Номер 9, страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §28 - номер 9, страница 198.

Условие.

9. Чему равна производная функции:

а) $y = \tan x$;

б) $y = \cot x$;

в) $y = 2\tan x - 3\cot x$?

Решение 6.

а) $y = \tg x$

Чтобы найти производную функции $y = \tg x$, можно представить тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом нахождения производной частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = \sin x$ и $v = \cos x$. Найдем их производные:
$u' = (\sin x)' = \cos x$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\tg x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательный результат:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

б) $y = \ctg x$

Аналогично предыдущему пункту, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Применим то же правило нахождения производной частного.

Здесь $u = \cos x$ и $v = \sin x$. Их производные:
$u' = (\cos x)' = -\sin x$
$v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:
$y' = (\ctg x)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

$y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

в) $y = 2\tg x - 3\ctg x$

Для нахождения производной этой функции используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной.
$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$
$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$

$y' = (2\tg x - 3\ctg x)' = (2\tg x)' - (3\ctg x)' = 2 \cdot (\tg x)' - 3 \cdot (\ctg x)'$

Из предыдущих пунктов нам уже известны производные тангенса и котангенса:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$y' = 2 \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

$y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$.