Номер 6, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §30 - номер 6, страница 215.

Условие.

6. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является критической, но не является точкой экстремума.

Решение 6.

Чтобы решить данную задачу, необходимо сначала определить условия, которым должен удовлетворять график.

1. Функция должна быть непрерывной. Это означает, что ее график должен быть сплошной линией, без разрывов.

2. Точка $x=1$ должна быть критической. Согласно определению, точка $x_0$ является критической для функции $f(x)$, если она принадлежит области определения функции и в этой точке производная либо равна нулю ($f'(x_0)=0$), либо не существует.

3. Точка $x=1$ не должна быть точкой экстремума. Точка является точкой экстремума (локального минимума или максимума), если при переходе через нее производная функции меняет свой знак. Следовательно, для отсутствия экстремума знак производной в окрестности точки $x=1$ должен оставаться неизменным (например, быть положительным и слева, и справа от точки).

Рассмотрим функцию, которая удовлетворяет всем этим требованиям. Классическим примером такой функции является кубическая парабола. Возьмем функцию $y = (x-1)^3$.

Проверим ее на соответствие условиям:

• Непрерывность: Функция $y = (x-1)^3$ является многочленом, а все многочлены непрерывны на всей числовой оси, включая точку $x=1$.
• Критическая точка: Найдем производную функции: $y' = ((x-1)^3)' = 3(x-1)^2$. При $x=1$ производная обращается в ноль: $y'(1) = 3(1-1)^2 = 0$. Это означает, что $x=1$ является критической точкой.
• Отсутствие экстремума: Исследуем знак производной $y' = 3(x-1)^2$ вблизи точки $x=1$. Выражение $(x-1)^2$ всегда больше или равно нулю. Таким образом, производная $y' \ge 0$ при любых $x$. Слева от точки $x=1$ (например, при $x=0$) производная положительна, и справа (например, при $x=2$) она также положительна. Так как производная не меняет знак при переходе через $x=1$, эта точка не является точкой экстремума. В этой точке функция возрастает, имеет горизонтальную касательную, и продолжает возрастать.

Ниже представлен график функции $y=(x-1)^3$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y=(x-1)^3$. Эта функция непрерывна, имеет критическую точку $x=1$ (поскольку $y'(1)=0$), но эта точка не является точкой экстремума, так как функция возрастает на всей области определения. График этой функции представлен выше.