Страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

48.21 Известно, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$. Найдите точки экстремума функции $y = F(x)$, если:

а) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{x - 1}}$

б) $f(x) = (25x - x^3) \ln x$

в) $f(x) = \frac{3x - 6}{\sqrt[3]{2x + 4}}$

г) $f(x) = \frac{x^3 - 9x}{\sqrt[4]{2 - x}}$

По условию, функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$. Это означает, что производная функции $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Точки экстремума функции $F(x)$ – это точки из области определения функции $F(x)$, в которых ее производная $F'(x)$ (то есть $f(x)$) равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет свой знак. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Таким образом, чтобы найти точки экстремума функции $F(x)$, нужно:

1. Найти область определения функции $f(x)$, которая будет являться областью определения и для $F(x)$.
2. Найти критические точки функции $F(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$ и найдя точки, в которых $f(x)$ не существует.
3. Определить знаки функции $f(x)$ на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками.
4. Сделать вывод о наличии и характере экстремумов. Если в критической точке $x_0$ производная $F'(x)=f(x)$ меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ — точка максимума. Если с «−» на «+», то $x_0$ — точка минимума.

а) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{x - 1}}$

1. Область определения: знаме-натель не должен быть равен нулю и подкоренное выражение должно быть положительным. $x - 1 > 0 \implies x > 1$. Область определения $D(f) = (1; +\infty)$.

2. Критические точки: найдем точки, где $f(x) = 0$. $\frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{x - 1}} = 0$ $x^2 - 5x + 6 = 0$ Решая квадратное уравнение, получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Оба корня принадлежат области определения $(1; +\infty)$. Функция $f(x)$ не существует при $x \le 1$, но эти точки не являются внутренними для области определения. Таким образом, критические точки: $x=2$ и $x=3$.

3. Знаки производной: знаменатель $\sqrt{x-1}$ всегда положителен в области определения. Следовательно, знак $f(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (1; 2)$, $f(x) > 0$.
• При $x \in (2; 3)$, $f(x) < 0$.
• При $x \in (3; +\infty)$, $f(x) > 0$.

4. Выводы:

• В точке $x=2$ производная $F'(x)=f(x)$ меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=2$ — точка максимума.
• В точке $x=3$ производная $F'(x)=f(x)$ меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=3$ — точка минимума.

Ответ: $x_{max} = 2$, $x_{min} = 3$.

б) $f(x) = (25x - x^3) \ln x$

1. Область определения: из-за наличия $\ln x$, требуется $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Критические точки: $f(x) = 0$. $(25x - x^3) \ln x = 0$ $x(25 - x^2) \ln x = 0$ $x(5-x)(5+x) \ln x = 0$ Возможные корни: $x=0$, $x=5$, $x=-5$, $\ln x = 0 \implies x=1$. Учитывая область определения $x > 0$, получаем критические точки $x=1$ и $x=5$.

3. Знаки производной: на области определения $(0; +\infty)$ множители $x$ и $(5+x)$ всегда положительны. Знак $f(x)$ определяется знаком выражения $(5-x)\ln x$.

• При $x \in (0; 1)$: $5-x > 0$, $\ln x < 0$. Значит, $f(x) < 0$.
• При $x \in (1; 5)$: $5-x > 0$, $\ln x > 0$. Значит, $f(x) > 0$.
• При $x \in (5; +\infty)$: $5-x < 0$, $\ln x > 0$. Значит, $f(x) < 0$.

4. Выводы:

• В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=1$ — точка минимума.
• В точке $x=5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=5$ — точка максимума.

Ответ: $x_{min} = 1$, $x_{max} = 5$.

в) $f(x) = \frac{3x - 6}{\sqrt[3]{2x + 4}}$

1. Область определения: кубический корень определен для любых чисел, но знаменатель не может быть равен нулю. $2x + 4 \neq 0 \implies x \neq -2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Критические точки: $f(x) = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x = 2$. $f(x)$ не существует при $2x+4=0 \implies x=-2$. Критические точки: $x=-2$ и $x=2$.

3. Знаки производной: знак $f(x)$ зависит от знаков числителя $(3x-6)$ и знаменателя $\sqrt[3]{2x+4}$ (знак которого совпадает со знаком $2x+4$).

• При $x \in (-\infty; -2)$: числитель $3x-6 < 0$, знаменатель $2x+4 < 0$. $f(x) = \frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (-2; 2)$: числитель $3x-6 < 0$, знаменатель $2x+4 > 0$. $f(x) = \frac{-}{+} < 0$.
• При $x \in (2; +\infty)$: числитель $3x-6 > 0$, знаменатель $2x+4 > 0$. $f(x) = \frac{+}{+} > 0$.

4. Выводы:

• В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=-2$ — точка максимума.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=2$ — точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -2$, $x_{min} = 2$.

г) $f(x) = \frac{x^3 - 9x}{\sqrt[4]{2 - x}}$

1. Область определения: выражение под корнем четной степени в знаменателе должно быть строго положительным. $2 - x > 0 \implies x < 2$. $D(f) = (-\infty; 2)$.

2. Критические точки: $f(x) = 0$. $x^3 - 9x = 0$ $x(x^2-9) = 0$ $x(x-3)(x+3) = 0$ Корни: $x=0$, $x=3$, $x=-3$. Проверяем принадлежность области определения $(-\infty; 2)$: $x=0$ — принадлежит. $x=3$ — не принадлежит. $x=-3$ — принадлежит. Критические точки: $x=-3$ и $x=0$.

3. Знаки производной: знаменатель $\sqrt[4]{2-x}$ всегда положителен на области определения. Знак $f(x)$ совпадает со знаком числителя $x^3-9x = x(x-3)(x+3)$.

• При $x \in (-\infty; -3)$: $x<0$, $x-3<0$, $x+3<0$. $f(x)$ имеет знак $(-)(-)(-) = -$.
• При $x \in (-3; 0)$: $x<0$, $x-3<0$, $x+3>0$. $f(x)$ имеет знак $(-)(-)(+) = +$.
• При $x \in (0; 2)$: $x>0$, $x-3<0$, $x+3>0$. $f(x)$ имеет знак $(+)(-)(+) = -$.

4. Выводы:

• В точке $x=-3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=-3$ — точка минимума.
• В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=0$ — точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -3$, $x_{max} = 0$.

48.22 Известно, что функция $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$. Что больше — $F(a)$ или $F(b)$, если:

a) $f(x) = (2x - 10)\sqrt{x - 3}$, $a = 3,3$, $b = 4,1$;

б) $f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x - 4}$, $a = 15$, $b = 17?

Поскольку функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, то по определению $F'(x) = f(x)$. Характер монотонности функции $F(x)$ (возрастание или убывание) на некотором промежутке зависит от знака её производной $F'(x)$, то есть от знака функции $f(x)$ на этом промежутке.

• Если $f(x) > 0$ на промежутке, то функция $F(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если $f(x) < 0$ на промежутке, то функция $F(x)$ на этом промежутке убывает.

Чтобы сравнить значения $F(a)$ и $F(b)$, где $a < b$, мы определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$.

а) Дано: $f(x) = (2x - 10)\sqrt{x - 3}$, $a = 3,3$, $b = 4,1$.

Нам нужно сравнить $F(3,3)$ и $F(4,1)$. Для этого исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[3,3; 4,1]$.

Функция $f(x)$ является произведением двух множителей: $(2x - 10)$ и $\sqrt{x-3}$.

1. Определим знак множителя $\sqrt{x-3}$ на отрезке $[3,3; 4,1]$. Область определения этого выражения — $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Наш отрезок $[3,3; 4,1]$ полностью входит в эту область. Для любого $x$ из этого отрезка $x - 3 > 0$, следовательно, $\sqrt{x-3} > 0$.

2. Определим знак множителя $(2x - 10)$ на отрезке $[3,3; 4,1]$. Найдем корень уравнения $2x - 10 = 0$, откуда $x = 5$. Так как все значения $x$ из отрезка $[3,3; 4,1]$ меньше 5, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $2x - 10$ будет отрицательным. Например, при $x = 3,3$ имеем $2(3,3) - 10 = 6,6 - 10 = -3,4 < 0$. При $x = 4,1$ имеем $2(4,1) - 10 = 8,2 - 10 = -1,8 < 0$.

Итак, на отрезке $[3,3; 4,1]$ функция $f(x)$ является произведением отрицательного множителя $(2x - 10)$ и положительного множителя $\sqrt{x-3}$. Таким образом, $f(x) < 0$ на данном отрезке.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[3,3; 4,1]$, функция $F(x)$ убывает на этом отрезке. Для убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) > F(x_2)$.

Так как $a = 3,3 < 4,1 = b$, то $F(3,3) > F(4,1)$, то есть $F(a) > F(b)$.

Ответ: $F(a)$ больше, чем $F(b)$.

б) Дано: $f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x - 4}$, $a = 15$, $b = 17$.

Нам нужно сравнить $F(15)$ и $F(17)$. Для этого исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[15; 17]$.

Функция $f(x)$ является произведением двух множителей: $(3x + 60)$ и $\sqrt[3]{2x - 4}$.

1. Определим знак множителя $(3x + 60)$ на отрезке $[15; 17]$. Найдем корень уравнения $3x + 60 = 0$, откуда $x = -20$. Так как все значения $x$ из отрезка $[15; 17]$ больше $-20$, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $3x + 60$ будет положительным.

2. Определим знак множителя $\sqrt[3]{2x - 4}$ на отрезке $[15; 17]$. Знак кубического корня совпадает со знаком подкоренного выражения. Исследуем знак выражения $2x - 4$. Найдем корень уравнения $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$. Так как все значения $x$ из отрезка $[15; 17]$ больше 2, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $2x - 4$ будет положительным. Следовательно, и $\sqrt[3]{2x - 4}$ будет положительным.

Итак, на отрезке $[15; 17]$ функция $f(x)$ является произведением положительного множителя $(3x + 60)$ и положительного множителя $\sqrt[3]{2x - 4}$. Таким образом, $f(x) > 0$ на данном отрезке.

Поскольку $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[15; 17]$, функция $F(x)$ возрастает на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) < F(x_2)$.

Так как $a = 15 < 17 = b$, то $F(15) < F(17)$, то есть $F(a) < F(b)$.

Ответ: $F(b)$ больше, чем $F(a)$.

49.2 а) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.
Подставляем значения в формулу: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = (-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1

б) Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является функция $F(x) = \tan x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(-\frac{\pi}{4})$.
Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$, получаем: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

в) Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

г) Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является функция $F(x) = -\cot x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.
Зная, что $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем: $(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

49.3 a) $\int_0^1 e^x dx;$

б) $\int_{-1}^1 3e^x dx;$

в) $\int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^x dx;$

г) $\int_{-2}^1 -2e^x dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} e^x dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} 3e^x dx$. Сначала вынесем константу за знак интеграла:

$\int_{-1}^{1} 3e^x dx = 3 \int_{-1}^{1} e^x dx$.

Первообразная для $e^x$ — это $e^x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$3 \int_{-1}^{1} e^x dx = 3 [e^x]_{-1}^{1} = 3(e^1 - e^{-1})$.

Упростим выражение, учитывая, что $e^{-1} = \frac{1}{e}$:

$3(e^1 - e^{-1}) = 3(e - \frac{1}{e})$.

Ответ: $3(e - \frac{1}{e})$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx$. Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^x dx$.

Используя первообразную $F(x) = e^x$ и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\frac{1}{2} [e^x]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} (e^0 - e^{-1})$.

Так как $e^0 = 1$ и $e^{-1} = \frac{1}{e}$, результат равен:

$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} -2e^x dx$. Выносим константу -2:

$\int_{-2}^{1} -2e^x dx = -2 \int_{-2}^{1} e^x dx$.

Первообразная для $e^x$ есть $e^x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$-2 [e^x]_{-2}^{1} = -2(e^1 - e^{-2})$.

Упрощая выражение, получаем:

$-2(e - e^{-2}) = -2(e - \frac{1}{e^2})$.

Ответ: $-2(e - \frac{1}{e^2})$.

Вычислите определённый интеграл:

49.1 a) $\int_{-2/3}^{1} x^3 dx;$

б) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2};$

в) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

г) $\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}.$

а) Для вычисления интеграла $\int_{-2/3}^{1} x^3 dx$ используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^3$. По формуле для степенной функции, $F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^{4}}{4}$. Теперь подставим пределы интегрирования:
$\int_{-2/3}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-2/3}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-2/3)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16/81}{4} = \frac{1}{4} - \frac{4}{81}$.
Приводя к общему знаменателю $324$, получаем: $\frac{81}{324} - \frac{16}{324} = \frac{81 - 16}{324} = \frac{65}{324}$.
Ответ: $\frac{65}{324}$.

б) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}$ сначала преобразуем подынтегральную функцию в степенную: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
Первообразная для $f(x) = x^{-2}$ равна $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{3} x^{-2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Для интеграла $\int_{-1}^{2} x^4 dx$ найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$. Она равна $F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^{5}}{5}$.
Теперь вычислим определенный интеграл:
$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{32+1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$.

г) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
Первообразная для $f(x) = x^{-1/2}$ равна $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Вычислим определенный интеграл:
$\int_{4}^{9} x^{-1/2} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.
Ответ: $2$.

49.4 а) $\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1}dx;$

б) $\int_{-1}^{1} e^{2x + 1}dx;$

В) $\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1}dx;$

Г) $\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2}dx.$

а)Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1} dx$.
Для нахождения интеграла воспользуемся общей формулой для первообразной функции вида $e^{kx+b}$: $\int e^{kx+b}dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
В данном случае $k=0,5$ и $b=-1$. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = e^{0,5x - 1}$ равна $F(x) = \frac{1}{0,5}e^{0,5x - 1} = 2e^{0,5x - 1}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:
$\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1} dx = \left[ 2e^{0,5x - 1} \right]_{0}^{4} = 2e^{0,5 \cdot 4 - 1} - 2e^{0,5 \cdot 0 - 1} = 2e^{2 - 1} - 2e^{0 - 1} = 2e^{1} - 2e^{-1} = 2e - \frac{2}{e}$.
Ответ: $2e - 2e^{-1}$.

б)Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} dx$.
Первообразная для $f(x) = e^{2x + 1}$ находится по той же формуле, где $k=2$ и $b=1$. $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x + 1}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x + 1} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1 + 1} - \frac{1}{2}e^{2(-1) + 1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-2+1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{e^{3} - e^{-1}}{2}$.
Ответ: $\frac{e^{3} - e^{-1}}{2}$.

в)Вычислим определенный интеграл $\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1} dx$.
Здесь $k=0,25$ и $b=1$. Первообразная для $f(x) = e^{0,25x + 1}$ равна $F(x) = \frac{1}{0,25}e^{0,25x + 1} = 4e^{0,25x + 1}$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, находим:
$\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1} dx = \left[ 4e^{0,25x + 1} \right]_{-4}^{4} = 4e^{0,25 \cdot 4 + 1} - 4e^{0,25 \cdot (-4) + 1} = 4e^{1 + 1} - 4e^{-1 + 1} = 4e^{2} - 4e^{0} = 4e^{2} - 4 = 4(e^{2} - 1)$.
Ответ: $4(e^{2} - 1)$.

г)Вычислим определенный интеграл $\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2} dx$.
В этом случае $k=-2$ и $b=2$. Первообразная для $f(x) = e^{-2x + 2}$ есть $F(x) = \frac{1}{-2}e^{-2x + 2} = -\frac{1}{2}e^{-2x + 2}$.
Согласно формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2} dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x + 2} \right]_{-0,5}^{0} = \left(-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0 + 2}\right) - \left(-\frac{1}{2}e^{-2(-0,5) + 2}\right) = -\frac{1}{2}e^{2} - \left(-\frac{1}{2}e^{1 + 2}\right) = -\frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{2}e^{3} = \frac{e^{3} - e^{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{e^{3} - e^{2}}{2}$.