Номер 5, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 5, страница 229.

Условие.

5. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего значения внутри, а наименьшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Решение 6.

Да, может. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках локального экстремума). Ситуация, описанная в задаче, не противоречит этой теореме и является одним из возможных случаев.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

1. Непрерывность. Данная функция является квадратичной и непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 2]$.

2. Поиск наибольшего и наименьшего значений. Для этого найдём значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Значения на концах отрезка:

• $f(-1) = -(-1)^2 = -1$
• $f(2) = -(2)^2 = -4$

Найдём производную функции для определения критических точек:$f'(x) = -2x$Приравняем производную к нулю:$-2x = 0 \implies x = 0$Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1, 2]$. Значение функции в этой точке:$f(0) = -0^2 = 0$

Сравним все найденные значения: $\{f(-1), f(2), f(0)\} = \{-1, -4, 0\}$.

Из этого множества видно, что:

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=0$, которая является внутренней точкой отрезка.
• Наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $-4$. Оно достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.