Номер 1, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 1, страница 214.

1. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Какое из утверждений верно:

а) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция немонотонна на $X$?

Вопрос касается связи между знаком первой производной функции и ее монотонностью.

Основное правило, связывающее производную и поведение функции, заключается в следующем:

• Если производная функции $f'(x)$ положительна на некотором промежутке $X$ (то есть $f'(x) > 0$ для всех $x \in X$), то функция $y = f(x)$ возрастает на этом промежутке.
• Если производная функции $f'(x)$ отрицательна на некотором промежутке $X$ (то есть $f'(x) < 0$ для всех $x \in X$), то функция $y = f(x)$ убывает на этом промежутке.

В условии задачи дано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Это означает, что производная функции положительна на всем рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

а) функция убывает на X;
Это утверждение неверно. Для убывания функции необходимо, чтобы ее производная была отрицательна ($f'(x) < 0$), что прямо противоречит условию задачи.

б) функция возрастает на X;
Это утверждение верно. Поскольку $f'(x) > 0$ на всем промежутке $X$, согласно достаточному условию возрастания функции, функция $y = f(x)$ является возрастающей на этом промежутке. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

в) функция немонотонна на X?
Это утверждение неверно. Немонотонная функция имеет на промежутке участки и возрастания, и убывания. В данном случае знак производной постоянен ($f'(x) > 0$), следовательно, функция строго монотонна на всем промежутке $X$.

Таким образом, единственное верное утверждение — это б).

Ответ: б) функция возрастает на X.