Номер 4, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §28. ч. 1 - номер 4, страница 197.
№4 (с. 197)
Условие. №4 (с. 197)
скриншот условия

4. Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций.
Решение 6. №4 (с. 197)
Правило вычисления производной суммы двух функций, также известное как свойство линейности дифференцирования, гласит, что производная суммы двух или более дифференцируемых функций равна сумме их производных.
Сформулировать правило можно следующим образом: производная суммы двух функций равна сумме их производных.
Для двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$ их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также является дифференцируемой функцией, и ее производная находится по формуле:
$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$
Доказательство данного правила основывается на определении производной. По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Подставим это выражение в определение производной:
$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$
Перегруппируем члены в числителе, чтобы выделить приращения функций $u(x)$ и $v(x)$:
$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$
Теперь разделим дробь на сумму двух дробей:
$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right)$
Согласно свойству предела суммы, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):
$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$
Каждый из полученных пределов по определению является производной функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно:
$u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$
$v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$
Таким образом, мы получаем итоговую формулу:
$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$
Правило доказано. Оно также справедливо для суммы любого конечного числа функций.
Ответ: Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 197 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 197), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.