Страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

50.1 Ученик выписал из дневника свои отметки за март:

4, 4, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 3, 3.

a) Составьте сгруппированный ряд этих данных.

б) Чему равна мода этого измерения и какова её кратность?

в) Выпишите таблицу распределения данных.

г) Найдите среднее значение отметок за март.

а) Составьте сгруппированный ряд этих данных.

Чтобы составить сгруппированный (упорядоченный) ряд данных, необходимо расположить все имеющиеся отметки в порядке возрастания. Исходный ряд отметок: 4, 4, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 3, 3. Всего в ряду 20 отметок. Подсчитаем частоту каждой отметки: «2» встречается 2 раза, «3» – 5 раз, «4» – 9 раз, «5» – 4 раза. Упорядоченный ряд будет выглядеть так:

2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

б) Чему равна мода этого измерения и какова её кратность?

Мода – это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Кратность моды – это число, показывающее, сколько раз это значение повторяется. В данном ряду отметок кратности распределены следующим образом:

• отметка «2» имеет кратность 2;
• отметка «3» имеет кратность 5;
• отметка «4» имеет кратность 9;
• отметка «5» имеет кратность 4.

Наибольшая кратность у отметки «4», она равна 9. Таким образом, мода данного измерения – это 4.

Ответ: Мода равна 4, её кратность равна 9.

в) Выпишите таблицу распределения данных.

Таблица распределения данных (частотная таблица) наглядно представляет данные, показывая каждую уникальную отметку и её кратность (частоту).

Ответ: Таблица распределения данных представлена выше.

г) Найдите среднее значение отметок за март.

Среднее значение (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле: сумма всех значений, деленная на их количество. Для сгруппированных данных удобно использовать формулу:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$

где $x_i$ – отметка, а $n_i$ – её кратность.

Сначала найдем сумму всех отметок, используя данные из таблицы распределения:

$\text{Сумма} = (2 \cdot 2) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 9) + (5 \cdot 4) = 4 + 15 + 36 + 20 = 75$

Общее количество отметок равно 20.

Теперь вычислим среднее значение:

$\bar{x} = \frac{75}{20} = 3.75$

Ответ: Среднее значение отметок за март равно 3.75.

50.2 В очередном туре футбольного чемпионата состоялись 10 матчей. Вот их результаты:

3 : 1, 0 : 2, 1 : 1, 0 : 0, 0 : 4, 0 : 1, 2 : 2, 0 : 3, 1 : 0, 1 : 1.

Футбольный статистик подсчитал результативность матчей (количество голов).

a) Выпишите (несгруппированный) ряд полученных данных.

б) Сгруппируйте его и составьте таблицу распределения данных и распределения их частот (в процентах).

в) Постройте гистограмму распределения данных.

г) Найдите среднюю результативность матчей в этом туре.

а) Чтобы получить ряд данных о результативности, необходимо для каждого матча подсчитать общее количество забитых голов. Исходные результаты 10 матчей:

3:1, 0:2, 1:1, 0:0, 0:4, 0:1, 2:2, 0:3, 1:0, 1:1.

Подсчитаем сумму голов для каждого матча:
Матч 1: $3 + 1 = 4$
Матч 2: $0 + 2 = 2$
Матч 3: $1 + 1 = 2$
Матч 4: $0 + 0 = 0$
Матч 5: $0 + 4 = 4$
Матч 6: $0 + 1 = 1$
Матч 7: $2 + 2 = 4$
Матч 8: $0 + 3 = 3$
Матч 9: $1 + 0 = 1$
Матч 10: $1 + 1 = 2$

В результате получаем следующий негруппированный ряд данных:

4, 2, 2, 0, 4, 1, 4, 3, 1, 2.

Ответ: 4, 2, 2, 0, 4, 1, 4, 3, 1, 2.

б) Для группировки данных и составления таблицы распределения найдем все уникальные значения (варианты) в полученном ряду и подсчитаем их частоту (сколько раз каждое значение встречается). Затем вычислим относительную частоту в процентах. Общее число данных — 10 (матчей).

- Количество голов 0: встречается 1 раз. Относительная частота: $(1 / 10) \times 100\% = 10\%$.
- Количество голов 1: встречается 2 раза. Относительная частота: $(2 / 10) \times 100\% = 20\%$.
- Количество голов 2: встречается 3 раза. Относительная частота: $(3 / 10) \times 100\% = 30\%$.
- Количество голов 3: встречается 1 раз. Относительная частота: $(1 / 10) \times 100\% = 10\%$.
- Количество голов 4: встречается 3 раза. Относительная частота: $(3 / 10) \times 100\% = 30\%$.

Теперь составим таблицу распределения:

Ответ: Таблица распределения данных представлена выше.

в) Гистограмма распределения данных представляет собой столбчатую диаграмму, где по горизонтальной оси отложены значения вариант (количество голов), а высота столбцов соответствует частоте этих значений (количеству матчей).

Ответ: Гистограмма распределения данных представлена выше.

г) Средняя результативность матчей — это среднее арифметическое значение ряда данных. Для ее нахождения необходимо сложить все значения (общее количество голов) и разделить на их количество (число матчей).

Сумма всех голов: $4 + 2 + 2 + 0 + 4 + 1 + 4 + 3 + 1 + 2 = 23$.
Количество матчей: 10.

Средняя результативность ($\bar{x}$) рассчитывается по формуле среднего арифметического: $\bar{x} = \frac{\text{Сумма всех значений}}{\text{Количество значений}}$.

Подставим наши данные: $\bar{x} = \frac{23}{10} = 2.3$.

Ответ: 2.3 гола за матч.