Номер 9, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 9, страница 229.

Условие.

9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$$ y = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 1, \\ 2-x, & 1 < x \le 3. \end{cases} $$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Решение 6.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений кусочно-заданной функции на отрезке $[-2, 3]$ необходимо исследовать ее на каждом из участков. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом отрезке достигаются либо на концах отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка.

Область определения функции $D(y) = [-2, 3]$.

Точками, в которых могут достигаться искомые значения, являются:

• Концы общего отрезка: $x = -2$ и $x = 3$.
• Точки экстремума на каждом из интервалов.
• Точка "стыка" участков: $x = 1$.

1. Участок $y = x^2$ при $-2 \le x \le 1$.

Это парабола с вершиной в точке $x=0$. Поскольку $0 \in [-2, 1]$, эта точка является точкой локального минимума.

Вычислим значения функции на границах этого участка и в точке минимума:

• При $x=-2$: $y(-2) = (-2)^2 = 4$.
• При $x=0$: $y(0) = 0^2 = 0$.
• При $x=1$: $y(1) = 1^2 = 1$.

2. Участок $y = 2 - x$ при $1 < x \le 3$.

Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$), следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения. Наименьшее значение будет на правом конце отрезка.

Вычислим значение функции на правой границе участка:

• При $x=3$: $y(3) = 2 - 3 = -1$.

Проверим значение в точке стыка $x=1$. Функция непрерывна в этой точке, так как $\lim_{x\to1^-} x^2 = 1$ и $\lim_{x\to1^+} (2-x) = 1$, и $y(1)=1$.

3. Сравнение значений.

Соберем все найденные значения в ключевых точках: $y(-2)=4$, $y(0)=0$, $y(1)=1$, $y(3)=-1$.

Сравнивая эти значения, находим:

• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-2, 3]$ равно -1 (при $x=3$), а наибольшее значение равно 4 (при $x=-2$).

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Использование производной. Стандартный алгоритм нахождения экстремумов на отрезке требует использования производной.

• На участке $[-2, 1]$ производная $y'=(x^2)'=2x$. При $2x=0$ получаем критическую точку $x=0$.
• На участке $(1, 3]$ производная $y'=(2-x)'=-1$. Она не равна нулю, значит, на этом интервале нет точек экстремума.
• В точке $x=1$ функция непрерывна, но производная не существует, так как левая производная $y'_{-}(1) = 2$, а правая $y'_{+}(1) = -1$. Точка $x=1$ является критической.

Таким образом, применение производной является формально правильным и строгим методом. Однако, так как функция состоит из простых, хорошо известных частей (парабола и прямая), их свойства можно использовать напрямую без вычисления производных.

Построение графика. Построение графика не является обязательным для получения численного ответа. Тем не менее, эскиз графика — очень мощный инструмент для визуализации задачи. Он помогает понять поведение функции, проверить правильность рассуждений и избежать ошибок. График наглядно показывает, что максимум достигается в точке $(-2, 4)$, а минимум — в точке $(3, -1)$.

Ответ: Использование производной является стандартным методом, но в данном случае можно обойтись и без него. Построение графика не обязательно, но крайне рекомендуется для самопроверки и наглядного представления решения.