Страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.2 a) $log_{144} 3 + log_{144} 4;$

б) $log_{\frac{1}{8}} 4 + log_{\frac{1}{8}} 2;$

в) $log_{216} 2 + log_{216} 3;$

г) $log_{12} \frac{1}{2} + log_{12} \frac{1}{72}.$

а) Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
Применяя это свойство, получаем:
$ \log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144} (3 \cdot 4) = \log_{144} 12 $.
Чтобы найти значение этого выражения, нужно найти степень, в которую нужно возвести 144, чтобы получить 12. Пусть $ \log_{144} 12 = x $, тогда по определению логарифма $ 144^x = 12 $.
Мы знаем, что $ \sqrt{144} = 12 $, а квадратный корень можно записать как степень $ \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ 144^{\frac{1}{2}} = 12 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Используем то же свойство суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} (4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{8}} 8 = x $. Тогда $ (\frac{1}{8})^x = 8 $.
Так как $ \frac{1}{8} = 8^{-1} $, то уравнение можно переписать в виде $ (8^{-1})^x = 8^1 $, или $ 8^{-x} = 8^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

в) Снова применяем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 = \log_{216} (2 \cdot 3) = \log_{216} 6 $.
Пусть $ \log_{216} 6 = x $. Это значит, что $ 216^x = 6 $.
Нам известно, что $ 6^3 = 216 $. Подставим это в наше уравнение: $ (6^3)^x = 6^1 $, что равносильно $ 6^{3x} = 6^1 $.
Приравнивая показатели, получаем $ 3x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

г) Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{12} \frac{1}{2} + \log_{12} \frac{1}{72} = \log_{12} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72}) = \log_{12} \frac{1}{144} $.
Пусть $ \log_{12} \frac{1}{144} = x $. Тогда по определению логарифма $ 12^x = \frac{1}{144} $.
Так как $ 144 = 12^2 $, то $ \frac{1}{144} = \frac{1}{12^2} = 12^{-2} $.
Наше уравнение принимает вид $ 12^x = 12^{-2} $.
Следовательно, $ x = -2 $.
Ответ: $ -2 $.

43.6 а) Известно, что $log_3 2 = c$. Найдите $log_3 8$.

б) Известно, что $log_{0,5} 3 = a$. Найдите $log_{0,5} 81$.

а) По условию задачи дано, что $ \log_3 2 = c $. Необходимо найти $ \log_3 8 $.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство логарифма степени, которое гласит: $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a b $.

Сначала представим число 8 в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $ 2^3 = 8 $.

Теперь подставим это значение в искомое выражение:

$ \log_3 8 = \log_3(2^3) $

Далее, применим свойство логарифма степени, вынеся показатель степени (в данном случае 3) за знак логарифма:

$ \log_3(2^3) = 3 \cdot \log_3 2 $

Согласно условию, $ \log_3 2 = c $. Произведем замену в полученном выражении:

$ 3 \cdot \log_3 2 = 3c $

Ответ: $3c$

б) По условию задачи известно, что $ \log_{0,5} 3 = a $. Необходимо найти $ \log_{0,5} 81 $.

Это задание решается аналогично предыдущему с использованием того же свойства логарифма степени: $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a b $.

Представим число 81 как степень числа 3. Мы знаем, что $ 3^4 = 81 $.

Подставим это значение в выражение, которое нужно найти:

$ \log_{0,5} 81 = \log_{0,5}(3^4) $

Теперь воспользуемся свойством логарифма и вынесем показатель степени 4 вперед:

$ \log_{0,5}(3^4) = 4 \cdot \log_{0,5} 3 $

Из условия нам известно, что $ \log_{0,5} 3 = a $. Подставим это значение в наше выражение:

$ 4 \cdot \log_{0,5} 3 = 4a $

Ответ: $4a$

43.10 а) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$;

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$;

в) $\log_3 81 : \log_{0,5} 2 \cdot \log_5 125$;

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0,3} \sqrt{0,3} : \lg 10\sqrt{0,1}$.

а) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$ и основное логарифмическое тождество $\log_a a = 1$.

1. Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.
$\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2 \cdot 1 = -2$.

2. Вычислим $\log_3 9$. Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$.
$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Вычислим $\log_4 \frac{1}{4}$. Представим $\frac{1}{4}$ как степень 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.
$\log_4 \frac{1}{4} = \log_4 4^{-1} = -1 \log_4 4 = -1 \cdot 1 = -1$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия в порядке их следования:
$\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4} = -2 \cdot 2 : (-1) = -4 : (-1) = 4$.

Ответ: 4.

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3}$. Представим основание и аргумент как степени числа 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3/2}{1/2} \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Вычислим $\log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49}$. Сначала упростим аргумент: $\sqrt{49} = 7$. Затем представим основание как степень 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
$\log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} = \log_{7^{-1}} 7 = \log_{7^{-1}} 7^1 = \frac{1}{-1} \log_7 7 = -1 \cdot 1 = -1$.

3. Вычислим $\log_5 \sqrt{5}$. Представим аргумент как степень 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
$\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5} = 3 : (-1) \cdot \frac{1}{2} = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

в) $\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125$

Вычислим значение каждого логарифма.

1. Вычислим $\log_3 81$. Так как $81 = 3^4$, то:
$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$.

2. Вычислим $\log_{0.5} 2$. Представим основание как степень 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$\log_{0.5} 2 = \log_{2^{-1}} 2^1 = \frac{1}{-1} \log_2 2 = -1$.

3. Вычислим $\log_5 125$. Так как $125 = 5^3$, то:
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125 = 4 : (-1) \cdot 3 = -4 \cdot 3 = -12$.

Ответ: -12.

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1}$

Вычислим значение каждого логарифма. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм, т.е. логарифм по основанию 10.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5}$. Представим основание и аргумент как степени числа 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ и $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3/2}{1/2} \log_5 5 = 3$.

2. Вычислим $\log_{0.3} \sqrt{0.3}$. Представим аргумент как степень основания: $\sqrt{0.3} = (0.3)^{\frac{1}{2}}$.
$\log_{0.3} \sqrt{0.3} = \log_{0.3} (0.3)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

3. Вычислим $\lg 10\sqrt{0.1}$. Упростим выражение под знаком логарифма:
$10\sqrt{0.1} = 10 \cdot \sqrt{\frac{1}{10}} = 10 \cdot \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^1 \cdot 10^{-\frac{1}{2}} = 10^{1-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}}$.
Следовательно, $\lg 10\sqrt{0.1} = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1} = 3 \cdot \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Ответ: 3.

43.3 a) $log_3 7 - log_3 \frac{7}{9};$

Б) $log_2 15 - log_2 30;$

В) $log_{\frac{1}{2}} 28 - log_{\frac{1}{2}} 7;$

Г) $log_{0.2} 40 - log_{0.2} 8.$

а) Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$ \log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left(7 : \frac{7}{9}\right) $.
Теперь упростим выражение в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$ \log_3 \left(7 \cdot \frac{9}{7}\right) = \log_3 9 $.
Чтобы найти значение $ \log_3 9 $, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание 3, чтобы получить 9? Так как $ 3^2 = 9 $, то $ \log_3 9 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем то же свойство разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_2 15 - \log_2 30 = \log_2 \frac{15}{30} $.
Упрощаем дробь под знаком логарифма:
$ \log_2 \frac{1}{2} $.
По определению логарифма, нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить $ \frac{1}{2} $. Так как $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $, то $ \log_2 \frac{1}{2} = -1 $.
Ответ: -1

в) Применяем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ для основания $ a = \frac{1}{2} $.
$ \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{28}{7}\right) $.
Выполняем деление под знаком логарифма:
$ \log_{\frac{1}{2}} 4 $.
Теперь найдем значение логарифма. Пусть $ \log_{\frac{1}{2}} 4 = x $. По определению логарифма это означает, что $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 $.
Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием 2: $ (2^{-1})^x = 2^2 $.
$ 2^{-x} = 2^2 $.
Приравнивая показатели степени, получаем $ -x = 2 $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2

г) Снова используем правило разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_{0,2} 40 - \log_{0,2} 8 = \log_{0,2} \left(\frac{40}{8}\right) $.
Упрощаем выражение под логарифмом:
$ \log_{0,2} 5 $.
Чтобы найти значение этого выражения, представим основание логарифма 0,2 в виде обыкновенной дроби: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Итак, нам нужно найти $ \log_{\frac{1}{5}} 5 $.
В какую степень нужно возвести $ \frac{1}{5} $, чтобы получить 5? Так как $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $, то $ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = (5^{-1})^{-1} = 5^1 = 5 $.
Следовательно, $ \log_{0,2} 5 = -1 $.
Ответ: -1

43.7 a) Известно, что $\\log_5 2 = a$. Найдите $\\log_5 10$.

б) Известно, что $\\log_6 4 = m$. Найдите $\\log_6 24$.

а)

Для нахождения $\log_5 10$ необходимо выразить его через известную величину $\log_5 2 = a$. Для этого представим число 10 в виде произведения $5 \cdot 2$.

$\log_5 10 = \log_5 (5 \cdot 2)$

Далее используем свойство логарифма произведения, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.

$\log_5 (5 \cdot 2) = \log_5 5 + \log_5 2$

По определению логарифма, $\log_5 5 = 1$. По условию задачи нам дано, что $\log_5 2 = a$.

Подставив известные значения в выражение, получаем итоговый результат:

$\log_5 10 = 1 + a$

Ответ: $1 + a$

б)

Для решения этой задачи необходимо найти $\log_6 24$, зная, что $\log_6 4 = m$. Представим число 24 как произведение $6 \cdot 4$, чтобы использовать основание логарифма 6 и данное значение.

$\log_6 24 = \log_6 (6 \cdot 4)$

Применим свойство логарифма произведения $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$:

$\log_6 (6 \cdot 4) = \log_6 6 + \log_6 4$

Мы знаем, что $\log_6 6 = 1$. Из условия задачи нам известно, что $\log_6 4 = m$.

Подставим эти значения в полученное равенство:

$\log_6 24 = 1 + m$

Ответ: $1 + m$

43.11 a) $\frac{\log_7 25}{\log_7 5}$;

б) $\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27}$;

В) $\frac{\log_4 36}{\log_4 6}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В данном случае $ c=7 $, $ b=25 $ и $ a=5 $. Применяя формулу, получаем:
$ \frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 $.
Значение логарифма $ \log_5 25 $ — это степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Так как $ 25 = 5^2 $, то:
$ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем ту же формулу перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. Здесь $ c = \frac{1}{2} $, $ b = 9 $ и $ a = 27 $.
$ \frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27} = \log_{27} 9 $.
Чтобы вычислить $ \log_{27} 9 $, представим основание 27 и число 9 как степени числа 3. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \log_{27} 9 = \log_{3^3} (3^2) $.
Далее воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ или $ \log_a (b^m) = m \log_a b $, что вместе дает $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{3^3} (3^2) = \frac{2}{3} \log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

в) Применим формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В этом примере $ c=4 $, $ b=36 $ и $ a=6 $.
$ \frac{\log_4 36}{\log_4 6} = \log_6 36 $.
Значение логарифма $ \log_6 36 $ — это степень, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36. Поскольку $ 36 = 6^2 $, то:
$ \log_6 36 = 2 $.
Ответ: 2

г) Снова используем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. Здесь $ c=0,3 $, $ b=32 $ и $ a=64 $.
$ \frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64} = \log_{64} 32 $.
Чтобы вычислить $ \log_{64} 32 $, представим основание 64 и число 32 как степени числа 2. Мы знаем, что $ 64 = 2^6 $ и $ 32 = 2^5 $.
$ \log_{64} 32 = \log_{2^6} (2^5) $.
Используя свойство логарифма $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $, получаем:
$ \log_{2^6} (2^5) = \frac{5}{6} \log_2 2 = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $

43.4 a) $\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3};$

б) $\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14;$

В) $\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243;$

Г) $\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03.$

а)

Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.

$ \log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \left(\frac{6}{2\sqrt{3}}\right) $

Упростим выражение в скобках:

$ \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $

Подставим упрощенное значение обратно в логарифм. По определению логарифма $ \log_b b = 1 $.

$ \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3}) = 1 $

Ответ: 1

б)

Используем то же свойство разности логарифмов:

$ \log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14 = \log_{\sqrt{2}} \left(\frac{7\sqrt{2}}{14}\right) $

Упростим дробь под знаком логарифма:

$ \frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Представим результат в виде степени с основанием $ \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1} $

Тогда исходное выражение равно:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sqrt{2})^{-1}) = -1 \cdot \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2}) = -1 \cdot 1 = -1 $

Ответ: -1

в)

Применим свойство разности логарифмов:

$ \log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243 = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{32}{243}\right) $

Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней: $ 32 = 2^5 $ и $ 243 = 3^5 $.

Тогда дробь равна:

$ \frac{32}{243} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 $

Подставим это значение в логарифм и воспользуемся свойством $ \log_a(b^p) = p \log_a b $:

$ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{2}{3}\right)^5\right) = 5 \cdot \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right) = 5 \cdot 1 = 5 $

Ответ: 5

г)

Воспользуемся свойством разности логарифмов:

$ \log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03 = \log_{0,1} \left(\frac{0,003}{0,03}\right) $

Упростим выражение под знаком логарифма:

$ \frac{0,003}{0,03} = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1 $

Получаем:

$ \log_{0,1} (0,1) = 1 $

Ответ: 1

43.8 a) Известно, что $\log_6 42 = b$. Найдите $\log_6 7$.

б) Известно, что $\log_7 35 = n$. Найдите $\log_7 5$.

а)

По условию нам дано, что $log_6 42 = b$. Требуется найти значение $log_6 7$.
Для решения этой задачи мы воспользуемся основными свойствами логарифмов. В частности, свойством логарифма произведения, которое гласит: $log_a(xy) = log_a x + log_a y$.
Представим число 42 в виде произведения, где один из множителей равен основанию логарифма, то есть 6.
$42 = 6 \cdot 7$
Теперь подставим это произведение в исходное выражение:
$log_6(6 \cdot 7) = b$
Применим свойство логарифма произведения:
$log_6 6 + log_6 7 = b$
По определению логарифма, $log_a a = 1$. Следовательно, $log_6 6 = 1$.
Подставив это значение в наше уравнение, получаем:
$1 + log_6 7 = b$
Чтобы найти $log_6 7$, выразим его из этого уравнения, перенеся 1 в правую часть с противоположным знаком:
$log_6 7 = b - 1$
Ответ: $log_6 7 = b - 1$.

б)

По условию нам дано, что $log_7 35 = n$. Требуется найти значение $log_7 5$.
Решение аналогично предыдущему пункту. Используем свойство логарифма произведения: $log_a(xy) = log_a x + log_a y$.
Представим число 35 в виде произведения, где один из множителей равен основанию логарифма, то есть 7.
$35 = 7 \cdot 5$
Подставим это произведение в исходное выражение:
$log_7(7 \cdot 5) = n$
Используя свойство логарифма произведения, раскроем скобки:
$log_7 7 + log_7 5 = n$
Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($log_a a = 1$), то $log_7 7 = 1$.
Получаем уравнение:
$1 + log_7 5 = n$
Выразим искомое значение $log_7 5$:
$log_7 5 = n - 1$
Ответ: $log_7 5 = n - 1$.

43.5 a) $ (3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27); $

б) $ (\log_3 2 + 3 \log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7). $

a) $(3\lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27)$

Для решения этого примера воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

• Свойство степени: $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$
• Свойство частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$
• Свойство произведения: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $3\lg 2 - \lg 24$.

Используя свойство степени, преобразуем первый член: $3\lg 2 = \lg (2^3) = \lg 8$.

Теперь выражение принимает вид: $\lg 8 - \lg 24$.

Используя свойство частного, получаем: $\lg 8 - \lg 24 = \lg \frac{8}{24} = \lg \frac{1}{3}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $\lg 3 + \lg 27$.

Используя свойство произведения, получаем: $\lg 3 + \lg 27 = \lg (3 \cdot 27) = \lg 81$.

3. Выполним деление полученных выражений:

$\frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 81}$

Представим аргументы логарифмов как степени числа 3:

$\lg \frac{1}{3} = \lg(3^{-1}) = -1 \cdot \lg 3 = -\lg 3$

$\lg 81 = \lg(3^4) = 4 \cdot \lg 3$

Подставим эти значения обратно в дробь:

$\frac{-\lg 3}{4\lg 3}$

Сокращаем дробь на $\lg 3$ (так как $\lg 3 \neq 0$):

$\frac{-1}{4} = -0,25$

Ответ: $-0,25$

б) $(\log_3 2 + 3\log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7)$

Используем те же свойства логарифмов.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $\log_3 2 + 3\log_3 0,25$.

Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде степени числа 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это в выражение: $\log_3 2 + 3\log_3 (2^{-2})$.

Используя свойство степени логарифма, преобразуем второй член: $3\log_3 (2^{-2}) = 3 \cdot (-2) \log_3 2 = -6\log_3 2$.

Теперь все выражение в скобках равно: $\log_3 2 - 6\log_3 2 = (1-6)\log_3 2 = -5\log_3 2$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $\log_3 28 - \log_3 7$.

Используя свойство частного логарифмов, получаем: $\log_3 28 - \log_3 7 = \log_3 \frac{28}{7} = \log_3 4$.

Представим 4 как степень числа 2: $\log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2\log_3 2$.

3. Выполним деление полученных выражений:

$\frac{-5\log_3 2}{2\log_3 2}$

Сокращаем дробь на $\log_3 2$ (так как $\log_3 2 \neq 0$):

$-\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $-2,5$

Вычислите:

43.9 a) $\log_2 4 \cdot \log_3 27$;

б) $\log_5 125 : \log_4 16$;

В) $\log_{0.5} 0.25 \cdot \log_{0.3} 0.09$;

Г) $\lg 1000 : \lg 100$.

а) Для вычисления выражения $log_2 4 \cdot log_3 27$ найдем значение каждого множителя по определению логарифма: $log_b a = c$, если $b^c = a$.
1. Найдем $log_2 4$. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Так как $2^2 = 4$, то $log_2 4 = 2$.
2. Найдем $log_3 27$. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 27. Так как $3^3 = 27$, то $log_3 27 = 3$.
3. Перемножим полученные значения: $log_2 4 \cdot log_3 27 = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Для вычисления выражения $log_5 125 : log_4 16$ найдем значение делимого и делителя.
1. Найдем $log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $log_5 125 = 3$.
2. Найдем $log_4 16$. Так как $4^2 = 16$, то $log_4 16 = 2$.
3. Разделим полученные значения: $log_5 125 : log_4 16 = 3 : 2 = 1,5$.
Ответ: 1,5

в) Для вычисления выражения $log_{0,5} 0,25 \cdot log_{0,3} 0,09$ найдем значение каждого множителя.
1. Найдем $log_{0,5} 0,25$. Это степень, в которую нужно возвести 0,5, чтобы получить 0,25. Так как $(0,5)^2 = 0,25$, то $log_{0,5} 0,25 = 2$.
2. Найдем $log_{0,3} 0,09$. Это степень, в которую нужно возвести 0,3, чтобы получить 0,09. Так как $(0,3)^2 = 0,09$, то $log_{0,3} 0,09 = 2$.
3. Перемножим полученные значения: $log_{0,5} 0,25 \cdot log_{0,3} 0,09 = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

г) Для вычисления выражения $lg 1000 : lg 100$ вспомним, что $lg$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($lg x = log_{10} x$).
1. Найдем $lg 1000$. Это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Так как $10^3 = 1000$, то $lg 1000 = 3$.
2. Найдем $lg 100$. Это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то $lg 100 = 2$.
3. Разделим полученные значения: $lg 1000 : lg 100 = 3 : 2 = 1,5$.
Ответ: 1,5