б)
Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x+3}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{2x+3}$ в пределах от $a=-1$ до $b=3$. Функция $f(x)$ непрерывна и положительна на интервале $[-1, 3]$ (вертикальная асимптота $x = -1.5$ не входит в этот интервал).
$S = \int_{-1}^3 \frac{1}{2x+3} \,dx$
Первообразная для функции $\frac{1}{ax+b}$ имеет вид $\frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В нашем случае $a=2$, $b=3$. Таким образом, первообразная для $\frac{1}{2x+3}$ есть $\frac{1}{2}\ln|2x+3|$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [\frac{1}{2}\ln|2x+3|]_{-1}^3 = \frac{1}{2}(\ln|2 \cdot 3 + 3| - \ln|2 \cdot (-1) + 3|) = \frac{1}{2}(\ln|9| - \ln|1|) = \frac{1}{2}(\ln(9) - 0) = \frac{1}{2}\ln(9)$
Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$, можно упростить ответ:
$S = \frac{1}{2}\ln(3^2) = \frac{1}{2} \cdot 2\ln(3) = \ln(3)$
Ответ: $\ln(3)$.
в)
Находим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{2}{x}$ в пределах от $a=e$ до $b=e^2$.
$S = \int_e^{e^2} \frac{2}{x} \,dx = 2 \int_e^{e^2} \frac{1}{x} \,dx$
Первообразная для $\frac{1}{x}$ это $\ln|x|$.
$S = 2[\ln|x|]_e^{e^2} = 2(\ln|e^2| - \ln|e|)$
Так как $e > 0$ и $e^2 > 0$, модули можно убрать. Используя свойства логарифмов $\ln(e^2) = 2$ и $\ln(e) = 1$:
$S = 2(\ln(e^2) - \ln(e)) = 2(2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$
Ответ: $2$.
г)
Находим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x-5}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{3x-5}$ в пределах от $a=2$ до $b=5$. Функция $f(x)$ непрерывна и положительна на интервале $[2, 5]$ (вертикальная асимптота $x = 5/3 \approx 1.67$ не входит в этот интервал).
$S = \int_2^5 \frac{1}{3x-5} \,dx$
Первообразная для функции $\frac{1}{3x-5}$ есть $\frac{1}{3}\ln|3x-5|$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [\frac{1}{3}\ln|3x-5|]_2^5 = \frac{1}{3}(\ln|3 \cdot 5 - 5| - \ln|3 \cdot 2 - 5|) = \frac{1}{3}(\ln|15 - 5| - \ln|6 - 5|) = \frac{1}{3}(\ln|10| - \ln|1|)$
Так как $\ln(1) = 0$:
$S = \frac{1}{3}(\ln(10) - 0) = \frac{1}{3}\ln(10)$
Ответ: $\frac{1}{3}\ln(10)$.
№49.16 (с. 198)
Условие. №49.16 (с. 198)
скриншот условия

49.16 a) $y = 0$, $x = 4$, $y = \sqrt{x}$;
б) $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$, $y = \frac{1}{x^2}$;
В) $y = 1$, $x = 0$, $y = \sqrt[3]{x}$;
Г) $y = 2$, $x = 0$, $y = \sqrt{x}$.
Решение 1. №49.16 (с. 198)

Решение 2. №49.16 (с. 198)


Решение 5. №49.16 (с. 198)



Решение 6. №49.16 (с. 198)
а)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 4$ и $y = \sqrt{x}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$, снизу осью Ox ($y = 0$), слева осью Oy ($x=0$, точка пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=0$) и справа прямой $x = 4$. Таким образом, пределы интегрирования по $x$ будут от $0$ до $4$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции:
$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \,dx = \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \,dx$
Найдем первообразную для $x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{4} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Ответ: $S = \frac{16}{3}$
б)
Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$, $x = 3$ и $y = \frac{1}{x^2}$. Это криволинейная трапеция, ограниченная сверху функцией $y = \frac{1}{x^2}$, снизу осью Ox, слева прямой $x=1$ и справа прямой $x=3$.
Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = \frac{1}{x^2}$ в пределах от $1$ до $3$:
$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{3} x^{-2} \,dx$
Найдем первообразную для $x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Вычислим определенный интеграл:
$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $S = \frac{2}{3}$
в)
Фигура ограничена линиями $y = 1$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt[3]{x}$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$ из уравнения кривой: $y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3$.
Найдем пределы интегрирования по $y$. Нижняя граница определяется пересечением кривой $y = \sqrt[3]{x}$ с осью $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=1$. Таким образом, пределы интегрирования по $y$ будут от $0$ до $1$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^3$ и слева осью Oy ($x=0$).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{1} y^3 \,dy$
Найдем первообразную для $y^3$: $F(y) = \frac{y^{3+1}}{3+1} = \frac{y^4}{4}$.
Вычислим определенный интеграл:
$S = \left. \frac{y^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $S = \frac{1}{4}$
г)
Фигура ограничена линиями $y = 2$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt{x}$. Как и в предыдущем пункте, удобнее провести интегрирование по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ (при $y \ge 0$).
Нижняя граница по $y$ определяется пересечением $y=\sqrt{x}$ и $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=2$. Пределы интегрирования по $y$ — от $0$ до $2$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^2$ и слева осью Oy ($x=0$).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{2} y^2 \,dy$
Найдем первообразную для $y^2$: $F(y) = \frac{y^{2+1}}{2+1} = \frac{y^3}{3}$.
Вычислим определенный интеграл:
$S = \left. \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Ответ: $S = \frac{8}{3}$
№49.19 (с. 198)
Условие. №49.19 (с. 198)
скриншот условия

49.19 Найдите площадь фигуры, изображённой на:
а) рис. 70;
$y = x^3$
Рис. 70
б) рис. 71;
$y = \sin x$
$\frac{\pi}{2}$
Рис. 71
в) рис. 72;
$y = x^2$
Рис. 72
г) рис. 73.
$y = \sin x$
$\frac{\pi}{2}$
$\pi$
Рис. 73
Решение 1. №49.19 (с. 198)

Решение 2. №49.19 (с. 198)


Решение 5. №49.19 (с. 198)


Решение 6. №49.19 (с. 198)
а)
Фигура, изображенная на рис. 70, ограничена кривой $y = x^3$, осью ординат ($x=0$) и прямой $y=8$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Для этого необходимо выразить $x$ через $y$ из уравнения кривой: $x = \sqrt[3]{y}$. Фигура ограничена справа кривой $x = \sqrt[3]{y}$, слева осью $Oy$ (линия $x=0$), и изменяется по оси $y$ от 0 до 8.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $x(y)$ в пределах от 0 до 8:
$S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{y} \, dy = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{y^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4}y^{4/3} \right]_{0}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 8^{4/3} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 = \frac{3}{4} \cdot 2^4 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$.
Ответ: 12.
б)
Фигура на рис. 71 ограничена сверху прямой $y=1$, снизу — графиком функции $y = \sin x$, и слева — осью ординат ($x=0$). Правая граница фигуры определяется точкой пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2}$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=1$) и нижней функции ($y=\sin x$) по переменной $x$ от 0 до $\frac{\pi}{2}$:
$S = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x) \, dx = \left[ x - (-\cos x) \right]_{0}^{\pi/2} = \left[ x + \cos x \right]_{0}^{\pi/2}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$S = \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) - (0 + \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$.
в)
Фигура на рис. 72 ограничена сверху прямой $y=4$ и снизу параболой $y = x^2$. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения этих линий, решив уравнение $x^2 = 4$. Корни уравнения: $x = -2$ и $x = 2$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=4$) и нижней функции ($y=x^2$) по $x$ от -2 до 2:
$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$.
Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:
$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24-8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$.
г)
Фигура на рис. 73 ограничена сверху графиком функции $y = \sin x$ и снизу осью абсцисс ($y=0$). Из графика видно, что пределы интегрирования соответствуют положительному полупериоду синусоиды, то есть от $x=0$ до $x=\pi$. Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $y=\sin x$ на этом отрезке:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.
№5 (с. 198)
Условие. №5 (с. 198)
скриншот условия

5. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.
Решение 6. №5 (с. 198)
Правило вычисления производной произведения двух функций, также известное как правило Лейбница, формулируется следующим образом: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.
Если даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, которые дифференцируемы в некоторой точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ также дифференцируемо в этой точке. Производная произведения находится по формуле:
$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Для краткости эту формулу часто записывают так:
$(uv)' = u'v + uv'$
Доказательство правила:
Для доказательства воспользуемся определением производной. Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. Тогда:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
Чтобы раскрыть это выражение, прибавим и вычтем в числителе одно и то же слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$
Используя свойство предела суммы, разделим на два предела:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x)\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \left(u(x) \cdot \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$
Теперь воспользуемся свойством предела произведения:
$f'(x) = \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x)\right) + \left(\lim_{\Delta x \to 0} u(x)\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$
По определению производной, $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$.
Поскольку функция $v(x)$ дифференцируема, она непрерывна, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.
Подставляя эти значения в выражение, получаем итоговую формулу:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
№6 (с. 198)
Условие. №6 (с. 198)
скриншот условия

6. Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций.
Решение 6. №6 (с. 198)
Правило вычисления производной частного двух функций, также известное как правило частного, определяет, как найти производную функции, представленной в виде отношения двух других функций.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ являются дифференцируемыми в точке $x$, и при этом $v(x) \neq 0$.
Словесная формулировка правила
Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя исходной дроби.
Формула производной частного
В виде формулы это правило записывается так:
$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $
Или в более краткой записи, опуская аргумент $x$:
$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
Доказательство формулы
Формулу можно вывести, представив частное $\frac{u}{v}$ как произведение $u \cdot v^{-1}$ и применив правило производной произведения $(fg)' = f'g + fg'$ и цепное правило для нахождения производной сложной функции.
1. Применяем правило произведения:
$ \left(\frac{u}{v}\right)' = (u \cdot v^{-1})' = (u)' \cdot v^{-1} + u \cdot (v^{-1})' = u'v^{-1} + u(v^{-1})' $
2. Находим производную $(v^{-1})'$ по цепному правилу. Производная от степенной функции $t^{-1}$ равна $-t^{-2}$. Следовательно:
$ (v^{-1})' = -1 \cdot v^{-2} \cdot v' = -\frac{v'}{v^2} $
3. Подставляем результат из шага 2 в выражение из шага 1:
$ u'v^{-1} + u\left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} $
4. Приводим полученное выражение к общему знаменателю $v^2$:
$ \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
Таким образом, формула доказана.
Ответ: Правило вычисления производной частного двух дифференцируемых функций $u$ и $v$ (при условии $v \neq 0$) заключается в использовании формулы: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Словесно: производная частного равна дроби, где в числителе "производная числителя умножить на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя", а в знаменателе "знаменатель в квадрате".
№7 (с. 198)
Условие. №7 (с. 198)
скриншот условия

7. Найдите производную функции:
а) $y = x^5$;
б) $y = x^{2018}$.
Решение 6. №7 (с. 198)
Для нахождения производной степенной функции вида $y = x^n$ используется общая формула производной степенной функции:
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Эта формула гласит, что производная $x$ в степени $n$ равна произведению показателя степени $n$ на $x$ в степени $n-1$.
Применим эту формулу для решения обоих подпунктов.
а) Найти производную функции $y = x^5$.
В этом случае показатель степени $n = 5$.
Используем формулу производной, подставляя $n = 5$:
$y' = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.
Ответ: $y' = 5x^4$.
б) Найти производную функции $y = x^{2018}$.
В этом случае показатель степени $n = 2018$.
Аналогично первому подпункту, подставляем $n = 2018$ в формулу производной:
$y' = (x^{2018})' = 2018 \cdot x^{2018-1} = 2018x^{2017}$.
Ответ: $y' = 2018x^{2017}$.
№8 (с. 198)
Условие. №8 (с. 198)
скриншот условия

8. С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$. Подметили ли вы какую-то закономерность? Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$? Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in N$?
Решение 6. №8 (с. 198)
С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$
Правило дифференцирования частного для функций $u(x)$ и $v(x)$ имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
1. Для функции $y = \frac{1}{x^2}$, положим $u=1$ и $v=x^2$. Тогда их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^2)' = 2x$. Подставим эти значения в формулу производной частного: $(\frac{1}{x^2})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -2x^{1-4} = -2x^{-3}$.
2. Аналогично для функции $y = \frac{1}{x^3}$, положим $u=1$ и $v=x^3$. Их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^3)' = 3x^2$. Подставим в формулу: $(\frac{1}{x^3})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^3 - 1 \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-3x^2}{x^6} = -3x^{2-6} = -3x^{-4}$.
Ответ: Равенства доказаны.
Подметили ли вы какую-то закономерность?
Да, можно заметить закономерность. Сравним полученные результаты, представив функции в виде степени с отрицательным показателем: $(x^{-2})' = -2x^{-3}$ $(x^{-3})' = -3x^{-4}$ В обоих случаях производная функции вида $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$. Коэффициент при производной равен показателю степени $n$ со знаком минус, а новый показатель степени на единицу меньше исходного (то есть $-n-1$). Эта закономерность является частным случаем общего правила дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$, где в качестве показателя $k$ выступает отрицательное целое число.
Ответ: Замечена закономерность, согласно которой производная функции $y = x^{-n}$ равна $y' = -nx^{-n-1}$.
Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$?
Используя подмеченную закономерность для функции $y = \frac{1}{x^5} = x^{-5}$, где $n=5$, можно предположить, что ее производная будет: $y' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6}$.
Ответ: Производная функции $y = \frac{1}{x^5}$ равна $-5x^{-6}$.
Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in \mathbb{N}$?
Чтобы найти производную функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого натурального $n$ (где $n \in \mathbb{N}$), снова воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u=1$ и $v=x^n$. Тогда $u' = 0$ и $v' = (x^n)' = nx^{n-1}$ (по правилу дифференцирования степенной функции для натуральных показателей). Подставляем в формулу: $(x^{-n})' = (\frac{1}{x^n})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot (nx^{n-1})}{(x^n)^2} = \frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}$.
Упростим полученное выражение, используя свойства степеней: $\frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{(n-1) - 2n} = -n \cdot x^{-n-1}$. Таким образом, мы доказали, что для любого натурального $n$ производная функции $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$.
Ответ: Производная функции $y = x^{-n}$ равна $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$.
№9 (с. 198)
Условие. №9 (с. 198)
скриншот условия

9. Чему равна производная функции:
а) $y = \tan x$;
б) $y = \cot x$;
в) $y = 2\tan x - 3\cot x$?
Решение 6. №9 (с. 198)
а) $y = \tg x$
Чтобы найти производную функции $y = \tg x$, можно представить тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом нахождения производной частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u = \sin x$ и $v = \cos x$. Найдем их производные:
$u' = (\sin x)' = \cos x$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$
Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\tg x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$
$y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательный результат:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
б) $y = \ctg x$
Аналогично предыдущему пункту, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Применим то же правило нахождения производной частного.
Здесь $u = \cos x$ и $v = \sin x$. Их производные:
$u' = (\cos x)' = -\sin x$
$v' = (\sin x)' = \cos x$
Подставляем в формулу:
$y' = (\ctg x)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$
$y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
в) $y = 2\tg x - 3\ctg x$
Для нахождения производной этой функции используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной.
$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$
$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
$y' = (2\tg x - 3\ctg x)' = (2\tg x)' - (3\ctg x)' = 2 \cdot (\tg x)' - 3 \cdot (\ctg x)'$
Из предыдущих пунктов нам уже известны производные тангенса и котангенса:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставим эти значения в наше выражение:
$y' = 2 \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$
$y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$
Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.