Страница 199, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

49.20 a) $y = \sqrt{x}, y = -2\sqrt{x}, x = 4;$

б) $y = 2\sqrt{x}, y = -\sqrt{x}, x = 9.$

a)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, используется определенный интеграл. Фигура ограничена сверху графиком функции $y_1 = \sqrt{x}$ и снизу графиком функции $y_2 = -2\sqrt{x}$. Область интегрирования по оси $x$ определяется точкой пересечения этих кривых и вертикальной линией $x=4$.

1. Найдем точку пересечения кривых, чтобы определить левую границу интегрирования:
$\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$
$3\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2. Правая граница интегрирования задана условием: $x = 4$.

3. Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:
$S = \int_{0}^{4} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - (-2\sqrt{x})) dx = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) dx = \int_{0}^{4} 3\sqrt{x} dx$.

4. Вычислим интеграл. Для этого найдем первообразную функции $f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$.
$\int 3x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$.

5. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ 2x^{3/2} \right]_{0}^{4} = 2 \cdot 4^{3/2} - 2 \cdot 0^{3/2} = 2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: $16$.

б)

Аналогично, вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями $y_1 = 2\sqrt{x}$, $y_2 = -\sqrt{x}$ и $x=9$. Фигура ограничена сверху функцией $y_1 = 2\sqrt{x}$ и снизу функцией $y_2 = -\sqrt{x}$.

1. Найдем левую границу интегрирования из условия пересечения кривых:
$2\sqrt{x} = -\sqrt{x}$
$3\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2. Правая граница интегрирования задана линией $x = 9$.

3. Площадь $S$ фигуры равна:
$S = \int_{0}^{9} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{9} 3\sqrt{x} dx$.

4. Используем первообразную, найденную в предыдущем пункте: $F(x) = 2x^{3/2}$.

5. Вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ 2x^{3/2} \right]_{0}^{9} = 2 \cdot 9^{3/2} - 2 \cdot 0^{3/2} = 2 \cdot (\sqrt{9})^3 - 0 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: $54$.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

49.23 a) $y = 1 - x^2$, $y = -x - 1$;

б) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = x - 1$;

в) $y = x^2 - 1$, $y = 2x + 2$;

г) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 3 - x$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, используется формула $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков, и на интервале $(a, b)$ выполняется неравенство $f(x) \ge g(x)$.

Даны функции $y = 1 - x^2$ и $y = -x - 1$.

1. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $1 - x^2 = -x - 1$.

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования $a = -1$, $b = 2$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

$y_1(0) = 1 - 0^2 = 1$

$y_2(0) = -0 - 1 = -1$

Так как $1 > -1$, то на интервале $(-1, 2)$ график функции $y = 1 - x^2$ расположен выше графика функции $y = -x - 1$.

3. Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

$S = \int_{-1}^{2} ((1 - x^2) - (-x - 1)) dx = \int_{-1}^{2} (1 - x^2 + x + 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \bigg|_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{5}{6} - 2 \right) = \frac{18-8}{3} - \frac{5-12}{6} = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4,5

Даны функции $y = x^2 - 3x + 2$ и $y = x - 1$.

1. Найдем пределы интегрирования: $x^2 - 3x + 2 = x - 1$.

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = 1$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 3)$. Возьмем $x = 2$:

$y_1(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$y_2(2) = 2 - 1 = 1$

Так как $1 > 0$, то на интервале $(1, 3)$ график $y = x - 1$ выше графика $y = x^2 - 3x + 2$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right) \bigg|_{1}^{3} = \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \bigg|_{1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

Даны функции $y = x^2 - 1$ и $y = 2x + 2$.

1. Найдем пределы интегрирования: $x^2 - 1 = 2x + 2$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = -1$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 3)$. Возьмем $x = 0$:

$y_1(0) = 0^2 - 1 = -1$

$y_2(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Так как $2 > -1$, то на интервале $(-1, 3)$ график $y = 2x + 2$ выше графика $y = x^2 - 1$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{3} ((2x + 2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \bigg|_{-1}^{3} = \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \bigg|_{-1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$

$S = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

Даны функции $y = -x^2 + 2x + 3$ и $y = 3 - x$.

1. Найдем пределы интегрирования: $-x^2 + 2x + 3 = 3 - x$.

$-x^2 + 3x = 0$

$-x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = 0$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем $x = 1$:

$y_1(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

$y_2(1) = 3 - 1 = 2$

Так как $4 > 2$, то на интервале $(0, 3)$ график $y = -x^2 + 2x + 3$ выше графика $y = 3 - x$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{3} ((-x^2 + 2x + 3) - (3 - x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - 0$

$S = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18+27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4,5

49.26 a) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$;

б) $y = x^2$, $y = 2 - |x|$.

а)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$, необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти точки пересечения.
Обе функции, $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$, являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси $Oy$. Поэтому мы можем найти точки пересечения для $x \ge 0$ и использовать симметрию.
При $x \ge 0$, уравнение $y = 1 + |x|$ принимает вид $y = 1 + x$.
Приравняем функции, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $3 - x^2 = 1 + x$ $x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Таким образом, фигура ограничена по оси $x$ на интервале $[-1, 1]$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале $[-1, 1]$.
Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$. Для $y = 3 - x^2$, при $x=0$, $y = 3 - 0^2 = 3$. Для $y = 1 + |x|$, при $x=0$, $y = 1 + |0| = 1$. Поскольку $3 > 1$, график параболы $y = 3 - x^2$ лежит выше графика $y = 1 + |x|$ на всем интервале $[-1, 1]$.

3. Вычислить площадь.
Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по интервалу, на котором они ограничивают фигуру: $S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$.
Так как подынтегральная функция является четной, мы можем вычислить интеграл на отрезке $[0, 1]$ и умножить результат на 2. На этом отрезке $|x|=x$. $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$
Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (0) \right)$ $S = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S = \frac{7}{3}$ кв. ед.

б)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$, выполним аналогичные действия.

1. Найти точки пересечения.
Обе функции, $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$, являются четными, следовательно, их графики симметричны относительно оси $Oy$. Найдем точки пересечения для $x \ge 0$, где $|x| = x$.
Приравняем функции: $x^2 = 2 - x$ $x^2 + x - 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Для $x \ge 0$ подходит корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Интервал интегрирования: $[-1, 1]$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале $[-1, 1]$.
Возьмем пробную точку $x = 0$. Для $y = x^2$, при $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Для $y = 2 - |x|$, при $x=0$, $y = 2 - |0| = 2$. Поскольку $2 > 0$, график $y = 2 - |x|$ лежит выше графика параболы $y = x^2$ на интервале $[-1, 1]$.

3. Вычислить площадь.
Площадь $S$ фигуры: $S = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$.
Подынтегральная функция является четной, поэтому воспользуемся свойством симметрии. На отрезке $[0, 1]$ имеем $|x|=x$. $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$
Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$ $S = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S = \frac{7}{3}$ кв. ед.

49.29 a) $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx;$

б) $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx.$

а)

Данный интеграл $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Определенный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования.

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Область определения этой функции: $4x - x^2 \ge 0$, или $x(4-x) \ge 0$, что выполняется для $x \in [0, 4]$. Это совпадает с пределами интегрирования.

Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4x - x^2}$, где $y \ge 0$:

$y^2 = 4x - x^2$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Так как $y = \sqrt{4x - x^2} \ge 0$, мы имеем дело с верхней половиной этой окружности. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, интеграл равен площади полукруга радиуса 2.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этого полукруга.

Ответ: $2\pi$

б)

Рассмотрим интеграл $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx$. Аналогично пункту а), воспользуемся геометрическим смыслом интеграла.

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$. Область определения: $-x^2 - 2x \ge 0$, или $x^2 + 2x \le 0$, или $x(x+2) \le 0$. Это неравенство выполняется для $x \in [-2, 0]$. Пределы интегрирования $[-1, 0]$ входят в область определения.

Преобразуем уравнение $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$, где $y \ge 0$:

$y^2 = -x^2 - 2x$

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю половину окружности. Пределы интегрирования от $x=-1$ до $x=0$. Это соответствует отрезку от центра окружности до ее правой точки пересечения с осью Ox. Таким образом, интеграл равен площади четверти круга радиуса 1.

Площадь круга с радиусом $R=1$ равна $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (1)^2 = \pi$.

Площадь искомой фигуры составляет четверть от площади всего круга:

$S_{четверти круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этой четверти круга.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

49.21 а) $x = 1, y = e^x, y = e^{-x}$;

б) $y = \frac{1}{e^x}, y = 1, x = -1$;

В) $y = e^x, x = 2, x + 2y = 2$;

Г) $y = e^x, y = -e^x, x = 2, x = 0$.

а) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $x = 1$, $y = e^x$ и $y = e^{-x}$, сначала определим границы области. Кривые $y = e^x$ и $y = e^{-x}$ пересекаются в точке, где $e^x = e^{-x}$, что эквивалентно $x = -x$, то есть $x = 0$. Таким образом, область интегрирования по оси $x$ будет от $0$ до $1$.

В интервале $[0, 1]$ необходимо определить, какая из функций является верхней, а какая — нижней границей фигуры. Сравним значения функций: для любого $x > 0$ справедливо неравенство $e^x > 1$ и $0 < e^{-x} < 1$, следовательно $e^x > e^{-x}$. Значит, кривая $y = e^x$ является верхней границей, а $y = e^{-x}$ — нижней.

Площадь $S$ фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \,dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ e^x - (-e^{-x}) \right]_{0}^{1} = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1} = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0) = (e + \frac{1}{e}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$.

Ответ: $e + \frac{1}{e} - 2$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$ и $x = -1$. Запишем первую функцию как $y = e^{-x}$.

Найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования. Кривые $y = e^{-x}$ и $y = 1$ пересекаются, когда $e^{-x} = 1$, что означает $-x = 0$, то есть $x = 0$. Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 0$.

В интервале $[-1, 0]$ сравним значения функций. Для $x < 0$, имеем $-x > 0$, поэтому $e^{-x} > e^0 = 1$. Следовательно, верхняя граница фигуры — это кривая $y = e^{-x}$, а нижняя — прямая $y = 1$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности этих функций:

$S = \int_{-1}^{0} (e^{-x} - 1) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -e^{-x} - x \right]_{-1}^{0} = (-e^{-0} - 0) - (-e^{-(-1)} - (-1)) = (-1 - 0) - (-e^1 + 1) = -1 + e - 1 = e - 2$.

Ответ: $e - 2$.

в) Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $x = 2$ и $x + 2y = 2$. Выразим $y$ из последнего уравнения: $2y = 2 - x \implies y = 1 - \frac{x}{2}$.

Найдем пределы интегрирования. Одна из границ задана явно: $x = 2$. Найдем другую границу, решив уравнение $e^x = 1 - \frac{x}{2}$ для нахождения точки пересечения. Легко заметить, что $x=0$ является решением: $e^0 = 1$ и $1 - \frac{0}{2} = 1$. Чтобы убедиться, что это единственное решение, рассмотрим функцию $f(x) = e^x + \frac{x}{2} - 1$. Ее производная $f'(x) = e^x + \frac{1}{2}$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ строго возрастает и может иметь не более одного корня. Итак, пределы интегрирования — от $x = 0$ до $x = 2$.

В интервале $[0, 2]$ сравним функции. Для $x > 0$, $e^x > 1$. Прямая $y = 1 - x/2$ убывает. Очевидно, что $e^x > 1 - x/2$ на данном интервале. Таким образом, $y=e^x$ — верхняя граница, $y = 1 - \frac{x}{2}$ — нижняя.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{2} \left( e^x - \left(1 - \frac{x}{2}\right) \right) \,dx = \int_{0}^{2} (e^x - 1 + \frac{x}{2}) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ e^x - x + \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{2} = \left( e^2 - 2 + \frac{2^2}{4} \right) - (e^0 - 0 + 0) = (e^2 - 2 + 1) - 1 = e^2 - 1 - 1 = e^2 - 2$.

Ответ: $e^2 - 2$.

г) Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $y = -e^x$, $x = 2$ и $x = 0$.

Пределы интегрирования заданы явно: от $x = 0$ до $x = 2$.

Для любого действительного $x$, значение $e^x$ всегда положительно. Следовательно, $e^x > -e^x$ для всех $x$ в интервале $[0, 2]$. Это означает, что кривая $y = e^x$ является верхней границей фигуры, а кривая $y = -e^x$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2} (e^x - (-e^x)) \,dx = \int_{0}^{2} 2e^x \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2e^x \right]_{0}^{2} = 2e^2 - 2e^0 = 2e^2 - 2(1) = 2e^2 - 2 = 2(e^2 - 1)$.

Ответ: $2(e^2 - 1)$.

49.24 a) $y = x^2 - 4x$, $y = -(x - 4)^2$;

б) $y = x^2 + 2x - 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -(x - 4)^2$ необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x = -(x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x = -(x^2 - 8x + 16)$

$x^2 - 4x = -x^2 + 8x - 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 - 4x + x^2 - 8x + 16 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

Таким образом, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Используем первое уравнение $y = x^2 - 4x$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Первая точка пересечения: $(2, -4)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Вторая точка пересечения: $(4, 0)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(4, 0)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = -x^2 + 2x + 5$ приравняем их правые части:

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 + 2x - 3 + x^2 - 2x - 5 = 0$

$(x^2 + x^2) + (2x - 2x) + (-3 - 5) = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Используем второе уравнение $y = -x^2 + 2x + 5$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = -(2^2) + 2 \cdot 2 + 5 = -4 + 4 + 5 = 5$

Первая точка пересечения: $(2, 5)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -(-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 5 = -4 - 4 + 5 = -3$

Вторая точка пересечения: $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -3)$.

49.27 Вычислите:

a) $ \int_{-3}^{6} f(x) dx $, где $ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2 \\ 6 - x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

б) $ \int_{1}^{2} f(x) dx $, где $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ x^3, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{-3}^{6} f(x) dx $, где функция $ f(x) $ задана кусочно:

$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2 \\ 6-x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Интервал интегрирования $ [-3, 6] $ включает в себя точку $ x=2 $, в которой меняется аналитическое выражение функции. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем разбить исходный интеграл на сумму двух интегралов по отрезкам $ [-3, 2] $ и $ [2, 6] $:

$ \int_{-3}^{6} f(x) dx = \int_{-3}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{6} f(x) dx $

На интервале $ [-3, 2] $ функция $ f(x) $ равна $ x^2 $. На интервале $ [2, 6] $ функция $ f(x) $ равна $ 6-x $. Подставим эти выражения в интегралы:

$ \int_{-3}^{6} f(x) dx = \int_{-3}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{6} (6-x) dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} g(x) dx = G(b) - G(a) $, где $ G(x) $ — первообразная для $ g(x) $.

Первый интеграл:

$ \int_{-3}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-27}{3} = \frac{8}{3} + \frac{27}{3} = \frac{35}{3} $

Второй интеграл:

$ \int_{2}^{6} (6-x) dx = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{6} = \left(6 \cdot 6 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(6 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) = (36 - 18) - (12 - 2) = 18 - 10 = 8 $

Теперь сложим результаты:

$ \frac{35}{3} + 8 = \frac{35}{3} + \frac{24}{3} = \frac{59}{3} $

Ответ: $ \frac{59}{3} $.

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx $, где функция $ f(x) $ задана кусочно:

$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ x^3, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

Точка $ x=1 $, в которой меняется определение функции, лежит внутри интервала интегрирования $ [\frac{1}{4}, 2] $. Разобьем интеграл на два, используя свойство аддитивности:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx $

На интервале $ [\frac{1}{4}, 1] $ функция $ f(x) $ равна $ \frac{1}{\sqrt{x}} $. На интервале $ [1, 2] $ функция $ f(x) $ равна $ x^3 $. Подставим эти выражения:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{2} x^3 dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла представим подынтегральную функцию в виде $ x^{-1/2} $:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{-1/2} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \left. \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 $

Второй интеграл:

$ \int_{1}^{2} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $

Суммируем полученные значения:

$ 1 + \frac{15}{4} = \frac{4}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{4} $

Ответ: $ \frac{19}{4} $.

49.22 a) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3;$

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5;$

В) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4;$

Г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e.$

а)

Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $x=2$, $x=3$. На отрезке $[2, 3]$ функция $y = e^x$ принимает большие значения, чем функция $y = \frac{1}{x}$ (например, при $x=2$, $e^2 \approx 7.39 > \frac{1}{2}=0.5$). Следовательно, $e^x \ge \frac{1}{x}$ на данном отрезке. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_2^3 \left( e^x - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ e^x - \ln(x) \right]_2^3 = (e^3 - \ln(3)) - (e^2 - \ln(2)) = e^3 - e^2 - \ln(3) + \ln(2) = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$

Ответ: $S = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$ и $x = 5$. Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$: $\frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$. Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=1$. На отрезке $[1, 5]$ выполняется неравенство $1 \ge \frac{1}{x}$, так как для $x \ge 1$ знаменатель $x$ больше или равен 1. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^5 \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \ln(x) \right]_1^5 = (5 - \ln(5)) - (1 - \ln(1)) = 5 - \ln(5) - 1 + 0 = 4 - \ln(5)$

Ответ: $S = 4 - \ln(5)$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = 4$. Найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{x} \implies x^{3/2} = 1 \implies x=1$. На отрезке $[1, 4]$ выполняется неравенство $\sqrt{x} \ge \frac{1}{x}$. Например, при $x=4$, $\sqrt{4} = 2 > \frac{1}{4}=0.25$. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^4 \left( \sqrt{x} - \frac{1}{x} \right) dx = \int_1^4 \left( x^{1/2} - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \ln(x) \right]_1^4 = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \ln(x) \right]_1^4 = \left(\frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \ln(4)\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} - \ln(1)\right) = \left(\frac{16}{3} - \ln(4)\right) - \left(\frac{2}{3} - 0\right) = \frac{14}{3} - \ln(4)$

Ответ: $S = \frac{14}{3} - \ln(4)$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$ и $x = e$. Найдем точку пересечения графиков $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -1$: $-\frac{1}{x} = -1 \implies x=1$. На отрезке $[1, e]$ выполняется неравенство $-\frac{1}{x} \ge -1$. Например, при $x=e$, $-\frac{1}{e} \approx -0.37 > -1$. Таким образом, верхняя граница фигуры — $y = -\frac{1}{x}$, а нижняя — $y = -1$. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^e \left( -\frac{1}{x} - (-1) \right) dx = \int_1^e \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \ln(x) \right]_1^e = (e - \ln(e)) - (1 - \ln(1)) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$

Ответ: $S = e - 2$.

49.25 a) $y = x^2 - 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 - x)$;

б) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x - 5$.

а)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 6x + 9$ и $y = (x + 1)(3 - x)$ необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ и $x$ у обеих функций совпадают.

Сначала раскроем скобки во втором уравнении:

$y = (x + 1)(3 - x) = 3x - x^2 + 3 - x = -x^2 + 2x + 3$

Теперь приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 6x + 9 = -x^2 + 2x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 2x - 3 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Теперь, чтобы найти ординаты (координаты $y$) точек пересечения, подставим полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение в виде полного квадрата: $y = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(1, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(3, 0)$.

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 6x - 5$ приравняем их правые части:

$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 + x^2 - 6x + 5 = 0$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные значения $x$ в первое уравнение $y = x^2 - 4x + 3$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

Вторая точка пересечения: $(4, 3)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(4, 3)$.

4 Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:

49.28 a) $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx$;

б) $\int_{-5}^{0} \sqrt{25 - x^2} dx$.

а)

Данный интеграл $ \int_0^4 \sqrt{16 - x^2} dx $ с геометрической точки зрения представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sqrt{16 - x^2} $, осью абсцисс $ Ox $, и прямыми $ x=0 $ и $ x=4 $.

Рассмотрим уравнение кривой $ y = \sqrt{16 - x^2} $. Поскольку по определению арифметического квадратного корня $ y \ge 0 $, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат: $ y^2 = 16 - x^2 $. Перенеся $ x^2 $ в левую часть, получим каноническое уравнение окружности: $ x^2 + y^2 = 16 $.

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат $ (0, 0) $ и радиусом $ R = \sqrt{16} = 4 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем только верхнюю полуокружность.

Пределы интегрирования от $ x=0 $ до $ x=4 $ соответствуют части этой полуокружности, которая находится в первой координатной четверти. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиусом 4.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $ S_{круга} = \pi R^2 $. Следовательно, площадь четверти круга равна:
$ S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (4)^2 = \frac{16\pi}{4} = 4\pi $.

Ответ: $4\pi$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, интеграл $ \int_{-5}^0 \sqrt{25 - x^2} dx $ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sqrt{25 - x^2} $, осью $ Ox $ и прямыми $ x=-5 $ и $ x=0 $.

Функция $ y = \sqrt{25 - x^2} $ задает верхнюю половину ($y \ge 0$) окружности. Возведем в квадрат обе части: $ y^2 = 25 - x^2 $, что эквивалентно $ x^2 + y^2 = 25 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0, 0) $ и радиусом $ R = \sqrt{25} = 5 $.

Пределы интегрирования от $ x=-5 $ до $ x=0 $ означают, что мы ищем площадь части верхней полуокружности, расположенной во второй координатной четверти. Эта фигура также является четвертью круга, но с радиусом $R=5$.

Вычислим площадь этой четверти круга:
$ S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (5)^2 = \frac{25\pi}{4} $.

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$.