Страница 189, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Напишите уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$:

47.10 а) $y=e^x, a=1;$

б) $y=e^x, a=2;$

в) $y=e^x, a=0;$

г) $y=e^x, a=-1.$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для всех пунктов задачи дана функция $f(x) = e^x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (e^x)' = e^x$.

a) $y = e^x$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=1$:

$f(1) = e^1 = e$.

2. Найдем значение производной в этой же точке, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = e^1 = e$.

3. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=e$ и $f'(1)=e$ в общее уравнение касательной:

$y = e + e(x - 1)$

4. Упростим полученное уравнение:

$y = e + ex - e$

$y = ex$

Ответ: $y = ex$.

б) $y = e^x$, $a = 2$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=2$:

$f(2) = e^2$.

2. Найдем значение производной в точке $a=2$:

$f'(2) = e^2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^2 + e^2(x - 2)$

4. Упростим уравнение:

$y = e^2 + e^2x - 2e^2$

$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.

в) $y = e^x$, $a = 0$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=0$:

$f(0) = e^0 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = e^0 = 1$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 1(x - 0)$

4. Упростим уравнение:

$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $y = e^x$, $a = -1$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=-1$:

$f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

2. Найдем значение производной в точке $a=-1$:

$f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x - (-1))$

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$

4. Упростим уравнение:

$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$

$y = \frac{x + 2}{e}$

Ответ: $y = \frac{x+2}{e}$.

47.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^2 e^x$

на заданном отрезке:

а) [-1; 1];

б) [-3; 1];

в) [-3; -1];

г) [1; 3].

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2e^x$ на заданных отрезках, сначала найдем ее производную и критические точки. Алгоритм решения следующий:
1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти критические точки функции, в которых $y'(x) = 0$ или не существует.
3. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, и на концах этого отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Находим производную функции $y = x^2e^x$ по правилу произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$xe^x(2+x) = 0$

Так как $e^x > 0$ для любого $x$, получаем $x(2+x) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Исследование знаков производной показывает, что $x=-2$ — точка локального максимума, а $x=0$ — точка локального минимума.

Теперь рассмотрим каждый отрезок.

а) На отрезке $[-1; 1]$

В данный отрезок попадает одна критическая точка $x = 0$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

• $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$
• $y(0) = 0^2 e^0 = 0$
• $y(1) = 1^2 e^1 = e$

Сравнивая значения $0$, $\frac{1}{e}$ и $e$, находим наименьшее и наибольшее.

Ответ: наименьшее значение: $0$; наибольшее значение: $e$.

б) На отрезке $[-3; 1]$

В данный отрезок попадают обе критические точки $x = -2$ и $x = 0$. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = 9e^{-3} = \frac{9}{e^3}$
• $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$
• $y(0) = 0$
• $y(1) = 1^2 e^1 = e$

Сравним полученные значения: $0$, $e \approx 2.718$, $\frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.39} \approx 0.541$, $\frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.09} \approx 0.448$.

Ответ: наименьшее значение: $0$; наибольшее значение: $e$.

в) На отрезке $[-3; -1]$

В данный отрезок попадает одна критическая точка $x = -2$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = 9e^{-3} = \frac{9}{e^3}$
• $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$
• $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Сравним полученные значения. Используя приближения, $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$.

Ответ: наименьшее значение: $\frac{1}{e}$; наибольшее значение: $\frac{4}{e^2}$.

г) На отрезке $[1; 3]$

На данном отрезке нет критических точек. Производная $y'(x) = xe^x(2+x)$ положительна для всех $x \in [1; 3]$, следовательно, функция на этом отрезке монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

• $y(1) = 1^2 e^1 = e$
• $y(3) = 3^2 e^3 = 9e^3$

Ответ: наименьшее значение: $e$; наибольшее значение: $9e^3$.

47.16 Найдите производную функции:

а) $y = x^2 \ln x$;

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x$;

в) $y = \frac{x}{\ln x}$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 \ln x$ используется правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2$ и $v = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u' = (x^2)' = 2x$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$y' = x(2 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x(2 \ln x + 1)$.

б) Для нахождения производной функции $y = 3 \ln x + \sin(2x)$ используется правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$.
Найдем производную первого слагаемого: $(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.
Для нахождения производной второго слагаемого $\sin(2x)$ применим правило производной сложной функции: $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.
Сложим полученные производные:
$y' = \frac{3}{x} + 2\cos(2x)$.
Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 2\cos(2x)$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\ln x}$ используется правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x$ и $v = \ln x$.
Найдем производные числителя и знаменателя: $u' = (x)' = 1$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим в формулу:
$y' = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = 2 \cos\frac{x}{2} - 5 \ln x$ используется правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную первого члена, используя правило для сложной функции:
$(2\cos\frac{x}{2})' = 2 \cdot (-\sin\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = -2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{x}{2}$.
Найдем производную второго члена:
$(5 \ln x)' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.
Объединяя результаты, получаем:
$y' = -\sin\frac{x}{2} - \frac{5}{x}$.
Ответ: $y' = -\sin\frac{x}{2} - \frac{5}{x}$.

47.11 a) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3};$

Б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5;$

В) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0;$

Г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0.$

а)

Задача заключается в нахождении уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$. Общее уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Дана функция $y = e^{3x - 1}$ и точка $a = \frac{1}{3}$.

1. Найдем значение функции в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f(a) = f(\frac{1}{3}) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = e^{1 - 1} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (e^{3x - 1})' = e^{3x - 1} \cdot (3x - 1)' = 3e^{3x - 1}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f'(a) = f'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1 - 1} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$ и $f'(a) = 3$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 3(x - \frac{1}{3})$

$y = 1 + 3x - 1$

$y = 3x$

Ответ: $y = 3x$.

б)

Дана функция $y = xe^{-2x + 1}$ и точка $a = 0,5$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0,5$:

$f(a) = f(0,5) = 0,5 \cdot e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = 0,5 \cdot e^{-1 + 1} = 0,5 \cdot e^0 = 0,5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cdot e^{-2x + 1})' = (x)' \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (e^{-2x + 1})' = 1 \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot e^{-2x + 1} \cdot (-2) = e^{-2x + 1} - 2xe^{-2x + 1} = (1 - 2x)e^{-2x + 1}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0,5$:

$f'(a) = f'(0,5) = (1 - 2 \cdot 0,5)e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = (1 - 1)e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 0,5$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 0,5 + 0 \cdot (x - 0,5)$

$y = 0,5$

Ответ: $y = 0,5$.

в)

Дана функция $y = \frac{2}{e^x}$ и точка $a = 0$. Функцию можно переписать в виде $y = 2e^{-x}$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0$:

$f(a) = f(0) = 2e^{-0} = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2e^{-x})' = 2 \cdot e^{-x} \cdot (-1) = -2e^{-x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(a) = f'(0) = -2e^{-0} = -2 \cdot 1 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$ и $f'(a) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = 2 - 2x$.

г)

Дана функция $y = \frac{e^x}{x + 1}$ и точка $a = 0$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0$:

$f(a) = f(0) = \frac{e^0}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{e^x}{x + 1}\right)' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^x x + e^x - e^x}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(a) = f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.

47.14 Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

a) $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4;$

б) $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}.$

Исследуем функцию $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4$ на монотонность и экстремумы.

1. Нахождение производной.

Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную функции $y$ по $x$:

$y' = (e^{2x} - 3e^x + x + 4)' = (e^{2x})' - (3e^x)' + (x)' + (4)' = 2e^{2x} - 3e^x + 1$.

2. Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2e^{2x} - 3e^x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $e^x$. Сделаем замену $t = e^x$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Возвращаемся к замене:

1) $e^x = \frac{1}{2} \implies x = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)$.

2) $e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$.

Таким образом, мы получили две критические точки: $x_1 = -\ln(2)$ и $x_2 = 0$.

3. Определение промежутков монотонности.

Критические точки разбивают область определения на три интервала: $(-\infty; -\ln(2))$, $(-\ln(2); 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 2e^{2x} - 3e^x + 1 = (2e^x - 1)(e^x - 1)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty; -\ln(2))$, $e^x < 1/2$. Тогда $2e^x - 1 < 0$ и $e^x - 1 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $y' > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-\ln(2); 0)$, $1/2 < e^x < 1$. Тогда $2e^x - 1 > 0$ и $e^x - 1 < 0$. Произведение чисел с разными знаками отрицательно: $y' < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(0; +\infty)$, $e^x > 1$. Тогда $2e^x - 1 > 0$ и $e^x - 1 > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно: $y' > 0$, значит, функция возрастает.

4. Нахождение экстремумов.

В точке $x = -\ln(2)$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-\ln(2)) = e^{2(-\ln(2))} - 3e^{-\ln(2)} - \ln(2) + 4 = e^{\ln(1/4)} - 3e^{\ln(1/2)} - \ln(2) + 4 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - \ln(2) + 4 = \frac{1 - 6 + 16}{4} - \ln(2) = \frac{11}{4} - \ln(2)$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = e^0 - 3e^0 + 0 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\ln(2)]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\ln(2); 0]$. Точка максимума $x_{max} = -\ln(2)$, значение функции в этой точке $y_{max} = \frac{11}{4} - \ln(2)$. Точка минимума $x_{min} = 0$, значение функции в этой точке $y_{min} = 2$.

Исследуем функцию $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}$ на монотонность и экстремумы.

1. Нахождение производной.

Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную функции $y$ по $x$:

$y' = (1 - 3x + 5e^x - e^{2x})' = -3 + 5e^x - 2e^{2x}$.

2. Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю:

$-2e^{2x} + 5e^x - 3 = 0$.

Умножим на -1: $2e^{2x} - 5e^x + 3 = 0$.

Сделаем замену $t = e^x$ ($t > 0$):

$2t^2 - 5t + 3 = 0$.

Находим корни:

$t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}$.

$t_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1$.

$t_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Возвращаемся к замене:

1) $e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$.

2) $e^x = \frac{3}{2} \implies x = \ln(\frac{3}{2})$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \ln(\frac{3}{2})$.

3. Определение промежутков монотонности.

Критические точки разбивают область определения на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \ln(\frac{3}{2}))$ и $(\ln(\frac{3}{2}); +\infty)$. Определим знак производной $y' = -2e^{2x} + 5e^x - 3 = -(2e^x - 3)(e^x - 1)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty; 0)$, $e^x < 1$. Тогда $2e^x - 3 < 0$ и $e^x - 1 < 0$. $y' = -((-) \cdot (-)) = - < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(0; \ln(\frac{3}{2}))$, $1 < e^x < 3/2$. Тогда $2e^x - 3 < 0$ и $e^x - 1 > 0$. $y' = -((-) \cdot (+)) = + > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(\ln(\frac{3}{2}); +\infty)$, $e^x > 3/2$. Тогда $2e^x - 3 > 0$ и $e^x - 1 > 0$. $y' = -((+) \cdot (+)) = - < 0$, значит, функция убывает.

4. Нахождение экстремумов.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 1 - 3(0) + 5e^0 - e^0 = 1 - 0 + 5 - 1 = 5$.

В точке $x = \ln(\frac{3}{2})$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(\ln(\frac{3}{2})) = 1 - 3\ln(\frac{3}{2}) + 5e^{\ln(3/2)} - e^{2\ln(3/2)} = 1 - 3\ln(\frac{3}{2}) + 5 \cdot \frac{3}{2} - (\frac{3}{2})^2 = 1 - 3\ln(\frac{3}{2}) + \frac{15}{2} - \frac{9}{4} = \frac{4 + 30 - 9}{4} - 3\ln(\frac{3}{2}) = \frac{25}{4} - 3\ln(\frac{3}{2})$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[\ln(\frac{3}{2}); +\infty)$, возрастает на промежутке $[0; \ln(\frac{3}{2})]$. Точка минимума $x_{min} = 0$, значение функции в этой точке $y_{min} = 5$. Точка максимума $x_{max} = \ln(\frac{3}{2})$, значение функции в этой точке $y_{max} = \frac{25}{4} - 3\ln(\frac{3}{2})$.

47.9 Решите неравенство $g'(x) < a$, если:

а) $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}, a = \frac{1}{e^3};$

б) $g(x) = x + e^{4x-3}, a = 5;$

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}, a = \frac{1}{e};$

г) $g(x) = e^{9x+21} - x, a = 8.$

а) Дана функция $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$ и значение $a = \frac{1}{e^3}$. Требуется решить неравенство $g'(x) < a$.
Сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = \left(6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = (6)' - \left(\frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = 0 - \frac{1}{2}e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = -\frac{1}{2}e^{2x-3} \cdot 2 = -e^{2x-3}$.
Теперь подставим найденную производную в неравенство:
$-e^{2x-3} < \frac{1}{e^3}$.
Используя свойство степени, запишем $\frac{1}{e^3} = e^{-3}$:
$-e^{2x-3} < e^{-3}$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$e^{2x-3} > -e^{-3}$.
Левая часть неравенства, $e^{2x-3}$, является показательной функцией, которая всегда принимает только положительные значения ($e^{y} > 0$ для любого действительного $y$). Правая часть, $-e^{-3}$, является отрицательным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = x + e^{4x-3}$ и значение $a = 5$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x + e^{4x-3})' = (x)' + (e^{4x-3})' = 1 + e^{4x-3} \cdot (4x-3)' = 1 + 4e^{4x-3}$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$1 + 4e^{4x-3} < 5$.
Вычтем 1 из обеих частей:
$4e^{4x-3} < 4$.
Разделим обе части на 4:
$e^{4x-3} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием $e$: $1 = e^0$.
$e^{4x-3} < e^0$.
Так как основание $e > 1$, показательная функция $y=e^t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:
$4x - 3 < 0$.
$4x < 3$.
$x < \frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4})$.

в) Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$ и значение $a = \frac{1}{e}$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{3x+5}\right)' = \frac{1}{3} (e^{3x+5})' = \frac{1}{3}e^{3x+5} \cdot (3x+5)' = \frac{1}{3}e^{3x+5} \cdot 3 = e^{3x+5}$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$e^{3x+5} < \frac{1}{e}$.
Запишем правую часть как $e^{-1}$:
$e^{3x+5} < e^{-1}$.
Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$3x + 5 < -1$.
$3x < -1 - 5$.
$3x < -6$.
$x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г) Дана функция $g(x) = e^{9x+21} - x$ и значение $a = 8$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (e^{9x+21} - x)' = (e^{9x+21})' - (x)' = e^{9x+21} \cdot (9x+21)' - 1 = 9e^{9x+21} - 1$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$9e^{9x+21} - 1 < 8$.
Прибавим 1 к обеим частям:
$9e^{9x+21} < 9$.
Разделим обе части на 9:
$e^{9x+21} < 1$.
Представим 1 как $e^0$:
$e^{9x+21} < e^0$.
Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$9x + 21 < 0$.
$9x < -21$.
$x < -\frac{21}{9}$.
Сократим дробь:
$x < -\frac{7}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3})$.

47.12 Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x^2e^x$;

б) $y = xe^{2x - 4}$;

в) $y = x^3e^x$;

г) $y = \frac{e^x}{x}$.

а) $y = x^2e^x$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$xe^x(2+x) = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(2+x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x = -3$, $y'(-3) = -3e^{-3}(2-3) = 3e^{-3} > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-2, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = -1e^{-1}(2-1) = -e^{-1} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0, +\infty)$, например при $x = 1$, $y'(1) = 1e^{1}(2+1) = 3e > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2e^0 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 0$.

б) $y = xe^{2x-4}$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (xe^{2x-4})' = (x)'e^{2x-4} + x(e^{2x-4})' = 1 \cdot e^{2x-4} + x \cdot e^{2x-4} \cdot (2x-4)' = e^{2x-4} + 2xe^{2x-4} = e^{2x-4}(1+2x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$e^{2x-4}(1+2x) = 0$.

Поскольку $e^{2x-4} > 0$ для любого $x$, то $1+2x = 0$.

Отсюда получаем критическую точку: $x = -0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критическая точка разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, -0.5)$ и $(-0.5, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -0.5)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = e^{-6}(1-2) = -e^{-6} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-0.5, +\infty)$, например при $x = 0$, $y'(0) = e^{-4}(1+0) = e^{-4} > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-0.5) = -0.5 \cdot e^{2(-0.5)-4} = -0.5e^{-1-4} = -0.5e^{-5} = -\frac{1}{2e^5}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -0.5]$, возрастает на промежутке $[-0.5, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -0.5$.

в) $y = x^3e^x$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^3e^x)' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x = x^2e^x(3+x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$x^2e^x(3+x) = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, то $x^2(3+x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -3)$, например при $x = -4$, $y'(-4) = (-4)^2e^{-4}(3-4) = 16e^{-4}(-1) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-3, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = (-1)^2e^{-1}(3-1) = 2e^{-1} > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, +\infty)$, например при $x = 1$, $y'(1) = 1^2e^1(3+1) = 4e > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = (-3)^3e^{-3} = -27e^{-3} = -\frac{27}{e^3}$.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$, возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -3$.

г) $y = \frac{e^x}{x}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{e^x(x-1)}{x^2} = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ и $x^2 > 0$ в области определения, то $x-1 = 0$.

Отсюда получаем критическую точку: $x = 1$.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Точки $x=0$ (разрыв) и $x=1$ (критическая точка) разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = \frac{e^{-1}(-1-1)}{(-1)^2} = -2e^{-1} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$, например при $x = 0.5$, $y'(0.5) = \frac{e^{0.5}(0.5-1)}{(0.5)^2} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например при $x = 2$, $y'(2) = \frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4} > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{e^1}{1} = e$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$, возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$.

47.15 Постройте график функции:

а) $y = \ln(x - 4)$;

б) $y = \ln ex$;

в) $y = \ln(x + 3)$;

г) $y = \ln \frac{x}{e}$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать преобразования графика базовой функции натурального логарифма $y = \ln(x)$.

График функции $y = \ln(x)$ имеет следующие свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).
• График проходит через ключевые точки $(1, 0)$ и $(e, 1)$, где $e \approx 2.718$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.

а) $y = \ln(x - 4)$

Данная функция имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln(x)$ и $a = 4$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x - 4 > 0$, откуда $x > 4$.
2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ для функции $y = \ln(x)$ также смещается на 4 единицы вправо, превращаясь в прямую $x = 4$.
3. Ключевые точки:
   • Точка пересечения с осью Ox для $y = \ln(x)$ — это $(1, 0)$. При сдвиге она переходит в точку $(1 + 4, 0) = (5, 0)$. Проверим: $y = \ln(5 - 4) = \ln(1) = 0$.
   • Точка $(e, 1)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(e + 4, 1)$.

Таким образом, для построения графика нужно взять график $y = \ln(x)$ и сдвинуть его целиком на 4 единицы вправо.

Ответ: График функции $y = \ln(x - 4)$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=4$. График пересекает ось Ox в точке $(5, 0)$.

б) $y = \ln ex$

Используем свойство логарифма произведения: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$y = \ln(e \cdot x) = \ln e + \ln x = 1 + \ln x$.

Получили функцию вида $y = f(x) + b$, где $f(x) = \ln(x)$ и $b = 1$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

1. Область определения: $ex > 0$. Так как $e > 0$, то $x > 0$.
2. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, поэтому она остается $x = 0$.
3. Ключевые точки:
   • Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(1, 0 + 1) = (1, 1)$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e, 1 + 1) = (e, 2)$.
   • Найдем точку пересечения с осью Ox ($y = 0$): $0 = 1 + \ln x \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{e}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \ln ex$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(\frac{1}{e}, 0)$.

в) $y = \ln(x + 3)$

Данная функция имеет вид $y = f(x + a)$, где $f(x) = \ln(x)$ и $a = 3$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox).

1. Область определения: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.
2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ смещается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.
3. Ключевые точки:
   • Точка пересечения с осью Ox $(1, 0)$ переходит в точку $(1 - 3, 0) = (-2, 0)$. Проверим: $y = \ln(-2 + 3) = \ln(1) = 0$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e - 3, 1)$.

Ответ: График функции $y = \ln(x + 3)$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=-3$. График пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$.

г) $y = \ln \frac{x}{e}$

Используем свойство логарифма частного: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$.

$y = \ln x - \ln e = \ln x - 1$.

Получили функцию вида $y = f(x) - b$, где $f(x) = \ln(x)$ и $b = 1$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy).

1. Область определения: $\frac{x}{e} > 0$. Так как $e > 0$, то $x > 0$.
2. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, она остается $x = 0$.
3. Ключевые точки:
   • Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(1, 0 - 1) = (1, -1)$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e, 1 - 1) = (e, 0)$. Это новая точка пересечения с осью Ox.

Ответ: График функции $y = \ln \frac{x}{e}$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. График пересекает ось Ox в точке $(e, 0)$.