Страница 183, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.25 a) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x;$

б) $x^2 \log_2 \frac{3 + x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}} (2 + 3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2 + 11x + 6}{10}.$

а) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$5x^2 - 2x - 3 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$
$x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Парабола $y = 5x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -0.6$ или $x > 1$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (1; +\infty)$.

Преобразуем логарифмы в уравнении, используя свойства логарифмов $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^k = k \log_a b$:
$\log_{36} (5x^2 - 2x - 3) = \log_{6^2} (5x^2 - 2x - 3) = \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)$
$\log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = \log_{6^{-1}} (5x^2 - 2x - 3)^{\frac{1}{2}} = -1 \cdot \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = -\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$x^2 \cdot \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - x \cdot \left(-\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)\right) = x^2 + x$
$\frac{x^2}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) + \frac{x}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\frac{1}{2} (x^2 + x) \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$
Перенесем все в левую часть и сгруппируем:
$(x^2 + x) \left(\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x=0$ не входит в ОДЗ.
$x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 < -0.6$.

2) $\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - 1 = 0$
$\log_6 (5x^2 - 2x - 3) = 2$
$5x^2 - 2x - 3 = 6^2$
$5x^2 - 2x - 3 = 36$
$5x^2 - 2x - 39 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.
$x_3 = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$
$x_4 = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$
Проверим корни по ОДЗ:
$x=-2.6$ входит в ОДЗ, так как $-2.6 < -0.6$.
$x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 > 1$.

Ответ: $\{-2.6; -1; 3\}$.

б) $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}} (2+3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаками логарифмов должны быть положительными:
1) $\frac{3+x}{10} > 0 \implies 3+x > 0 \implies x > -3$
2) $2+3x > 0 \implies 3x > -2 \implies x > -2/3$
3) $\frac{3x^2+11x+6}{10} > 0 \implies 3x^2+11x+6 > 0$. Корни трехчлена $3x^2+11x+6=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2/3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (-2/3; +\infty)$.
Пересечением всех трех условий является интервал $x > -2/3$.
ОДЗ: $x \in (-2/3; +\infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{2^{-1}} (2+3x) = x^2 \left(\log_2 \frac{3+x}{10} + \log_2 (2+3x)\right)$
$= x^2 \log_2 \left(\frac{3+x}{10} \cdot (2+3x)\right) = x^2 \log_2 \frac{3x^2+2x+9x+6}{10} = x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

Преобразуем последний член в правой части уравнения:
$2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10} = 2\log_{2^{1/2}} \frac{3x^2+11x+6}{10} = 2 \cdot \frac{1}{1/2} \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 4\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

Подставим преобразованные части в исходное уравнение:
$x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = x^2 - 4 + 4\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$
Сделаем замену $A = \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.
$x^2 A = x^2 - 4 + 4A$
Перенесем члены с A в одну сторону, а остальные в другую:
$x^2 A - 4A = x^2 - 4$
$A(x^2 - 4) = x^2 - 4$

Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x=2$ или $x=-2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2/3$):
$x=2$ входит в ОДЗ.
$x=-2$ не входит в ОДЗ.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

2) $x^2 - 4 \neq 0$. Тогда можно разделить обе части уравнения на $(x^2 - 4)$:
$A = 1$
Возвращаемся к исходной переменной:
$\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 1$
$\frac{3x^2+11x+6}{10} = 2^1 = 2$
$3x^2+11x+6 = 20$
$3x^2+11x-14 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения.
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$
$x_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2/3$):
$x = -14/3$ не входит в ОДЗ.
$x = 1$ входит в ОДЗ. Также для этого корня выполняется условие $x^2-4 = 1-4 = -3 \neq 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $\{1; 2\}$.

44.26 $\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице:
$x > 0$ и $x \neq 1$.
Поскольку $x^2$ также является основанием, то $x^2 > 0$ и $x^2 \neq 1$, что приводит к тем же условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ для положительных $x$.

2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$3x - \sqrt{18} > 0$
$6 + x\sqrt{72} + 3x^2 > 0$

3. Из выражения в правой части следует, что знаменатель не равен нулю:
$\lg x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 10^0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.

Решим неравенства для аргументов:
$3x - \sqrt{9 \cdot 2} > 0 \implies 3x - 3\sqrt{2} > 0 \implies 3x > 3\sqrt{2} \implies x > \sqrt{2}$.
Рассмотрим второе неравенство: $3x^2 + x\sqrt{36 \cdot 2} + 6 > 0 \implies 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 72 - 72 = 0$. Это означает, что трехчлен является полным квадратом: $3(x + \sqrt{2})^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех $x \neq -\sqrt{2}$.

Объединяя все условия ($x > 0$, $x \neq 1$, $x > \sqrt{2}$, $x \neq -\sqrt{2}$), получаем итоговую ОДЗ: $x > \sqrt{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Сначала упростим правую часть, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} = \log_{x^2}(27x^2) = \log_{x^2}(27) + \log_{x^2}(x^2) = \log_{x^2}(3^3) + 1 = 3\log_{x^2}(3) + 1$.

Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получим:
$3 \cdot \frac{1}{2}\log_x(3) + 1 = \frac{3}{2}\log_x(3) + 1$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \log_x(3x - 3\sqrt{2}) + \log_{x^2}(3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6)$.

Мы уже выяснили, что $3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 = 3(x+\sqrt{2})^2$. Подставим это в выражение:
$\log_x(3(x - \sqrt{2})) + \log_{x^2}(3(x+\sqrt{2})^2)$

Применим свойства логарифмов $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x(3(x+\sqrt{2})^2)$
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}[\log_x(3) + \log_x((x+\sqrt{2})^2)]$

Поскольку по ОДЗ $x > \sqrt{2}$, то $x+\sqrt{2} > 0$, и $\log_x((x+\sqrt{2})^2) = 2\log_x(x+\sqrt{2})$.
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}[\log_x(3) + 2\log_x(x+\sqrt{2})] = \log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x(3) + \log_x(x+\sqrt{2})$
$\frac{3}{2}\log_x(3) + (\log_x(x - \sqrt{2}) + \log_x(x+\sqrt{2})) = \frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x((x - \sqrt{2})(x+\sqrt{2})) = \frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x(x^2 - 2)$.

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$\frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x(x^2 - 2) = \frac{3}{2}\log_x(3) + 1$.

$\log_x(x^2 - 2) = 1$.

По определению логарифма:
$x^2 - 2 = x^1$
$x^2 - x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета или через дискриминант равны:
$x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{2} \approx 1.414$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{2}$, следовательно, является решением уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > \sqrt{2}$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: 2.

44.24 a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12;$

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000.$

а) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Преобразуем первое слагаемое $6^{\log_6^2 x}$. Заметим, что $\log_6^2 x = (\log_6 x)^2$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, можно записать:
$6^{\log_6^2 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $6^{\log_6 x} = x$.
Следовательно, первое слагаемое равно $x^{\log_6 x}$.

Теперь уравнение принимает вид:
$x^{\log_6 x} + x^{\log_6 x} = 12$

$2 \cdot x^{\log_6 x} = 12$

$x^{\log_6 x} = 6$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6. Так как $x > 0$ и правая часть положительна, это преобразование является равносильным.

$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6 6$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\log_6 x) \cdot (\log_6 x) = 1$

$(\log_6 x)^2 = 1$

Отсюда следует, что $\log_6 x$ может принимать два значения:
$\log_6 x = 1$ или $\log_6 x = -1$.

Решим каждое уравнение:
1) Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.
2) Если $\log_6 x = -1$, то $x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня $x=6$ и $x=\frac{1}{6}$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Напомним, что $\lg x$ это краткая запись для десятичного логарифма, т.е. $\log_{10} x$.

Преобразуем первое слагаемое $10^{\lg^2 x}$.
$10^{\lg^2 x} = 10^{(\lg x)^2} = (10^{\lg x})^{\lg x}$.
По основному логарифмическому тождеству $10^{\lg x} = x$.
Следовательно, $10^{\lg^2 x} = x^{\lg x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^{\lg x} + 9x^{\lg x} = 1000$

$10 \cdot x^{\lg x} = 1000$

$x^{\lg x} = 100$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100)$

Используя свойство логарифма степени, получаем:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(10^2)$

$(\lg x)^2 = 2$

Отсюда следует, что $\lg x$ может принимать два значения:
$\lg x = \sqrt{2}$ или $\lg x = -\sqrt{2}$.

Найдем $x$ для каждого случая:
1) Если $\lg x = \sqrt{2}$, то $x = 10^{\sqrt{2}}$.
2) Если $\lg x = -\sqrt{2}$, то $x = 10^{-\sqrt{2}}$.

Оба корня $x=10^{\sqrt{2}}$ и $x=10^{-\sqrt{2}}$ являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{\sqrt{2}}; 10^{-\sqrt{2}}$.

45.2 a) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2;$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3;$

в) $\log_{0.2} x < 3;$

г) $\log_{0.1} x > -\frac{1}{2}.$

а)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Представим число 2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\log_{\frac{1}{3}} x \le \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$.

Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, переходим к неравенству для аргументов, меняя знак на противоположный:

$x \ge \frac{1}{9}$.

3. Итоговое решение: Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить системе неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{9} \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge \frac{1}{9}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{9}, +\infty)$.

б)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3$.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства изменится на противоположный.

Представим -3 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Перепишем исходное неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x \ge \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, переходим к неравенству для аргументов с изменением знака:

$x \le 8$.

3. Итоговое решение: Необходимо учесть ОДЗ. Решаем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \le 8 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (0, 8]$.

в)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.2} x < 3$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$. Так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется.

Представим 3 как логарифм по основанию 0.2:

$3 = \log_{0.2} (0.2)^3 = \log_{0.2} (0.008)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.2} x < \log_{0.2} (0.008)$.

Поскольку основание $0.2 < 1$, меняем знак неравенства:

$x > 0.008$.

3. Итоговое решение: Совмещаем с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x > 0.008 \end{cases}$

Решением системы является $x > 0.008$.

Ответ: $x \in (0.008, +\infty)$.

г)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.1} x > -\frac{1}{2}$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = 0.1 = \frac{1}{10}$. Так как $0 < 0.1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.

Представим $-\frac{1}{2}$ как логарифм по основанию 0.1:

$-\frac{1}{2} = \log_{0.1} \left(0.1\right)^{-\frac{1}{2}}$.

Вычислим значение аргумента: $(0.1)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-\frac{1}{2}} = (10^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$.

Неравенство можно записать так:

$\log_{0.1} x > \log_{0.1} \sqrt{10}$.

Поскольку основание $0.1 < 1$, меняем знак неравенства:

$x < \sqrt{10}$.

3. Итоговое решение: Совмещаем с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < \sqrt{10} \end{cases}$

Решением системы является двойное неравенство $0 < x < \sqrt{10}$.

Ответ: $x \in (0, \sqrt{10})$.

45.5 a) $log_2(5x - 9) \le log_2(3x + 1);$

б) $log_{0,4}(12x + 2) \ge log_{0,4}(10x + 16);$

в) $log_{\frac{1}{3}}(-x) > log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x);$

г) $log_{2,5}(6 - x) < log_{2,5}(4 - 3x).$

а) Дано логарифмическое неравенство $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 9 \\ 3x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих двух условий является $x > \frac{9}{5}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{9}{5}; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$5x - 9 \le 3x + 1$
$5x - 3x \le 1 + 9$
$2x \le 10$
$x \le 5$.
3. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x > \frac{9}{5} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(\frac{9}{5}; 5]$.
Ответ: $(\frac{9}{5}; 5]$.

б) Дано логарифмическое неравенство $\log_{0,4}(12x + 2) \ge \log_{0,4}(10x + 16)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} 12x + 2 > 0 \\ 10x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12x > -2 \\ 10x > -16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{2}{12} \\ x > -\frac{16}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{1}{6} \\ x > -1,6 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > -\frac{1}{6}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{1}{6}; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $0,4 < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$12x + 2 \le 10x + 16$
$12x - 10x \le 16 - 2$
$2x \le 14$
$x \le 7$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 7 \\ x > -\frac{1}{6} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\frac{1}{6}; 7]$.
Ответ: $(-\frac{1}{6}; 7]$.

в) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(-x) > \log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ 4 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ -2x > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 2 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x < 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$-x < 4 - 2x$
$-x + 2x < 4$
$x < 4$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x < 4 \\ x < 0 \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $(-\infty; 0)$.

г) Дано логарифмическое неравенство $\log_{2,5}(6 - x) < \log_{2,5}(4 - 3x)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ 4 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ -3x > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x < \frac{4}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x < \frac{4}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $2,5 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$6 - x < 4 - 3x$
$-x + 3x < 4 - 6$
$2x < -2$
$x < -1$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x < -1 \\ x < \frac{4}{3} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\infty; -1)$.
Ответ: $(-\infty; -1)$.

45.3 a) $ \log_5(3x + 1) < 2; $

б) $ \log_{0.5}\frac{x}{3} \ge -2; $

в) $ \log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1; $

г) $ \log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4. $

а) $\log_5(3x + 1) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$3x + 1 > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$2 = \log_5(5^2) = \log_5(25)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_5(3x + 1) < \log_5(25)$

3. Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что для аргументов сохраняется тот же знак неравенства:

$3x + 1 < 25$

$3x < 24$

$x < 8$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{3}$ и $x < 8$.

Это соответствует интервалу $(-\frac{1}{3}; 8)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 8)$.

б) $\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge -2$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$\frac{x}{3} > 0$

$x > 0$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-2 = \log_{0,5}(0,5^{-2}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0,5}(4)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge \log_{0,5}(4)$

3. Так как основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{3} \le 4$

$x \le 12$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x \le 12$.

Это соответствует полуинтервалу $(0; 12]$.

Ответ: $x \in (0; 12]$.

в) $\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1$

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{5} > 0$

$x > 0$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$:

$1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

3. Так как основание логарифма $\frac{1}{4} \in (0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$\frac{x}{5} < \frac{1}{4}$

$x < \frac{5}{4}$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x < \frac{5}{4}$.

Это соответствует интервалу $(0; \frac{5}{4})$.

Ответ: $x \in (0; \frac{5}{4})$.

г) $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4$

1. Найдем ОДЗ:

$2x - 3 > 0$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:

$4 = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^4) = \log_{\sqrt{3}}(9)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}}(9)$

3. Так как основание логарифма $\sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства для аргументов сохраняется:

$2x - 3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > \frac{3}{2}$ и $x < 6$.

Это соответствует интервалу $(\frac{3}{2}; 6)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 6)$.

Решите неравенство:

45.1 a) $\log_2 x \geq 4;$

б) $\log_2 x \leq -3;$

в) $\log_2 x < \frac{1}{2};$

г) $\log_2 x > -\frac{1}{2}.$

а) $\log_2 x \ge 4$
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $4 = 4 \cdot \log_2 2 = \log_2(2^4) = \log_2 16$.
Исходное неравенство можно переписать в виде: $\log_2 x \ge \log_2 16$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя от логарифмов к их аргументам, мы сохраняем знак неравенства:
$x \ge 16$.
Сравнивая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), видим, что условие $x \ge 16$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $[16; +\infty)$.

б) $\log_2 x \le -3$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $-3 = -3 \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{-3}) = \log_2\left(\frac{1}{8}\right)$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x \le \log_2\left(\frac{1}{8}\right)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Сохраняем знак неравенства при переходе к аргументам:
$x \le \frac{1}{8}$.
Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть $x > 0$. Объединяя два условия $x > 0$ и $x \le \frac{1}{8}$, получаем итоговое решение.
Ответ: $(0; \frac{1}{8}]$.

в) $\log_2 x < \frac{1}{2}$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{1/2}) = \log_2\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x < \log_2\sqrt{2}$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$x < \sqrt{2}$.
С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < \sqrt{2}$.
Ответ: $(0; \sqrt{2})$.

г) $\log_2 x > -\frac{1}{2}$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{-1/2}) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Сохраняем знак неравенства:
$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

45.4 a) $\log_5 x > \log_5 (3x - 4);$

В) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}} 4x;$

б) $\log_{0.6} (2x - 1) < \log_{0.6} x;$

Г) $\log_3 (8 - 6x) \le \log_3 2x.$

а) $\log_5 x > \log_5(3x - 4)$

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойство монотонности логарифмической функции.

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство системы:

$3x > 4$

$x > \frac{4}{3}$

Пересекая условия $x > 0$ и $x > \frac{4}{3}$, получаем общую ОДЗ: $x > \frac{4}{3}$.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 3x - 4$

$4 > 3x - x$

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$.

3. Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{4}{3}$.

Получаем интервал $\frac{4}{3} < x < 2$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$.

б) $\log_{0,6}(2x - 1) < \log_{0,6} x$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.

Пересекая условия $x > \frac{1}{2}$ и $x > 0$, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $0,6$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 1 > x$

$2x - x > 1$

$x > 1$.

3. Найдем пересечение решения $x > 1$ с ОДЗ $x > \frac{1}{2}$.

Общим решением будет $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}}(4x)$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 4x > 0 \end{cases} $

Решаем систему: $5x > 9 \implies x > \frac{9}{5}$ и $x > 0$.

Общая ОДЗ: $x > \frac{9}{5}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный:

$5x - 9 \le 4x$

$5x - 4x \le 9$

$x \le 9$.

3. Найдем пересечение решения $x \le 9$ с ОДЗ $x > \frac{9}{5}$.

Получаем двойное неравенство $\frac{9}{5} < x \le 9$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{5}; 9]$.

г) $\log_3(8 - 6x) \le \log_3(2x)$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 8 - 6x > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} $

Решаем систему: $8 > 6x \implies x < \frac{8}{6} \implies x < \frac{4}{3}$ и $x > 0$.

Общая ОДЗ: $0 < x < \frac{4}{3}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$8 - 6x \le 2x$

$8 \le 2x + 6x$

$8 \le 8x$

$1 \le x$, или $x \ge 1$.

3. Найдем пересечение решения $x \ge 1$ с ОДЗ $0 < x < \frac{4}{3}$.

Получаем интервал $1 \le x < \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3})$.