Номер 4, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §28 - номер 4, страница 197.

Условие.

4. Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций.

Решение 6.

Правило вычисления производной суммы двух функций, также известное как свойство линейности дифференцирования, гласит, что производная суммы двух или более дифференцируемых функций равна сумме их производных.

Сформулировать правило можно следующим образом: производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Для двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$ их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также является дифференцируемой функцией, и ее производная находится по формуле:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Доказательство данного правила основывается на определении производной. По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Подставим это выражение в определение производной:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$

Перегруппируем члены в числителе, чтобы выделить приращения функций $u(x)$ и $v(x)$:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Теперь разделим дробь на сумму двух дробей:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right)$

Согласно свойству предела суммы, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Каждый из полученных пределов по определению является производной функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно:

$u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$

$v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Правило доказано. Оно также справедливо для суммы любого конечного числа функций.

Ответ: Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.