Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.2 a) $\log_3(x^2 + 6) = \log_3 5x;$

Б) $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}} 50x;$

В) $\lg(x^2 - 6) = \lg(8 + 5x);$

Г) $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x).$

а) $log_3(x^2 + 6) = log_3(5x)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы. Уравнение равносильно системе, где мы должны учесть область допустимых значений (ОДЗ), а именно, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$$ \begin{cases} x^2 + 6 = 5x, \\ 5x > 0. \end{cases} $$ Заметим, что условие $x^2 + 6 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 6$ всегда положительно. Поэтому его можно не включать в систему.

Решим первое уравнение системы, которое является квадратным: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы $5x > 0$, что эквивалентно $x > 0$.

При $x_1 = 2$: $2 > 0$. Корень подходит.

При $x_2 = 3$: $3 > 0$. Корень также подходит.

Ответ: 2; 3.

б) $log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = log_{\frac{1}{2}}(50x)$

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 7x^2 - 200 = 50x, \\ 50x > 0. \end{cases} $$ (Из равенства $7x^2 - 200 = 50x$ и условия $50x > 0$ автоматически следует, что $7x^2 - 200 > 0$, поэтому это условие можно не проверять отдельно).

Решим квадратное уравнение: $7x^2 - 50x - 200 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-200) = 2500 + 5600 = 8100 = 90^2$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{50 - 90}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$. $x_2 = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $50x > 0$, то есть $x > 0$:

Корень $x_1 = -\frac{20}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, так как $-\frac{20}{7} < 0$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $x > 0$, так как $10 > 0$.

Ответ: 10.

в) $lg(x^2 - 6) = lg(8 + 5x)$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 6 = 8 + 5x, \\ x^2 - 6 > 0, \\ 8 + 5x > 0. \end{cases} $$ Сначала решим уравнение: $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -14. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить найденные корни, подставив их в неравенства ОДЗ.

Проверка для $x_1 = 7$: $7^2 - 6 = 49 - 6 = 43 > 0$ (верно). $8 + 5 \cdot 7 = 8 + 35 = 43 > 0$ (верно). Следовательно, $x = 7$ является решением.

Проверка для $x_2 = -2$: $(-2)^2 - 6 = 4 - 6 = -2$. Так как $-2 < 0$, условие $x^2 - 6 > 0$ не выполняется. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Ответ: 7.

г) $lg(x^2 - 8) = lg(2 - 9x)$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 8 = 2 - 9x, \\ x^2 - 8 > 0, \\ 2 - 9x > 0. \end{cases} $$ Решим уравнение из системы: $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение -10. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -10$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ.

Проверка для $x_1 = 1$: $1^2 - 8 = 1 - 8 = -7$. Так как $-7 < 0$, условие $x^2 - 8 > 0$ не выполняется. Следовательно, $x = 1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = -10$: $(-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 > 0$ (верно). $2 - 9(-10) = 2 + 90 = 92 > 0$ (верно). Следовательно, $x = -10$ является решением.

Ответ: -10.

44.6 a) $\log_{2}^{2}x - 4\log_{2}x + 3 = 0;$

б) $\log_{4}^{2}x - \log_{4}x - 2 = 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}}^{2}x + 3\log_{\frac{1}{2}}x + 2 = 0;$

г) $\log_{0.2}^{2}x + \log_{0.2}x - 6 = 0.$

а) Исходное уравнение: $log_2^2 x - 4\log_2 x + 3 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 3$. Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.
2) Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x = 2^3 = 8$.
Оба корня $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $2; 8$.

б) Исходное уравнение: $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_4 x$. ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_4 x$. Уравнение преобразуется к виду: $t^2 - t - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
1) Если $t = 2$, то $\log_4 x = 2$, откуда $x = 4^2 = 16$.
2) Если $t = -1$, то $\log_4 x = -1$, откуда $x = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Оба корня $x=16$ и $x=1/4$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}; 16$.

в) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$.
Уравнение является квадратным относительно $\log_{\frac{1}{2}} x$. ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Получим уравнение: $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Сделаем обратную замену:
1) Если $t = -1$, то $\log_{\frac{1}{2}} x = -1$, откуда $x = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
2) Если $t = -2$, то $\log_{\frac{1}{2}} x = -2$, откуда $x = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Корни $x=2$ и $x=4$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; 4$.

г) Исходное уравнение: $\log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_{0,2} x$. ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_{0,2} x$. Тогда получим: $t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -6$. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\log_{0,2} x = 2$, откуда $x = (0,2)^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.
2) Если $t = -3$, то $\log_{0,2} x = -3$, откуда $x = (0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.
Оба корня $x=1/25$ и $x=125$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{25}; 125$.

44.3 a) $log_{0,1}(x^2 + 4x - 20) = 0;$

б) $log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 10) = 0;$

В) $log_7(x^2 - 12x + 36) = 0;$

Г) $log_{12}(x^2 - 8x + 16) = 0.$

а) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{0.1}(x^2 + 4x - 20) = 0$
По определению логарифма, уравнение $\log_a(b) = c$ равносильно уравнению $b = a^c$, при условии, что $b>0$, $a>0$ и $a \ne 1$.
В данном случае $a=0.1$, $b=x^2 + 4x - 20$ и $c=0$.
Применим определение логарифма:
$x^2 + 4x - 20 = (0.1)^0$
Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:
$x^2 + 4x - 20 = 1$
Условие $x^2 + 4x - 20 > 0$ выполняется, так как мы приравниваем это выражение к 1.
Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 21 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $-7; 3$.

б) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 10) = 0$
По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:
$x^2 - 10x + 10 = (\frac{1}{3})^0$
$x^2 - 10x + 10 = 1$
Перенесем 1 влево:
$x^2 - 10x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.
В нашем случае:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 9$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Проверка: $1 + 9 = 10$ и $1 \cdot 9 = 9$.
Оба корня являются решением, так как выражение под логарифмом оказывается равным 1, что удовлетворяет области допустимых значений ($1>0$).

Ответ: $1; 9$.

в) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0$
Согласно определению логарифма:
$x^2 - 12x + 36 = 7^0$
$x^2 - 12x + 36 = 1$
Выражение в левой части является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
Получаем уравнение:
$(x - 6)^2 = 1$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x - 6 = 1$ или $x - 6 = -1$
Решаем каждое из двух линейных уравнений:
1) $x - 6 = 1 \implies x_1 = 7$
2) $x - 6 = -1 \implies x_2 = 5$
Область допустимых значений исходного логарифмического уравнения: $x^2 - 12x + 36 > 0$, то есть $(x-6)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=6$. Найденные корни $x=5$ и $x=7$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $5; 7$.

г) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{12}(x^2 - 8x + 16) = 0$
Используя определение логарифма, преобразуем уравнение:
$x^2 - 8x + 16 = 12^0$
$x^2 - 8x + 16 = 1$
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 4)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень, получаем два случая:
$x - 4 = 1$ или $x - 4 = -1$
Находим корни:
1) $x - 4 = 1 \implies x_1 = 5$
2) $x - 4 = -1 \implies x_2 = 3$
Область допустимых значений: $x^2 - 8x + 16 > 0$, или $(x-4)^2 > 0$, что верно для всех $x \ne 4$. Наши корни $x=3$ и $x=5$ не равны 4, следовательно, являются решениями.

Ответ: $3; 5$.

44.7 a) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0;$

б) $3 \log_4^2 x - 7 \log_4 x + 2 = 0;$

в) $2 \log_{0.3}^2 x - 7 \log_{0.3} x - 4 = 0;$

г) $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0.$

а) $2\log_5^2 x + 5\log_5 x + 2 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_5 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_5 x$.
Уравнение примет вид: $2t^2 + 5t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$.
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
1) $\log_5 x = -2 \implies x_1 = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
2) $\log_5 x = -\frac{1}{2} \implies x_2 = 5^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{25}; \frac{1}{\sqrt{5}}$.

б) $3\log_4^2 x - 7\log_4 x + 2 = 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_4 x$.
Уравнение примет вид: $3t^2 - 7t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Выполним обратную замену:
1) $\log_4 x = \frac{1}{3} \implies x_1 = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
2) $\log_4 x = 2 \implies x_2 = 4^2 = 16$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt[3]{4}; 16$.

в) $2\log_{0,3}^2 x - 7\log_{0,3} x - 4 = 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{0,3} x$.
Уравнение примет вид: $2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Выполним обратную замену:
1) $\log_{0,3} x = -\frac{1}{2} \implies x_1 = (0,3)^{-1/2} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}}$.
2) $\log_{0,3} x = 4 \implies x_2 = (0,3)^4 = (\frac{3}{10})^4 = \frac{81}{10000} = 0,0081$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt{\frac{10}{3}}; 0,0081$.

г) $3\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5\log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$.
Уравнение примет вид: $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Выполним обратную замену:
1) $\log_{\frac{1}{2}} x = -2 \implies x_1 = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
2) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3} \implies x_2 = (\frac{1}{2})^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.

44.4 a) $ \log_3(x^2 - 11x + 27) = 2; $

б) $ \log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1; $

В) $ \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3; $

Г) $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2. $

а) $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$
По определению логарифма, данное уравнение равносильно следующему:
$x^2 - 11x + 27 = 3^2$
$x^2 - 11x + 27 = 9$
$x^2 - 11x + 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 18. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 9$
Поскольку правая часть исходного уравнения после потенцирования равна $3^2=9$, что больше нуля, то область допустимых значений ($x^2 - 11x + 27 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $2; 9$.

б) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 + x - 5 = (\frac{1}{7})^{-1}$
$x^2 + x - 5 = 7$
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -4$
$x_2 = 3$
Поскольку $(\frac{1}{7})^{-1} = 7 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 + x - 5 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-4; 3$.

в) $\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 - 3x - 10 = 2^3$
$x^2 - 3x - 10 = 8$
$x^2 - 3x - 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -18. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -3$
$x_2 = 6$
Поскольку $2^3 = 8 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 - 3x - 10 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-3; 6$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 + 3x - 1 = (\frac{1}{3})^{-2}$
$x^2 + 3x - 1 = 3^2$
$x^2 + 3x - 1 = 9$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -10. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -5$
$x_2 = 2$
Поскольку $(\frac{1}{3})^{-2} = 9 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 + 3x - 1 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-5; 2$.

Решите уравнение:

44.1 а) $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3);$

б) $\log_6(14 - 4x) = \log_6(2x + 2);$

в) $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}} x;$

г) $\log_{0.2}(12x + 8) = \log_{0.2}(11x + 7).$

а) $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3)$

Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, в которой приравниваются подлогарифмические выражения и накладывается условие их положительности (область допустимых значений, ОДЗ).
$\begin{cases} 3x - 6 = 2x - 3 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Поскольку подлогарифмические выражения равны, достаточно проверить условие положительности только для одного из них.
Решим первое уравнение системы:
$3x - 2x = 6 - 3$
$x = 3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=3$ области допустимых значений, подставив его в неравенство $2x - 3 > 0$:
$2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$
$3 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 3$ является решением уравнения.
Ответ: $3$.

б) $\log_6(14 - 4x) = \log_6(2x + 2)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 14 - 4x = 2x + 2 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$14 - 2 = 2x + 4x$
$12 = 6x$
$x = \frac{12}{6}$
$x = 2$
Проверим корень по ОДЗ ($2x + 2 > 0$):
$2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6$
$6 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 2$ является решением уравнения.
Ответ: $2$.

в) $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}}(x)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 7x - 9 = x \\ x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$7x - x = 9$
$6x = 9$
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$
Проверим корень по ОДЗ ($x > 0$):
$1,5 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 1,5$ является решением уравнения.
Ответ: $1,5$.

г) $\log_{0,2}(12x + 8) = \log_{0,2}(11x + 7)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 12x + 8 = 11x + 7 \\ 11x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$12x - 11x = 7 - 8$
$x = -1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ ОДЗ ($11x + 7 > 0$):
$11 \cdot (-1) + 7 = -11 + 7 = -4$
Неравенство $-4 > 0$ является ложным.
Поскольку корень $x = -1$ не входит в область допустимых значений, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

44.5 a) $log_2(x^2 + 7x - 5) = log_2(4x - 1);$

б) $log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = log_{0,3}(10x - 7);$

в) $log_2(x^2 + x - 1) = log_2(-x + 7);$

г) $log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = log_{0,2}(-x - 31).$

а) $ \log_2(x^2 + 7x - 5) = \log_2(4x - 1) $

Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ равносильно системе, состоящей из уравнения $ f(x) = g(x) $ и одного из неравенств $ f(x) > 0 $ или $ g(x) > 0 $ (выбираем то, которое проще решать). Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 = 4x - 1 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases} $

Сначала решим уравнение:

$ x^2 + 7x - 5 - 4x + 1 = 0 $

$ x^2 + 3x - 4 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -3 $, а их произведение равно $ -4 $. Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -4 $.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $ 4x - 1 > 0 $, то есть $ x > \frac{1}{4} $.

При $ x_1 = 1 $: $ 1 > \frac{1}{4} $. Это верное неравенство, значит, корень подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 > \frac{1}{4} $. Это неверное неравенство, значит, корень является посторонним.

Ответ: $ 1 $

б) $ \log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0,3}(10x - 7) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -x^2 + 5x + 7 = 10x - 7 \\ 10x - 7 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ -x^2 + 5x + 7 - 10x + 7 = 0 $

$ -x^2 - 5x + 14 = 0 $

Умножим обе части на $ -1 $:

$ x^2 + 5x - 14 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -5 $, а их произведение равно $ -14 $. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -7 $.

Проверим корни по условию $ 10x - 7 > 0 $, то есть $ x > 0,7 $.

При $ x_1 = 2 $: $ 2 > 0,7 $. Это верно, корень подходит.

При $ x_2 = -7 $: $ -7 > 0,7 $. Это неверно, корень посторонний.

Ответ: $ 2 $

в) $ \log_2(x^2 + x - 1) = \log_2(-x + 7) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + x - 1 = -x + 7 \\ -x + 7 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ x^2 + x - 1 + x - 7 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -2 $, а их произведение равно $ -8 $. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ -x + 7 > 0 $, то есть $ x < 7 $.

При $ x_1 = 2 $: $ 2 < 7 $. Это верно, корень подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 < 7 $. Это верно, корень также подходит.

Ответ: $ -4; 2 $

г) $ \log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0,2}(-x - 31) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -x^2 + 4x + 5 = -x - 31 \\ -x - 31 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ -x^2 + 4x + 5 + x + 31 = 0 $

$ -x^2 + 5x + 36 = 0 $

Умножим обе части на $ -1 $:

$ x^2 - 5x - 36 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ 5 $, а их произведение равно $ -36 $. Корни уравнения: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ -x - 31 > 0 $, то есть $ -x > 31 $, или $ x < -31 $.

При $ x_1 = 9 $: $ 9 < -31 $. Это неверно, корень не подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 < -31 $. Это неверно, корень также не подходит.

Так как ни один из найденных корней не удовлетворяет области определения логарифмов, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет