Номер 3, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §32. ч. 1 - номер 3, страница 229.

3. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка. Согласно второй теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках. Для того чтобы и наибольшее, и наименьшее значения достигались именно во внутренних точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка, $f(a)$ и $f(b)$, были строго больше наименьшего значения и строго меньше наибольшего значения функции на всём отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$. Эта функция является непрерывной на данном отрезке. Для нахождения ее наибольшего и наименьшего значений найдем ее производную и стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).
Производная функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Приравняем производную к нулю: $\cos(x) = 0$.
На интервале $(0, 2\pi)$ решениями этого уравнения являются точки $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Обе эти точки являются внутренними для отрезка $[0, 2\pi]$.

Теперь вычислим значения функции в найденных стационарных точках и на концах отрезка:
Значение в начальной точке отрезка: $f(0) = \sin(0) = 0$.
Значение в первой стационарной точке: $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Значение во второй стационарной точке: $f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Значение в конечной точке отрезка: $f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Сравнивая полученные значения $0, 1, -1, 0$, мы делаем следующие выводы:
Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $-1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{3\pi}{2}$.
Значения функции на концах отрезка равны $0$, что не является ни наибольшим, ни наименьшим значением.

Таким образом, функция $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$ является примером непрерывной функции, которая достигает своего наибольшего и наименьшего значения во внутренних точках отрезка.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$.