Номер 1, страница 228, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 1, страница 228.

Условие.

1. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) непрерывная функция на отрезке достигает своего наибольшего значения;

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

в) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего значения;

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

д) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего и наибольшего значения;

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значения?

Решение 6.

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к фундаментальной теореме математического анализа — первой теореме Вейерштрасса. Эта теорема гласит, что любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней, то есть своего наибольшего и наименьшего значений.

Рассмотрим каждое утверждение в отдельности:

а) непрерывная функция на отрезке достигает своего наибольшего значения;
Это утверждение является прямым следствием первой теоремы Вейерштрасса. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то существует точка $c \in [a, b]$, в которой функция принимает свое максимальное значение: $f(c) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$. Таким образом, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;
Это утверждение прямо противоречит первой теореме Вейерштрасса. Для любой непрерывной функции на отрезке обязательно существует точка, в которой достигается наибольшее значение. Следовательно, такой функции не существует, и утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего значения;
Аналогично пункту а), это утверждение также является прямым следствием первой теоремы Вейерштрасса. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то существует точка $d \in [a, b]$, в которой функция принимает свое минимальное значение: $f(d) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$. Таким образом, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;
Это утверждение, как и утверждение б), противоречит первой теореме Вейерштрасса. Наименьшее значение для непрерывной функции на отрезке всегда достигается. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

д) непрерывная функция на отрезке достигает своего наименьшего и наибольшего значения;
Это утверждение является полной и точной формулировкой первой теоремы Вейерштрасса. Оно объединяет верные утверждения а) и в). Поскольку обе части утверждения истинны, все утверждение целиком является верным. Это наиболее полное описание свойства непрерывных функций на отрезке из всех предложенных вариантов.
Ответ: верно.

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значения?
Это утверждение (сформулированное в виде вопроса) является ложным, так как оно отрицает первую теорему Вейерштрасса в обеих ее частях. Как было показано выше, непрерывная функция на отрезке всегда достигает и наименьшего, и наибольшего значения. Следовательно, такой функции не существует.
Ответ: неверно.

Итоговый вывод:
Верными являются утверждения а), в) и д). Однако, вопрос "Какое из приведённых ниже утверждений верно?" в единственном числе обычно подразумевает выбор одного, наиболее правильного ответа. Утверждения а) и в) являются частными случаями (следствиями) утверждения д), которое представляет собой полную формулировку теоремы Вейерштрасса. Поэтому утверждение д) является наиболее полным и точным ответом.

Ответ: д).