Страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 1. Cтраница 194

№48.15 (с. 194)
Условие. №48.15 (с. 194)
скриншот условия

48.15 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = \frac{6}{\sqrt{2t+1}}$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если $s(0) = 3$.
Решение 1. №48.15 (с. 194)

Решение 2. №48.15 (с. 194)

Решение 5. №48.15 (с. 194)

Решение 6. №48.15 (с. 194)
Закон движения точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости. Общий вид закона движения имеет вид:
$s(t) = \int v(t) dt + C$
Подставим данную нам функцию скорости в интеграл:
$s(t) = \int \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} dt$
Для вычисления интеграла вынесем константу за знак интеграла и представим знаменатель в виде степени:
$s(t) = 6 \int (2t + 1)^{-\frac{1}{2}} dt$
Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную $u = 2t + 1$. Тогда ее дифференциал будет $du = (2t + 1)' dt = 2 dt$, из чего следует, что $dt = \frac{du}{2}$.
Выполним подстановку в интеграл:
$s(t) = 6 \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} = 3 \int u^{-\frac{1}{2}} du$
Теперь найдем интеграл от степенной функции по формуле $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:
$s(t) = 3 \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 3 \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 6 u^{\frac{1}{2}} + C = 6\sqrt{u} + C$
Произведем обратную замену, подставив $u = 2t + 1$:
$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} + C$
Мы получили общий вид закона движения. Для нахождения константы $C$ воспользуемся начальным условием, данным в задаче: $s(0) = 3$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для $s(t)$:
$s(0) = 6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C = 6\sqrt{1} + C = 6 + C$
Так как $s(0) = 3$, мы можем составить уравнение:
$6 + C = 3$
$C = 3 - 6$
$C = -3$
Теперь подставим найденное значение $C$ в общее уравнение для закона движения, чтобы получить частное решение:
$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$
Ответ: $s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$
№48.18 (с. 194)
Условие. №48.18 (с. 194)
скриншот условия

48.18 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается оси $x$:
а) $f(x) = 2x + 3;$
б) $f(x) = 12(3x - 1)^3.$
Решение 1. №48.18 (с. 194)

Решение 2. №48.18 (с. 194)

Решение 5. №48.18 (с. 194)


Решение 6. №48.18 (с. 194)
а) Для функции $f(x) = 2x + 3$.
Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для заданной функции. Первообразная находится путем интегрирования:$F(x) = \int (2x + 3)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Условие, что график первообразной $y=F(x)$ касается оси $x$, означает, что существует точка с абсциссой $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:
1. График проходит через точку на оси $x$, то есть $F(x_0) = 0$.
2. Касательная к графику в этой точке горизонтальна (совпадает с осью $x$), то есть $F'(x_0) = 0$.
По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Поэтому второе условие можно записать как $f(x_0) = 0$. Решим это уравнение, чтобы найти абсциссу точки касания:$2x_0 + 3 = 0$$x_0 = -\frac{3}{2}$.
Теперь, используя первое условие $F(x_0) = 0$, найдем значение константы $C$:$F(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + C = 0$
$-\frac{9}{4} + C = 0$
$C = \frac{9}{4}$.
Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.
б) Для функции $f(x) = 12(3x - 1)^3$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$, вычислив интеграл:$F(x) = \int 12(3x - 1)^3 dx$.
Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$:
$F(x) = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} + C = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^4}{12} + C = (3x - 1)^4 + C$.
Как и в предыдущем пункте, условие касания оси $x$ в точке $x_0$ означает, что $F(x_0) = 0$ и $F'(x_0) = f(x_0) = 0$.
Найдем абсциссу точки касания из уравнения $f(x_0) = 0$:
$12(3x_0 - 1)^3 = 0$
$3x_0 - 1 = 0$
$x_0 = \frac{1}{3}$.
Теперь из условия $F(x_0) = 0$ найдем константу $C$:
$F(\frac{1}{3}) = (3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^4 + C = 0$
$(1 - 1)^4 + C = 0$
$0 + C = 0 \implies C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная, график которой касается оси $x$, имеет вид $F(x) = (3x-1)^4$.
Ответ: $F(x) = (3x - 1)^4$.
№48.13 (с. 194)
Условие. №48.13 (с. 194)
скриншот условия

48.13 Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой $v = 1 + 2t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась числу $5$.
Решение 1. №48.13 (с. 194)

Решение 2. №48.13 (с. 194)

Решение 5. №48.13 (с. 194)

Решение 6. №48.13 (с. 194)
Закон движения точки, который описывается функцией координаты $x(t)$, является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости по времени $t$.
По условию, скорость точки задана формулой: $v(t) = 1 + 2t$.
Найдем первообразную для функции скорости, чтобы получить общий вид закона движения:
$x(t) = \int v(t) dt = \int (1 + 2t) dt$
Применяя правила интегрирования, получаем:
$\int (1 + 2t) dt = \int 1 dt + \int 2t dt = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$.
Таким образом, общий вид закона движения имеет вид: $x(t) = t^2 + t + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся дополнительным условием из задачи: в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась $5$. Это можно записать как $x(2) = 5$. Подставим эти значения в полученное уравнение:
$x(2) = 2^2 + 2 + C = 5$
$4 + 2 + C = 5$
$6 + C = 5$
Отсюда находим значение константы $C$:
$C = 5 - 6 = -1$.
Теперь, подставив найденное значение $C = -1$ в общий вид закона движения, получаем искомый закон движения точки:
$x(t) = t^2 + t - 1$.
Ответ: $x(t) = t^2 + t - 1$.
№48.16 (с. 194)
Условие. №48.16 (с. 194)
скриншот условия

48.16 Ускорение движения точки по координатной прямой задано формулой $a(t) = 2(t + 1)^2$, $t$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $v = v(t)$ и закон движения $s = s(t)$, если $v(0) = 1$, $s(0) = 1$.
Решение 1. №48.16 (с. 194)

Решение 2. №48.16 (с. 194)

Решение 5. №48.16 (с. 194)

Решение 6. №48.16 (с. 194)
Найдите закон изменения скорости $v=v(t)$
Скорость $v(t)$ является первообразной для функции ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) dt$.
Нам дана функция ускорения $a(t) = 2(t + 1)^2$. Найдем ее интеграл:
$v(t) = \int 2(t + 1)^2 dt$
Для вычисления интеграла вынесем константу 2 за знак интеграла и используем метод подстановки, где $u = t+1$ и $du = dt$. Или, что эквивалентно, внесем под знак дифференциала $(t+1)$:
$v(t) = 2 \int (t + 1)^2 d(t+1) = 2 \cdot \frac{(t+1)^3}{3} + C_1 = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C_1$
где $C_1$ — константа интегрирования.
Чтобы найти значение $C_1$, используем начальное условие $v(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для скорости:
$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C_1 = 1$
$\frac{2}{3} \cdot 1^3 + C_1 = 1$
$\frac{2}{3} + C_1 = 1$
$C_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Подставим найденное значение $C_1$ в формулу для скорости, чтобы получить закон изменения скорости:
$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$
Ответ: $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$
Найдите закон движения $s = s(t)$
Закон движения $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, то есть $s(t) = \int v(t) dt$.
Используем найденную на предыдущем шаге функцию скорости $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$. Найдем ее интеграл:
$s(t) = \int \left( \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3} \right) dt = \int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt + \int \frac{1}{3} dt$
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
$\int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt = \frac{2}{3} \int (t+1)^3 d(t+1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t+1)^4}{4} = \frac{1}{6}(t+1)^4$
$\int \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3}t$
Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования $C_2$, получаем:
$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + C_2$
Чтобы найти значение $C_2$, используем начальное условие $s(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для закона движения:
$s(0) = \frac{1}{6}(0 + 1)^4 + \frac{1}{3} \cdot 0 + C_2 = 1$
$\frac{1}{6} \cdot 1^4 + 0 + C_2 = 1$
$\frac{1}{6} + C_2 = 1$
$C_2 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Подставим найденное значение $C_2$ в формулу для закона движения:
$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$
Ответ: $s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$
№48.19 (с. 194)
Условие. №48.19 (с. 194)
скриншот условия

48.19 Некоторая первообразная функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$ принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x = \frac{\pi}{6}$?
Решение 1. №48.19 (с. 194)

Решение 2. №48.19 (с. 194)

Решение 5. №48.19 (с. 194)

Решение 6. №48.19 (с. 194)
Пусть $F(x)$ – первообразная для функции $y = 3\cos{3x} + 6\sin{6x}$. Для нахождения общего вида первообразной необходимо проинтегрировать заданную функцию $y(x)$.
$F(x) = \int (3\cos{3x} + 6\sin{6x}) dx = \int 3\cos{3x} dx + \int 6\sin{6x} dx$
Используем стандартные правила интегрирования: $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + 6 \cdot (-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = \sin(3x) - \cos(6x) + C$, где $C$ – константа интегрирования.
По условию задачи известно, что значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 6. Это можно записать как $F(\frac{\pi}{2}) = 6$. Используем это условие для нахождения константы $C$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{\pi}{2}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \cos(3\pi) + C$
Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(3\pi) = -1$.
Подставим эти значения в уравнение: $-1 - (-1) + C = 6$ $-1 + 1 + C = 6$ $C = 6$
Таким образом, мы нашли конкретную первообразную, которая удовлетворяет условию задачи: $F(x) = \sin(3x) - \cos(6x) + 6$
Теперь нам нужно найти значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в найденное выражение для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6 = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) + 6$
Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\pi) = -1$.
Подставим эти значения: $F(\frac{\pi}{6}) = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$
Ответ: 8
№48.14 (с. 194)
Условие. №48.14 (с. 194)
скриншот условия

48.14 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = -4\sin 3t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 0$ координата точки равнялась числу 2.
Решение 1. №48.14 (с. 194)

Решение 2. №48.14 (с. 194)

Решение 5. №48.14 (с. 194)

Решение 6. №48.14 (с. 194)
По определению, скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$. Следовательно, чтобы найти закон движения $x(t)$, нужно найти первообразную для функции скорости, то есть вычислить интеграл.
Закон движения $x(t)$ находится по формуле:
$x(t) = \int v(t) dt$
Подставим данную нам функцию скорости $v = -4\sin3t$:
$x(t) = \int (-4\sin3t) dt$
Вынесем константу за знак интеграла и вычислим его:
$x(t) = -4 \int \sin(3t) dt = -4 \left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right) + C = \frac{4}{3}\cos(3t) + C$
Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для ее нахождения воспользуемся начальным условием, которое дано в задаче: в момент времени $t = 0$ координата точки $x(0)$ равнялась 2.
Подставим $t = 0$ и $x(0) = 2$ в полученное уравнение:
$2 = \frac{4}{3}\cos(3 \cdot 0) + C$
Так как $\cos(0) = 1$, уравнение принимает вид:
$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + C$
$2 = \frac{4}{3} + C$
Отсюда находим $C$:
$C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $x(t)$, чтобы получить окончательный закон движения точки:
$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$
Ответ: $x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$.
№48.17 (с. 194)
Условие. №48.17 (с. 194)
скриншот условия

48.17 Для функции $y = g(x)$ найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $M$:
а) $g(x) = 8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 3\right)$;
б) $g(x) = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 16\right)$;
в) $g(x) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$, $M(0; 7)$;
г) $g(x) = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 15\right)$.
Решение 1. №48.17 (с. 194)

Решение 2. №48.17 (с. 194)


Решение 5. №48.17 (с. 194)



Решение 6. №48.17 (с. 194)
а)
Для нахождения первообразной функции $g(x)$, график которой проходит через заданную точку $M$, необходимо выполнить два шага: найти общую первообразную и затем определить константу интегрирования, используя координаты точки $M$.
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.
$g(x) = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 4 \cdot (2 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = 4 \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 4 \sin x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int g(x) \,dx = \int 4 \sin x \,dx = 4 \int \sin x \,dx = -4 \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 3)$, что означает $G(\frac{\pi}{2}) = 3$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $G(x) = 3$ в выражение для первообразной:
$3 = -4 \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$3 = -4 \cdot 0 + C \implies C = 3$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = -4 \cos x + 3$.
Ответ: $y = -4 \cos x + 3$.
б)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2 \cos^2\alpha - 1$.
$g(x) = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 16)$, то есть $G(\frac{\pi}{2}) = 16$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$16 = \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$16 = 1 + C \implies C = 15$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 15$.
Ответ: $y = \sin x + 15$.
в)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$g(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(0; 7)$, то есть $G(0) = 7$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$7 = \sin(0) + C$.
Так как $\sin(0) = 0$, получаем:
$7 = 0 + C \implies C = 7$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 7$.
Ответ: $y = \sin x + 7$.
г)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2\alpha$.
$g(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 15)$, то есть $G(\frac{\pi}{2}) = 15$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$15 = \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$15 = 1 + C \implies C = 14$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 14$.
Ответ: $y = \sin x + 14$.
№48.20 (с. 194)
Условие. №48.20 (с. 194)
скриншот условия

48.20 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:
a) $f(x) = 2x$, $y = x + 2$;
б) $f(x) = 3x^3$, $y = 3x + 4,75$.
Решение 1. №48.20 (с. 194)

Решение 2. №48.20 (с. 194)


Решение 5. №48.20 (с. 194)


Решение 6. №48.20 (с. 194)
а)
Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x$, график которой касается прямой $y = x + 2$.
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования: $F(x) = \int f(x)dx = \int 2x dx = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Условие касания графика функции $y=F(x)$ и прямой $y=kx+m$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в одновременном выполнении двух условий:
- Равенство значений функций в точке касания: $F(x_0) = kx_0 + m$.
- Равенство производных в точке касания (равенство угловых коэффициентов касательной и прямой): $F'(x_0) = k$.
3. Для данной прямой $y = x + 2$ угловой коэффициент $k=1$. Производная первообразной по определению равна исходной функции: $F'(x) = f(x) = 2x$. Используя второе условие, найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 1 \implies 2x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{2}$.
4. Теперь используем первое условие в точке $x_0 = \frac{1}{2}$, чтобы найти константу $C$: $F(\frac{1}{2}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2$
Подставляем выражение для $F(x)$: $(\frac{1}{2})^2 + C = \frac{1}{2} + 2$
$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{2}$
$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
5. Подставив найденное значение $C$ в общее выражение для первообразной, получаем искомую функцию: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.
Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.
б)
Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^3$, график которой касается прямой $y = 3x + 4,75$.
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^3$: $F(x) = \int 3x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Применим условия касания в точке $x_0$: $F(x_0) = kx_0 + m$ и $F'(x_0) = k$. Для прямой $y = 3x + 4,75$ угловой коэффициент $k=3$. Производная первообразной: $F'(x) = f(x) = 3x^3$.
3. Из условия равенства производных найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 3 \implies 3x_0^3 = 3$
$x_0^3 = 1 \implies x_0 = 1$.
4. Теперь из условия равенства значений функций в точке $x_0=1$ найдем константу $C$: $F(1) = 3 \cdot 1 + 4,75$
Подставляем выражение для $F(x)$: $\frac{3}{4}(1)^4 + C = 3 + 4,75$
$\frac{3}{4} + C = 7,75$
Так как $\frac{3}{4} = 0,75$, получаем: $0,75 + C = 7,75$
$C = 7,75 - 0,75 = 7$.
5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.