Номер 9, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 9, страница 215.

9. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума.

Теорема о достаточных условиях экстремума позволяет определить характер критической точки функции (является ли она точкой минимума, максимума или ни тем, ни другим), основываясь на поведении ее производных. Существует несколько формулировок, использующих производные разных порядков.

Первое достаточное условие (по знаку первой производной)

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки (то есть в окрестности, из которой удалена сама точка $x_0$). Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$ (то есть $f'(x_0) = 0$ или $f'(x_0)$ не существует).

• Если при переходе через точку $x_0$ (при возрастании $x$) производная $f'(x)$ меняет свой знак с плюса на минус, то есть $f'(x) > 0$ для $x < x_0$ и $f'(x) < 0$ для $x > x_0$, то в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет локальный максимум.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет свой знак с минуса на плюс, то есть $f'(x) < 0$ для $x < x_0$ и $f'(x) > 0$ для $x > x_0$, то в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет локальный минимум.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет знака, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если в критической точке $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума. Если с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

Второе достаточное условие (по знаку второй производной)

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (то есть в точке, где первая производная равна нулю, $f'(x_0) = 0$).

• Если вторая производная в этой точке отрицательна, $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если вторая производная в этой точке положительна, $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума.

Примечание: Если $f''(x_0) = 0$, то данное условие не позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. В этом случае требуется дополнительное исследование, например, с помощью первого достаточного условия или производных более высоких порядков.

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ выполнено условие $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f''(x_0) > 0$ — точка минимума. Если $f''(x_0) = 0$, признак не работает.

Общее достаточное условие (с использованием производных высших порядков)

Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ и ее окрестности непрерывные производные до $n$-го порядка включительно ($n \ge 2$), и пусть выполняются следующие условия:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, но $f^{(n)}(x_0) \neq 0$.

Тогда:

• Если $n$ — четное число, то в точке $x_0$ функция имеет локальный экстремум. Это будет локальный минимум, если $f^{(n)}(x_0) > 0$, и локальный максимум, если $f^{(n)}(x_0) < 0$.
• Если $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (в этой точке находится перегиб графика функции).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в точке $x_0$ имеет четный порядок $n$, то в этой точке есть экстремум (минимум при $f^{(n)}(x_0) > 0$ и максимум при $f^{(n)}(x_0) < 0$). Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.