Страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.23 a) $x + 2 = \log_8 x;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x - 5;$

в) $3x + 7 = \log_7 x;$

г) $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x - 6.$

а)

Рассмотрим уравнение $x + 2 = \log_8 x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется аргументом логарифма: $x > 0$.

Для решения этого уравнения проанализируем поведение функций в левой и правой частях. Пусть $y_1(x) = x + 2$ и $y_2(x) = \log_8 x$.

Функция $y_1(x) = x + 2$ является линейной возрастающей функцией (ее производная $y_1'(x) = 1 > 0$).

Функция $y_2(x) = \log_8 x$ является логарифмической возрастающей функцией, так как основание $8 > 1$ (ее производная $y_2'(x) = \frac{1}{x \ln 8} > 0$ для $x > 0$).

Поскольку обе функции возрастающие, у уравнения может быть ноль, одно или два решения. Чтобы определить количество решений, исследуем функцию $h(x) = y_1(x) - y_2(x) = x + 2 - \log_8 x$. Корни уравнения $h(x)=0$ являются решениями исходного уравнения.

Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (x + 2 - \log_8 x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 8}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $1 - \frac{1}{x \ln 8} = 0 \implies x = \frac{1}{\ln 8}$.

Найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремума: $h''(x) = (1 - \frac{1}{x \ln 8})' = \frac{1}{x^2 \ln 8}$. Так как $x > 0$ и $\ln 8 > 0$, то $h''(x) > 0$. Следовательно, в точке $x_0 = \frac{1}{\ln 8}$ функция $h(x)$ имеет минимум.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 8}) = \frac{1}{\ln 8} + 2 - \log_8(\frac{1}{\ln 8}) = \frac{1}{\ln 8} + 2 - \frac{\ln(1/\ln 8)}{\ln 8} = \frac{1}{\ln 8} + 2 + \frac{\ln(\ln 8)}{\ln 8} = \frac{1 + \ln(\ln 8)}{\ln 8} + 2$.

Поскольку $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2 \approx 2.079 > 1$, то $\ln(\ln 8) > 0$. Таким образом, числитель $1 + \ln(\ln 8)$ и знаменатель $\ln 8$ положительны. Вся дробь положительна. Значит, $h_{min} > 2 > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ строго больше нуля. Это означает, что $h(x) = x + 2 - \log_8 x > 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, $x+2 > \log_8 x$ всегда, и графики функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ не пересекаются.

Ответ: решений нет.

б)

Рассмотрим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x - 5$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2(x) = -2x - 5$.

Функция $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ является логарифмической убывающей функцией, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

Функция $y_2(x) = -2x - 5$ является линейной убывающей функцией (ее производная $y_2'(x) = -2 < 0$).

Поскольку обе функции убывающие, у уравнения может быть ноль, одно или несколько решений. Исследуем функцию разности $h(x) = y_1(x) - y_2(x) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2x + 5$.

Найдем производную: $h'(x) = \frac{1}{x \ln(1/3)} + 2 = 2 - \frac{1}{x \ln 3}$.

Найдем точку экстремума: $2 - \frac{1}{x \ln 3} = 0 \implies x = \frac{1}{2 \ln 3}$.

Вторая производная $h''(x) = (2 - \frac{1}{x \ln 3})' = \frac{1}{x^2 \ln 3} > 0$ для $x > 0$. Значит, в точке $x_0 = \frac{1}{2 \ln 3}$ функция $h(x)$ имеет минимум.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h_{min} = h(\frac{1}{2 \ln 3}) = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{2 \ln 3}) + 2(\frac{1}{2 \ln 3}) + 5 = -\log_3(\frac{1}{2 \ln 3}) + \frac{1}{\ln 3} + 5 = \log_3(2 \ln 3) + \frac{1}{\ln 3} + 5$.

$h_{min} = \frac{\ln(2 \ln 3)}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 3} + 5 = \frac{1 + \ln(2 \ln 3)}{\ln 3} + 5$.

Так как $\ln 3 \approx 1.098 > 1$, то $2 \ln 3 > 1$, и $\ln(2 \ln 3) > 0$. Все слагаемые в выражении для $h_{min}$ положительны, следовательно $h_{min} > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно, значит $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Это означает, что $\log_{\frac{1}{3}} x > -2x - 5$ всегда, и графики функций не пересекаются.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим уравнение $3x + 7 = \log_7 x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $y_1(x) = 3x + 7$ (линейная возрастающая) и $y_2(x) = \log_7 x$ (логарифмическая возрастающая, основание $7>1$).

Рассмотрим функцию разности $h(x) = y_1(x) - y_2(x) = 3x + 7 - \log_7 x$.

Ее производная: $h'(x) = 3 - \frac{1}{x \ln 7}$.

Точка экстремума: $3 - \frac{1}{x \ln 7} = 0 \implies x = \frac{1}{3 \ln 7}$.

Вторая производная $h''(x) = \frac{1}{x^2 \ln 7} > 0$, следовательно, это точка минимума.

Минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{3 \ln 7}) = 3(\frac{1}{3 \ln 7}) + 7 - \log_7(\frac{1}{3 \ln 7}) = \frac{1}{\ln 7} + 7 - \frac{\ln(1/(3\ln 7))}{\ln 7} = \frac{1}{\ln 7} + 7 + \frac{\ln(3 \ln 7)}{\ln 7}$.

$h_{min} = \frac{1 + \ln(3 \ln 7)}{\ln 7} + 7$.

Так как $\ln 7 \approx 1.946 > 1$, то $3 \ln 7 > 1$, и $\ln(3 \ln 7) > 0$. Все слагаемые положительны, значит $h_{min} > 0$.

Минимальное значение $h(x)$ положительно, поэтому $h(x) > 0$ для всех $x>0$. Графики не пересекаются.

Ответ: решений нет.

г)

Рассмотрим уравнение $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x - 6$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $y_1(x) = \log_{\frac{2}{5}} x$ (логарифмическая убывающая, основание $0 < 2/5 < 1$) и $y_2(x) = -5x - 6$ (линейная убывающая).

Рассмотрим функцию разности $h(x) = y_1(x) - y_2(x) = \log_{\frac{2}{5}} x + 5x + 6$.

Ее производная: $h'(x) = \frac{1}{x \ln(2/5)} + 5 = 5 - \frac{1}{x \ln(5/2)}$.

Точка экстремума: $5 - \frac{1}{x \ln(5/2)} = 0 \implies x = \frac{1}{5 \ln(5/2)}$.

Вторая производная $h''(x) = \frac{1}{x^2 \ln(5/2)} > 0$ (так как $\ln(5/2)>0$), следовательно, это точка минимума.

Минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{5 \ln(5/2)}) = \log_{\frac{2}{5}}(\frac{1}{5 \ln(5/2)}) + 5(\frac{1}{5 \ln(5/2)}) + 6 = \frac{\ln(1/(5\ln(5/2)))}{\ln(2/5)} + \frac{1}{\ln(5/2)} + 6$.

Используя $\ln(2/5) = -\ln(5/2)$, получаем:

$h_{min} = \frac{-\ln(5 \ln(5/2))}{-\ln(5/2)} + \frac{1}{\ln(5/2)} + 6 = \frac{1 + \ln(5 \ln(5/2))}{\ln(5/2)} + 6$.

Так как $5/2 > 1$, то $\ln(5/2) > 0$. Также $5 \ln(5/2) = \ln((5/2)^5) = \ln(3125/32) > \ln(97) > 1$, поэтому $\ln(5 \ln(5/2)) > 0$. Все слагаемые положительны, значит $h_{min} > 0$.

Минимальное значение $h(x)$ положительно, поэтому $h(x) > 0$ для всех $x>0$. Графики не пересекаются.

Ответ: решений нет.

42.27 Решите неравенство:

a) $\log_{3}x \leq 4 - x;$

б) $\log_{\frac{1}{2}}x < x + \frac{1}{2};$

в) $\log_{5}x \geq 6 - x;$

г) $\log_{\frac{1}{3}}x > x + \frac{2}{3}.$

а) $\log_3 x \le 4 - x$

Данное неравенство является трансцендентным и решается с помощью анализа свойств функций, стоящих в левой и правой частях.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$.

3. Проанализируем монотонность функций.

• Функция $f(x) = \log_3 x$ является логарифмической с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.
• Функция $g(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

4. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_3 x = 4 - x$
Методом подбора легко найти корень. Проверим $x=3$:
$\log_3 3 = 1$
$4 - 3 = 1$
Так как $1=1$, то $x=3$ является единственным корнем уравнения.

5. Вернемся к неравенству $\log_3 x \le 4 - x$.
При $x=3$ левая и правая части равны.
При $x > 3$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет выполняться $f(x) > f(3)$ и $g(x) < g(3)$, то есть $\log_3 x > 4 - x$.
При $0 < x < 3$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет выполняться $f(x) < f(3)$ и $g(x) > g(3)$, то есть $\log_3 x < 4 - x$.
Нам нужно найти решения для $\log_3 x \le 4 - x$. Это выполняется при $0 < x \le 3$.

Ответ: $(0, 3]$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x + \frac{1}{2}$.

3. Анализ монотонности:

• Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является логарифмической с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает.
• Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ является линейной с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она строго возрастает.

4. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$.
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, у уравнения может быть не более одного корня.
Подберем корень. Попробуем $x = \frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Так как $1=1$, то $x=\frac{1}{2}$ — единственный корень.

5. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
При $x = \frac{1}{2}$ части равны.
При $x > \frac{1}{2}$, так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, будет выполняться $f(x) < f(\frac{1}{2})$ и $g(x) > g(\frac{1}{2})$, то есть $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
При $0 < x < \frac{1}{2}$, будет выполняться $\log_{\frac{1}{2}} x > x + \frac{1}{2}$.
Следовательно, решение неравенства — это $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

в) $\log_5 x \ge 6 - x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_5 x$ (возрастающая, т.к. основание $5 > 1$) и $g(x) = 6 - x$ (убывающая).

3. Найдем единственную точку пересечения из уравнения $\log_5 x = 6 - x$.
Подбором находим, что $x=5$ является корнем:
$\log_5 5 = 1$
$6 - 5 = 1$
Равенство верно.

4. Решаем неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$.
При $x=5$ достигается равенство.
При $x > 5$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет $f(x) > g(x)$, то есть $\log_5 x > 6-x$.
При $0 < x < 5$, будет $\log_5 x < 6-x$.
Нас интересует случай "больше или равно", что выполняется при $x \ge 5$.

Ответ: $[5, +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ (убывающая, т.к. основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $g(x) = x + \frac{2}{3}$ (возрастающая).

3. Найдем единственную точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$.
Подберем корень. Попробуем $x = \frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$
$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
Равенство верно, значит $x = \frac{1}{3}$ — корень.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
При $x = \frac{1}{3}$ части равны.
При $x > \frac{1}{3}$, так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, будет $f(x) < g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{3}} x < x + \frac{2}{3}$.
При $0 < x < \frac{1}{3}$, будет $f(x) > g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
Решение неравенства — это $0 < x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $(0, \frac{1}{3})$.

Решите неравенство:

42.24 а) $ \log_6 x \ge 2; $

б) $ \log_{0,1} x > 3; $

в) $ \log_9 x \le \frac{1}{2}; $

г) $ \log_{\frac{4}{5}} x < 3. $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Решим неравенство $\log_6 x \ge 2$. Основание логарифма $6$ больше 1, следовательно, логарифмическая функция $y = \log_6 x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть неравенства как логарифм с основанием 6: $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$.
Получаем неравенство: $\log_6 x \ge \log_6 36$.
Отсюда следует, что $x \ge 36$.
3. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение $x \ge 36$.
Ответ: $[36; +\infty)$.

1. ОДЗ для неравенства $\log_{0,1} x > 3$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть: $3 = \log_{0,1} (0,1)^3 = \log_{0,1} 0,001$.
Получаем неравенство: $\log_{0,1} x > \log_{0,1} 0,001$.
Отсюда следует, что $x < 0,001$.
3. Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый интервал $0 < x < 0,001$.
Ответ: $(0; 0,001)$.

1. ОДЗ для неравенства $\log_9 x \le \frac{1}{2}$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $9$ больше 1, значит, функция $y = \log_9 x$ является возрастающей. Знак неравенства при потенцировании сохраняется.
Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_9 9^{\frac{1}{2}} = \log_9 \sqrt{9} = \log_9 3$.
Получаем неравенство: $\log_9 x \le \log_9 3$.
Отсюда следует, что $x \le 3$.
3. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 3$.
Ответ: $(0; 3]$.

1. ОДЗ для неравенства $\log_{\frac{4}{5}} x < 3$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $\frac{4}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, значит, функция $y = \log_{\frac{4}{5}} x$ является убывающей. Знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный.
Представим правую часть: $3 = \log_{\frac{4}{5}} (\frac{4}{5})^3 = \log_{\frac{4}{5}} \frac{64}{125}$.
Получаем неравенство: $\log_{\frac{4}{5}} x < \log_{\frac{4}{5}} \frac{64}{125}$.
Отсюда следует, что $x > \frac{64}{125}$.
3. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение $x > \frac{64}{125}$.
Ответ: $(\frac{64}{125}; +\infty)$.

42.28 При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции:

a) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

б) $y = \log_{0.5} x$, $y = x - 1$;

в) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, $y = 7x$;

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$?

а) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ лежит выше графика функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:
$\log_2 x > -x + 1$
Область определения логарифмической функции: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = -x + 1$. Функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $2 > 1$. Функция $g(x) = -x + 1$ является убывающей на всей числовой прямой, так как угловой коэффициент равен $-1$.
Возрастающая и убывающая функции могут пересекаться не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_2 x = -x + 1$.
Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем уравнения: $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.
Так как $x=1$ — единственная точка пересечения, то на одном из интервалов $(0, 1)$ или $(1, +\infty)$ выполняется исходное неравенство. Поскольку функция $\log_2 x$ возрастает, а функция $-x+1$ убывает, то при $x > 1$ значения функции $\log_2 x$ будут больше значений функции $-x+1$.
Проверим, взяв точку $x=2$: $\log_2 2 = 1$, а $-2 + 1 = -1$. Неравенство $1 > -1$ верно. Следовательно, график логарифмической функции лежит выше графика линейной при $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = \log_{0.5} x$ лежит выше графика функции $y = x - 1$, необходимо решить неравенство:
$\log_{0.5} x > x - 1$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = x - 1$. Функция $f(x) = \log_{0.5} x$ является убывающей, так как основание $0.5 < 1$. Функция $g(x) = x - 1$ является возрастающей, так как угловой коэффициент равен $1$.
Убывающая и возрастающая функции могут пересекаться не более одного раза. Найдем точку пересечения из уравнения $\log_{0.5} x = x - 1$.
Методом подбора находим корень $x=1$: $\log_{0.5} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$.
Так как $x=1$ — единственная точка пересечения, то неравенство $\log_{0.5} x > x - 1$ будет выполняться либо при $0 < x < 1$, либо при $x > 1$. Поскольку функция $\log_{0.5} x$ убывает, а $x-1$ возрастает, то при $0 < x < 1$ значения логарифмической функции будут больше значений линейной.
Проверим, взяв точку $x=0.5$: $\log_{0.5} 0.5 = 1$, а $0.5 - 1 = -0.5$. Неравенство $1 > -0.5$ верно. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0, 1)$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.

в) Требуется найти значения $x$, для которых выполняется неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}} x > 7x$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = 7x$. Функция $f(x)$ является убывающей (основание $1/3 < 1$), а функция $g(x)$ — возрастающей (коэффициент $7 > 0$). Следовательно, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.
Пусть $x_0$ — абсцисса точки пересечения, то есть корень уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x_0 = 7x_0$. Данное уравнение не решается аналитически в элементарных функциях.
Поскольку $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться для всех $x$, которые меньше точки пересечения $x_0$.
С учетом области определения $x > 0$, решением неравенства является интервал $(0, x_0)$.
Ответ: $x \in (0, x_0)$, где $x_0$ — корень уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 7x$.

г) Требуется найти значения $x$, для которых выполняется неравенство:
$\log_3 x > -3x$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = -3x$. Функция $f(x)$ является возрастающей (основание $3 > 1$). Функция $g(x)$ является убывающей (коэффициент $-3 < 0$).
Возрастающая и убывающая функции пересекаются не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_3 x = -3x$.
Перепишем уравнение в виде $\log_3 x + 3x = 0$.
Методом подбора находим корень $x=1/3$: $\log_3 (1/3) + 3 \cdot (1/3) = -1 + 1 = 0$.
Так как $x=1/3$ — единственная точка пересечения, а функция $\log_3 x$ возрастает, а $-3x$ убывает, то неравенство $\log_3 x > -3x$ будет выполняться при $x > 1/3$.
Проверим, взяв точку $x=1$: $\log_3 1 = 0$, а $-3 \cdot 1 = -3$. Неравенство $0 > -3$ верно. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(1/3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (1/3, +\infty)$.

42.25 а) $\log_9 x \le -1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4;$

в) $\log_5 x \ge -2;$

г) $\log_{0.2} x > -3.$

а) Исходное неравенство: $\log_9 x \le -1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго положительным: $x > 0$.
Теперь решим само неравенство. Для этого представим правую часть неравенства в виде логарифма по тому же основанию, что и в левой части, то есть по основанию 9. Используя свойство $a = \log_b b^a$, получаем: $-1 = \log_9 9^{-1} = \log_9 \frac{1}{9}$.
Теперь неравенство можно переписать в виде: $\log_9 x \le \log_9 \frac{1}{9}$.
Так как основание логарифма $9 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_9 t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x \le \frac{1}{9}$.
Чтобы найти окончательное решение, необходимо учесть ОДЗ. Составим систему из двух условий: $\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{9} \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $0 < x \le \frac{1}{9}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{9}]$.

б) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, следовательно, $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-4 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-4}$.
Вычислим значение степени: $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{4} = 81$.
Таким образом, $-4 = \log_{\frac{1}{3}} 81$. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 81$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x > 81$.
Теперь объединим это решение с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x > 81 \end{cases}$.
Пересечением этих двух условий является $x > 81$.
Ответ: $(81; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\log_5 x \ge -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 5: $-2 = \log_5 5^{-2} = \log_5 \frac{1}{5^2} = \log_5 \frac{1}{25}$.
Неравенство переписывается в виде: $\log_5 x \ge \log_5 \frac{1}{25}$.
Основание логарифма $a = 5 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется: $x \ge \frac{1}{25}$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем систему: $\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{25} \end{cases}$.
Так как $\frac{1}{25} > 0$, решением системы будет $x \ge \frac{1}{25}$.
Ответ: $[\frac{1}{25}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\log_{0.2} x > -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим основание логарифма $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь представим правую часть неравенства, число -3, как логарифм по основанию $\frac{1}{5}$: $-3 = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-3}$.
Вычислим значение степени: $(\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.
Таким образом, $-3 = \log_{\frac{1}{5}} 125$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} x > \log_{\frac{1}{5}} 125$.
Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$, и так как $0 < \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x < 125$.
Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x < 125 \end{cases}$.
Решением системы является двойное неравенство $0 < x < 125$.
Ответ: $(0; 125)$.

42.29 При каких значениях $x$ график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = 3x - 2?$

Чтобы найти значения $x$, при которых график логарифмической функции лежит ниже графика линейной функции, необходимо решить соответствующее неравенство: логарифмическая функция < линейная функция.

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$

Необходимо решить неравенство:

$\log_4(x - 1) < -x + 2$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Анализ функций. Рассмотрим функции $f(x) = \log_4(x - 1)$ и $g(x) = -x + 2$.

Функция $f(x)$ является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $4 > 1$.

Функция $g(x)$ является убывающей, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_4(x - 1) = -x + 2$

Подбором находим корень. При $x = 2$:

Левая часть: $\log_4(2 - 1) = \log_4(1) = 0$.

Правая часть: $-2 + 2 = 0$.

Следовательно, $x = 2$ — единственная точка пересечения.

4. Решение неравенства. Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$ левее точки пересечения, то есть при $x < 2$.

5. Итоговый ответ. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$x < 2$ и $x > 1 \implies 1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = 3x - 2$

Необходимо решить неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < 3x - 2$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x + 4 > 0 \implies x > -4$

ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

2. Анализ функций. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ и $g(x) = 3x - 2$.

Функция $f(x)$ является убывающей на всей области определения, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Функция $g(x)$ является возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $3$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) = 3x - 2$

Подбором находим корень. При $x = 0$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}}(4) = -2$.

Правая часть: $3 \cdot 0 - 2 = -2$.

Следовательно, $x = 0$ — единственная точка пересечения.

4. Решение неравенства. Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$ правее точки пересечения, то есть при $x > 0$.

5. Итоговый ответ. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$x > 0$ и $x > -4 \implies x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

42.26 Решите графически неравенство:

а) $\log_2 x \ge -x + 1$;

б) $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$;

в) $\log_9 x \le -x + 1$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$.

а) Чтобы решить неравенство $log_2 x \ge -x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_2 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=1$. Если $y=0$, то $x=1$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно найти, приравняв функции: $\log_2 x = -x + 1$. Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения: $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$. Таким образом, точка пересечения — $(1, 0)$.

Неравенство $\log_2 x \ge -x + 1$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика функции $y = -x + 1$. Из графика видно, что это происходит для всех $x$ начиная с точки пересечения и правее, то есть при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$ графически, построим графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ — логарифмическая кривая. Основание $0 < \frac{3}{7} < 1$, поэтому функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$.

2. График функции $y = 4x - 4$ — прямая. Найдем точки для построения: при $x=0$, $y=-4$; при $x=1$, $y=0$. Прямая проходит через точки $(0, -4)$ и $(1, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Из построения видно, что оба графика проходят через точку $(1, 0)$. Проверим: $\log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$ и $4(1) - 4 = 0$. Значит, $x=1$ — абсцисса точки пересечения.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ находится строго выше графика $y = 4x - 4$. Поскольку логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, график логарифма будет выше левее точки их пересечения. Учитывая область определения логарифма ($x>0$), решение неравенства — это интервал от $0$ до $1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $\log_9 x \le -x + 1$ графически, построим графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$ — возрастающая (т.к. основание $9 > 1$) логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(9, 1)$. Область определения: $x > 0$.

2. График функции $y = -x + 1$ — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ (как в пункте а).

Графики пересекаются в точке $(1, 0)$, так как $\log_9 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.

Решением неравенства $\log_9 x \le -x + 1$ являются те значения $x$, при которых график логарифмической функции лежит не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика прямой. Это наблюдается для значений $x$ левее точки пересечения, включая саму точку. С учетом области определения $x > 0$, получаем $0 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

г) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$ графически, построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая (т.к. основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) логарифмическая кривая. Она проходит через точки $(1, 0)$, $(\frac{1}{3}, 1)$, $(3, -1)$. Область определения: $x > 0$.

2. График функции $y = 2x - 2$ — прямая. Для построения возьмем точки: при $x=1$, $y=0$; при $x=2$, $y=2$. Прямая проходит через $(1, 0)$ и $(2, 2)$.

Оба графика пересекаются в точке $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ и $2(1) - 2 = 0$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график логарифма $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ находится строго ниже графика прямой $y = 2x - 2$. Так как логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, это будет происходить правее точки их пересечения. Таким образом, решение неравенства — это $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

Вычислите:

43.1 a) $ \log_6 12 + \log_6 3; $

б) $ \lg 25 + \lg 4; $

в) $ \log_{26} 2 + \log_{26} 13; $

г) $ \log_{12} 4 + \log_{12} 36. $

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством логарифма: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 (12 \cdot 3) = \log_6 36$.

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_6 36$ — это степень, в которую нужно возвести основание 6, чтобы получить число 36. Так как $6^2 = 36$, то:

$\log_6 36 = 2$.

Ответ: 2

б) Выражение $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Для решения также используем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \cdot 4) = \lg 100$.

Десятичный логарифм $\lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то:

$\lg 100 = 2$.

Ответ: 2

в) Снова используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_{26} 2 + \log_{26} 13 = \log_{26} (2 \cdot 13) = \log_{26} 26$.

По основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому же числу, равен единице: $\log_a a = 1$. Следовательно:

$\log_{26} 26 = 1$.

Ответ: 1

г) Применяем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144$.

Чтобы найти значение $\log_{12} 144$, нужно определить, в какую степень следует возвести 12, чтобы получить 144. Так как $12^2 = 144$, то:

$\log_{12} 144 = 2$.

Ответ: 2