Номер 6, страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 6, страница 198.

6. Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций.

Правило вычисления производной частного двух функций, также известное как правило частного, определяет, как найти производную функции, представленной в виде отношения двух других функций.

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ являются дифференцируемыми в точке $x$, и при этом $v(x) \neq 0$.

Словесная формулировка правила

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя исходной дроби.

Формула производной частного

В виде формулы это правило записывается так:

$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Или в более краткой записи, опуская аргумент $x$:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Доказательство формулы

Формулу можно вывести, представив частное $\frac{u}{v}$ как произведение $u \cdot v^{-1}$ и применив правило производной произведения $(fg)' = f'g + fg'$ и цепное правило для нахождения производной сложной функции.

1. Применяем правило произведения:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = (u \cdot v^{-1})' = (u)' \cdot v^{-1} + u \cdot (v^{-1})' = u'v^{-1} + u(v^{-1})' $

2. Находим производную $(v^{-1})'$ по цепному правилу. Производная от степенной функции $t^{-1}$ равна $-t^{-2}$. Следовательно:

$ (v^{-1})' = -1 \cdot v^{-2} \cdot v' = -\frac{v'}{v^2} $

3. Подставляем результат из шага 2 в выражение из шага 1:

$ u'v^{-1} + u\left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} $

4. Приводим полученное выражение к общему знаменателю $v^2$:

$ \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Правило вычисления производной частного двух дифференцируемых функций $u$ и $v$ (при условии $v \neq 0$) заключается в использовании формулы: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Словесно: производная частного равна дроби, где в числителе "производная числителя умножить на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя", а в знаменателе "знаменатель в квадрате".