Номер 11, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 11, страница 230.

Условие.

11. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале не достигать ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения? Приведите пример.

Решение 6.

Да, функция $y=f(x)$, непрерывная на интервале $(2; 5)$, может не достигать на этом интервале ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения.

Это возможно потому, что интервал $(2; 5)$ является открытым, то есть не включает свои граничные точки $x=2$ и $x=5$. Теорема Вейерштрасса, которая гарантирует существование наименьшего и наибольшего значений (экстремумов), применима только к непрерывным функциям на замкнутых отрезках (например, на $[2; 5]$). В случае открытого интервала, значения функции могут неограниченно приближаться к своим точным верхней и нижней граням (супремуму и инфимуму) на границах интервала, но никогда их не достигать, так как сами граничные точки не входят в область определения.

Приведем пример такой функции. Рассмотрим простейшую линейную функцию $f(x) = x$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция непрерывна для любого действительного значения $x$ и, следовательно, непрерывна на интервале $(2; 5)$. Множество значений, которые принимает функция $f(x) = x$ для всех $x$ из интервала $(2; 5)$, есть в точности сам интервал $(2; 5)$.

• Наименьшее значение: Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции равна 2. Однако не существует такого $x$ в интервале $(2; 5)$, для которого $f(x) = 2$. Это значение достигалось бы только при $x=2$, но эта точка не принадлежит заданному интервалу. Следовательно, функция не достигает своего наименьшего значения.
• Наибольшее значение: Точная верхняя грань (супремум) множества значений функции равна 5. Аналогично, не существует такого $x$ в интервале $(2; 5)$, для которого $f(x) = 5$, так как это потребовало бы $x=5$, а эта точка также не принадлежит интервалу. Следовательно, функция не достигает своего наибольшего значения.

Таким образом, мы показали, что непрерывная на интервале $(2; 5)$ функция $f(x)=x$ не достигает на нем ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = x$ на интервале $(2; 5)$. Она непрерывна, но множество ее значений — это интервал $(2; 5)$. Точная нижняя грань значений (инфимум) равна 2, а точная верхняя грань (супремум) равна 5, но ни одно из этих значений не достигается, так как точки $x=2$ и $x=5$ не входят в интервал определения функции.