Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.14 Прологарифмируйте по основанию 2:

а) $16a^2b^3$;

б) $\frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$;

в) $48a\sqrt{a} \cdot b^4$;

г) $\frac{b^3}{4a^5}$.

а) Для того чтобы прологарифмировать выражение $16a^2b^3$ по основанию 2, воспользуемся свойствами логарифма. Сначала применим свойство логарифма произведения $\log_c(xyz) = \log_c(x) + \log_c(y) + \log_c(z)$:
$\log_2(16a^2b^3) = \log_2(16) + \log_2(a^2) + \log_2(b^3)$.
Затем применим свойство логарифма степени $\log_c(x^n) = n\log_c(x)$:
$\log_2(16) + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.
Так как $16 = 2^4$, то $\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$. В итоге получаем:
$4 + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.

Ответ: $4 + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$ по основанию 2. Сначала преобразуем выражение: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $(\sqrt{b})^7 = (b^{1/2})^7 = b^{7/2}$. Таким образом, исходное выражение равно $2^{-3}ab^{7/2}$.
Теперь логарифмируем, используя свойство логарифма произведения:
$\log_2(2^{-3}ab^{7/2}) = \log_2(2^{-3}) + \log_2(a) + \log_2(b^{7/2})$.
Используем свойство логарифма степени:
$-3\log_2(2) + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.
Так как $\log_2(2) = 1$, получаем:
$-3 + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.

Ответ: $-3 + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.

в) Прологарифмируем выражение $48a\sqrt{a} \cdot b^4$ по основанию 2. Упростим выражение: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2}$. Число 48 представим как произведение $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$. Исходное выражение: $2^4 \cdot 3 \cdot a^{3/2}b^4$.
Применяем свойство логарифма произведения:
$\log_2(2^4 \cdot 3 \cdot a^{3/2}b^4) = \log_2(2^4) + \log_2(3) + \log_2(a^{3/2}) + \log_2(b^4)$.
Применяем свойство логарифма степени:
$4\log_2(2) + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.
Учитывая, что $\log_2(2) = 1$, получаем:
$4 + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.

Ответ: $4 + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{b^3}{4a^5}$ по основанию 2. Используем свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c(x) - \log_c(y)$:
$\log_2\left(\frac{b^3}{4a^5}\right) = \log_2(b^3) - \log_2(4a^5)$.
Для второго слагаемого применим свойство логарифма произведения:
$\log_2(b^3) - (\log_2(4) + \log_2(a^5)) = \log_2(b^3) - \log_2(4) - \log_2(a^5)$.
Теперь применим свойство логарифма степени:
$3\log_2(b) - \log_2(2^2) - 5\log_2(a)$.
Так как $\log_2(2^2) = 2$, окончательный результат:
$3\log_2(b) - 2 - 5\log_2(a)$.

Ответ: $3\log_2(b) - 2 - 5\log_2(a)$.

43.18 Известно, что $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$. Выразите через $c$ и $a$:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Логарифм частного: $\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$
• Логарифм степени: $\log_b(M^k) = k \log_b M$

Дано: $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$.

Также вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 2$. Так как $2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$, то $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = -1$.

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$

Представим число 21 в виде произведения чисел 3 и 7: $21 = 3 \cdot 7$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 7) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7 = a + c$

Ответ: $a + c$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$

Применим свойство логарифма частного (или степени):

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42} = \log_{\frac{1}{2}} (42^{-1}) = -1 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 42 = -\log_{\frac{1}{2}} 42$

Теперь разложим число 42 на множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

$\log_{\frac{1}{2}} 42 = \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 3 \cdot 7) = \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$, $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 42 = -1 + a + c$

Тогда искомое выражение равно:

$-\log_{\frac{1}{2}} 42 = -(-1 + a + c) = 1 - a - c$

Ответ: $1 - a - c$.

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$

Разложим число 147 на множители: $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$\log_{\frac{1}{2}} 147 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7^2 = \log_{\frac{1}{2}} 3 + 2 \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $a$ и $c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 3 + 2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = a + 2c$

Ответ: $a + 2c$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 49 - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$

Представим аргументы в виде степеней: $49 = 7^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

$\log_{\frac{1}{2}} 7^2 - \log_{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}}$

Применим свойство логарифма степени:

$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3$

Подставим известные значения $c$ и $a$:

$2c - \frac{1}{2}a$

Ответ: $2c - \frac{1}{2}a$.

43.15 Прологарифмируйте по основанию 5:

а) $125a^4 : b^4;$

б) $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}};$

в) $\frac{25\sqrt{5} a^6 b^7}{c^3};$

г) $(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}})^{-3}.$

а) Чтобы прологарифмировать выражение $125a^4 : b^4$ по основанию 5, представим его в виде дроби $\frac{125a^4}{b^4}$ и применим свойства логарифмов. Логарифм частного равен разности логарифмов: $\log_5\left(\frac{125a^4}{b^4}\right) = \log_5(125a^4) - \log_5(b^4)$. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_5(125) + \log_5(a^4) - \log_5(b^4)$. Логарифм степени позволяет вынести показатель за знак логарифма: $\log_5(5^3) + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$. Поскольку $\log_5(5^3)=3$, итоговое выражение: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$. Ответ: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{\frac{1}{2}}}$ по основанию 5. Сначала преобразуем выражение: $(\sqrt{ab})^3 = (ab)^{\frac{3}{2}}$. Теперь логарифмируем: $\log_5\left(\frac{625(ab)^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}}}\right)$. Применяем свойства логарифма частного и произведения: $\log_5(625) + \log_5((ab)^{\frac{3}{2}}) - \log_5(c^{\frac{1}{2}})$. Далее, используя свойство логарифма степени и произведения: $\log_5(5^4) + \frac{3}{2}\log_5(ab) - \frac{1}{2}\log_5(c) = 4 + \frac{3}{2}(\log_5(a) + \log_5(b)) - \frac{1}{2}\log_5(c)$. Раскрывая скобки, получаем: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) - \frac{1}{2}\log_5(c)$. Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) - \frac{1}{2}\log_5(c)$.

в) Прологарифмируем выражение $\frac{25\sqrt{5} a^6 b^7}{c^3}$ по основанию 5. Сначала упростим числовой коэффициент: $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$. Теперь логарифмируем выражение $\log_5\left(\frac{5^{\frac{5}{2}} a^6 b^7}{c^3}\right)$. Используя свойства логарифмов частного, произведения и степени, последовательно получаем: $\log_5(5^{\frac{5}{2}} a^6 b^7) - \log_5(c^3) = \log_5(5^{\frac{5}{2}}) + \log_5(a^6) + \log_5(b^7) - \log_5(c^3) = \frac{5}{2}\log_5(5) + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$. Так как $\log_5(5) = 1$, окончательный результат: $\frac{5}{2} + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$. Ответ: $\frac{5}{2} + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$.

г) Прологарифмируем выражение $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$ по основанию 5. Сначала вынесем степень $-3$ за знак логарифма: $\log_5\left(\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}\right) = -3\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)$. Преобразуем корень в степень: $\sqrt[5]{b^2} = b^{\frac{2}{5}}$. Применим свойство логарифма частного: $-3(\log_5(a^6) - \log_5(b^{\frac{2}{5}}))$. Теперь применим свойство логарифма степени: $-3(6\log_5(a) - \frac{2}{5}\log_5(b))$. Раскрыв скобки, получаем: $-18\log_5(a) + \frac{6}{5}\log_5(b)$. Ответ: $-18\log_5(a) + \frac{6}{5}\log_5(b)$.

Вычислите:

43.19 a) $log_{\sqrt{2}}\left(\sin \frac{\pi}{8}\right) + log_{\sqrt{2}}\left(2 \cos \frac{\pi}{8}\right);$

б) $log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6}\right);$

в) $log_{\frac{1}{2}}\left(2 \sin \frac{\pi}{12}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12}\right);$

г) $log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}\right) + log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}\right).$

а) $log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{8}) + log_{\sqrt{2}}(2 \cos\frac{\pi}{8})$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{8} \cdot 2 \cos\frac{\pi}{8}) = log_{\sqrt{2}}(2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8})$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

$log_{\sqrt{2}}(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8})) = log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в выражение.

$log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2})$

Чтобы вычислить логарифм, представим его аргумент в виде степени основания: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$.

Таким образом, $log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^{-1}) = -1$.

Ответ: -1

б) $log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}) + log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}((\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}))$

В аргументе логарифма применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$log_{\frac{1}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{6} - \sin^2\frac{\pi}{6})$

Полученное выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

$log_{\frac{1}{2}}(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6})) = log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{3})$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$

Ответ: 1

в) $log_{\frac{1}{2}}(2 \sin\frac{\pi}{12}) + log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{12})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}(2 \sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках является формулой синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, где $\alpha=\frac{\pi}{12}$.

$log_{\frac{1}{2}}(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12})) = log_{\frac{1}{2}}(\sin\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$

Ответ: 1

г) $log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12}) + log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}((\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12})(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}))$

В аргументе логарифма применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{12} - \sin^2\frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})) = log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1$

Ответ: 1

43.12 a) $\frac{\frac{1}{2} \log_3 64 - 2 \log_3 2}{\log_3 2}$;

б) $\frac{\log_6 12 + 2 \log_6 2}{\frac{1}{3} \log_6 27 + 4 \log_6 2}$;

в) $\frac{2 \log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10}}{\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4}$;

г) $\frac{\log_{0.3} 16}{\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30}$.

а) $\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2}{\log_3 2}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала преобразуем числитель дроби.

1. Применим свойство степени логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ к обоим слагаемым в числителе:

$\frac{1}{2}\log_3 64 = \log_3 64^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{64} = \log_3 8$

$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$

2. Теперь числитель принимает вид разности логарифмов:

$\log_3 8 - \log_3 4$

3. Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$:

$\log_3 8 - \log_3 4 = \log_3 \frac{8}{4} = \log_3 2$

4. Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1$

Ответ: 1

б) $\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель. Используем свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$:

$\log_6 12 + 2\log_6 2 = \log_6 12 + \log_6 2^2 = \log_6 12 + \log_6 4 = \log_6 (12 \cdot 4) = \log_6 48$

2. Преобразуем знаменатель. Аналогично используем свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2 = \log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4 = \log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3 \cdot 16) = \log_6 48$

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1$

Ответ: 1

в) $\frac{2\log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10}}{\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель. Применим свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$:

$2\log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} 2^2 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} 4 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} (4\sqrt{10})$

2. Преобразуем знаменатель. Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ и свойство суммы логарифмов:

$\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} (4\sqrt{10})$

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_{0.5} (4\sqrt{10})}{\log_{0.5} (4\sqrt{10})} = 1$

Ответ: 1

г) $\frac{\log_{0.3} 16}{\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30}$

Преобразуем числитель и знаменатель, применяя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель, используя свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$:

$\log_{0.3} 16 = \log_{0.3} 2^4 = 4\log_{0.3} 2$

2. Преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$:

$\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30 = \log_{0.3} \frac{15}{30} = \log_{0.3} \frac{1}{2}$

3. Используем свойство степени для знаменателя:

$\log_{0.3} \frac{1}{2} = \log_{0.3} 2^{-1} = -1 \cdot \log_{0.3} 2 = -\log_{0.3} 2$

4. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{4\log_{0.3} 2}{-\log_{0.3} 2}$

5. Сократим дробь на $\log_{0.3} 2$:

$\frac{4}{-1} = -4$

Ответ: -4

43.16 Известно, что $ \log_3 2 = a $ и $ \log_3 5 = b $. Выразите через $ a $ и $ b $:

а) $ \log_3 10 $;

б) $ \log_3 20 $;

в) $ \log_3 50 $;

г) $ \log_3 200 $.

Дано: $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$.

Для решения задачи будем использовать следующие свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$
• Логарифм степени: $\log_c(x^k) = k \log_c x$

а)

Чтобы выразить $\log_3 10$ через $a$ и $b$, представим число 10 в виде произведения чисел, логарифмы которых нам известны: $10 = 2 \cdot 5$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_3 10 = \log_3 (2 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 5$.

Теперь подставим заданные значения $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$:

$\log_3 10 = a + b$.

Ответ: $a + b$.

б)

Чтобы выразить $\log_3 20$, представим 20 в виде произведения простых множителей: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени:

$\log_3 20 = \log_3 (2^2 \cdot 5) = \log_3 (2^2) + \log_3 5 = 2 \log_3 2 + \log_3 5$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$\log_3 20 = 2a + b$.

Ответ: $2a + b$.

в)

Выразим $\log_3 50$. Разложим 50 на простые множители: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$.

Используя свойства логарифмов, получаем:

$\log_3 50 = \log_3 (2 \cdot 5^2) = \log_3 2 + \log_3 (5^2) = \log_3 2 + 2 \log_3 5$.

Подставим $a$ и $b$:

$\log_3 50 = a + 2b$.

Ответ: $a + 2b$.

г)

Выразим $\log_3 200$. Разложим 200 на простые множители: $200 = 8 \cdot 25 = 2^3 \cdot 5^2$.

Применим свойства логарифмов:

$\log_3 200 = \log_3 (2^3 \cdot 5^2) = \log_3 (2^3) + \log_3 (5^2) = 3 \log_3 2 + 2 \log_3 5$.

Подставим $a$ и $b$:

$\log_3 200 = 3a + 2b$.

Ответ: $3a + 2b$.

43.13 Известно, что положительные числа $x, a, b$ и $c$ связаны соотношением $x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$. Выразите $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$.

Чтобы выразить $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$, мы начнем с данного соотношения и прологарифмируем обе его части по основанию $n$.

Исходное соотношение: $x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$.

Логарифмируем обе части по основанию $n$:
$\log_n x = \log_n \left(\frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}\right)$

Применяем свойство логарифма частного $\log_k \left(\frac{M}{N}\right) = \log_k M - \log_k N$:
$\log_n x = \log_n(a^2 c^3) - \log_n(\sqrt{b})$

Далее, применяем свойство логарифма произведения $\log_k (M \cdot N) = \log_k M + \log_k N$ к первому слагаемому:
$\log_n x = \log_n(a^2) + \log_n(c^3) - \log_n(\sqrt{b})$

Наконец, используем свойство логарифма степени $\log_k (M^p) = p \log_k M$. Также представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{b} = b^{1/2}$.
$\log_n x = 2 \log_n a + 3 \log_n c - \frac{1}{2} \log_n b$

Переставим слагаемые для удобства:
$\log_n x = 2 \log_n a - \frac{1}{2} \log_n b + 3 \log_n c$

Ответ: $\log_n x = 2 \log_n a - \frac{1}{2} \log_n b + 3 \log_n c$

43.17 Известно, что $log_5 3 = m$ и $log_5 2 = n$. Выразите через $m$ и $n$:

а) $log_5 6$;

б) $log_5 18$;

в) $log_5 24$;

г) $log_5 72$.

а) Для того чтобы выразить $\log_5 6$ через $m$ и $n$, представим число 6 в виде произведения его простых множителей: $6 = 2 \times 3$.

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, получаем:

$\log_5 6 = \log_5 (2 \times 3) = \log_5 2 + \log_5 3$

Подставим известные значения из условия, что $\log_5 3 = m$ и $\log_5 2 = n$:

$\log_5 6 = n + m$

Ответ: $m+n$.

б) Чтобы выразить $\log_5 18$, разложим число 18 на простые множители: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$.

Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени $\log_a(x^k) = k \log_a x$:

$\log_5 18 = \log_5 (2 \times 3^2) = \log_5 2 + \log_5 (3^2) = \log_5 2 + 2\log_5 3$

Подставляем заданные значения $m$ и $n$:

$\log_5 18 = n + 2m$

Ответ: $2m+n$.

в) Для выражения $\log_5 24$ разложим число 24 на простые множители: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$.

Используя свойства логарифма произведения и степени, получаем:

$\log_5 24 = \log_5 (2^3 \times 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3$

Подставим $m$ и $n$ в полученное выражение:

$\log_5 24 = 3n + m$

Ответ: $m+3n$.

г) Для выражения $\log_5 72$ разложим число 72 на простые множители: $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.

Применим свойства логарифмов произведения и степени:

$\log_5 72 = \log_5 (2^3 \times 3^2) = \log_5 (2^3) + \log_5 (3^2) = 3\log_5 2 + 2\log_5 3$

Подставим известные значения из условия:

$\log_5 72 = 3n + 2m$

Ответ: $2m+3n$.