Номер 10, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §32. ч. 1 - номер 10, страница 229.

10. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать и своего наименьшего, и своего наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на открытом интервале, может достигать на этом интервале и своего наименьшего, и своего наибольшего значения. Хотя знаменитая теорема Вейерштрасса гарантирует это свойство для функции, непрерывной на замкнутом отрезке (например, $[2; 5]$), она не запрещает такого поведения на открытом интервале. Для того чтобы функция достигала своих экстремумов на открытом интервале $(a; b)$, необходимо, чтобы точки, в которых принимаются наибольшее и наименьшее значения, находились строго внутри этого интервала.

Приведем пример такой функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, и, следовательно, она непрерывна на интервале $(2; 5)$. Область значений для функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, поэтому наибольшее значение функции $f(x)$ не может быть больше 1, а наименьшее – меньше -1.

1. Поиск наибольшего значения.
Наибольшее значение, равное 1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{1}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{1}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{1}{2} < 2k < 5 - \frac{1}{2}$
$1.5 < 2k < 4.5$
$0.75 < k < 2.25$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{1}{2} + 2(1) = 2.5$.
Точка $x=2.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $f(2.5) = \sin(2.5\pi) = 1$.

2. Поиск наименьшего значения.
Наименьшее значение, равное -1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{3}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{3}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{3}{2} < 2k < 5 - \frac{3}{2}$
$0.5 < 2k < 3.5$
$0.25 < k < 1.75$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{3}{2} + 2(1) = 3.5$.
Точка $x=3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $f(3.5) = \sin(3.5\pi) = -1$.

Таким образом, мы показали, что непрерывная на интервале $(2; 5)$ функция $f(x) = \sin(\pi x)$ достигает на этом интервале как своего наибольшего значения (1), так и своего наименьшего значения (-1).

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$. Она достигает своего наибольшего значения $1$ в точке $x=2.5$ и своего наименьшего значения $-1$ в точке $x=3.5$, обе точки лежат внутри интервала.