Номер 2, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §29 - номер 2, страница 203.

Условие.

2. К графику функции $y = 3x^3 - x^2 + x + 1$ проведена касательная в точке $x = 1$. Каким прямым, перечисленным ниже, она параллельна: $y = 8x - 3$, $y = 6x - 2$, $y = 7 - 8x$, $y = 1 - 6x$, $y = 5 + 8x$, $y = 6x + 1$?

Решение 6.

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции
Дана функция $y = 3x^3 - x^2 + x + 1$.
Найдем ее производную, используя правила дифференцирования: $y' = (3x^3 - x^2 + x + 1)' = 3 \cdot (x^3)' - (x^2)' + (x)' + (1)' = 3 \cdot 3x^2 - 2x + 1 + 0 = 9x^2 - 2x + 1$.

2. Вычислим угловой коэффициент касательной
Касательная проведена в точке $x = 1$. Вычислим значение производной в этой точке: $k_{кас} = y'(1) = 9(1)^2 - 2(1) + 1 = 9 - 2 + 1 = 8$. Итак, угловой коэффициент касательной равен 8.

3. Сравним с угловыми коэффициентами заданных прямых
Теперь найдем угловые коэффициенты ($k$) для каждой из предложенных прямых, представленных в виде $y = kx + b$:

• $y = 8x - 3$: $k = 8$
• $y = 6x - 2$: $k = 6$
• $y = 7 - 8x$: $k = -8$
• $y = 1 - 6x$: $k = -6$
• $y = 5 + 8x$ (эквивалентно $y = 8x + 5$): $k = 8$
• $y = 6x + 1$: $k = 6$

Касательная параллельна тем прямым, у которых угловой коэффициент равен 8. Сравнивая полученные значения, видим, что этому условию удовлетворяют две прямые: $y = 8x - 3$ и $y = 5 + 8x$.

Ответ: Касательная параллельна прямым $y = 8x - 3$ и $y = 5 + 8x$.