Номер 12, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §32. ч. 1 - номер 12, страница 230.

12. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать своего наименьшего и не достигать своего наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на интервале, может достигать своего наименьшего значения и не достигать своего наибольшего.

Это возможно, так как классическая теорема Вейерштрасса о достижении функцией своих экстремумов (наибольшего и наименьшего значений) справедлива для непрерывной функции на замкнутом отрезке $[a, b]$. В условии задачи дан открытый интервал $(2, 5)$, для которого утверждение теоремы Вейерштрасса не всегда выполняется.

Для того чтобы функция достигала своего наименьшего значения, необходимо, чтобы точка глобального минимума на этом интервале находилась внутри самого интервала. Чтобы функция не достигала своего наибольшего значения, необходимо, чтобы она либо была неограничена сверху на этом интервале, либо ее точная верхняя грань (супремум) соответствовала значению функции на одной из границ интервала (в точках $x=2$ или $x=5$), которые не включены в данный интервал.

Приведем пример.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = (x - 3.5)^2$ на интервале $(2, 5)$.

1. Эта функция является многочленом, следовательно, она непрерывна на всей числовой оси, включая интервал $(2, 5)$.
2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке, где достигается минимум. Координата $x$ вершины равна $3.5$. Так как $2 < 3.5 < 5$, точка минимума принадлежит интервалу $(2, 5)$. Наименьшее значение функции на этом интервале равно $f(3.5) = (3.5 - 3.5)^2 = 0$. Таким образом, функция достигает своего наименьшего значения.
3. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции увеличиваются по мере удаления от вершины. На интервале $(2, 5)$ значения функции будут стремиться к своим предельным значениям на концах интервала. Найдем эти пределы:
   $\lim_{x \to 2^+} f(x) = (2 - 3.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
   $\lim_{x \to 5^-} f(x) = (5 - 3.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
   Точная верхняя грань (супремум) значений функции на интервале $(2, 5)$ равна $2.25$. Однако, это значение не достигается, так как $x$ никогда не равен $2$ или $5$. Для любой точки $x \in (2, 5)$ выполняется неравенство $f(x) < 2.25$. Следовательно, функция не достигает своего наибольшего значения на данном интервале.

Таким образом, функция $f(x) = (x - 3.5)^2$ на интервале $(2, 5)$ является примером функции, которая непрерывна, достигает своего наименьшего значения, но не достигает наибольшего.

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = (x - 3.5)^2$ на интервале $(2, 5)$.