Номер 8, страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 8, страница 198.

8. С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$. Подметили ли вы какую-то закономерность? Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$? Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in N$?

С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$

Правило дифференцирования частного для функций $u(x)$ и $v(x)$ имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. Для функции $y = \frac{1}{x^2}$, положим $u=1$ и $v=x^2$. Тогда их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^2)' = 2x$. Подставим эти значения в формулу производной частного: $(\frac{1}{x^2})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -2x^{1-4} = -2x^{-3}$.

2. Аналогично для функции $y = \frac{1}{x^3}$, положим $u=1$ и $v=x^3$. Их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^3)' = 3x^2$. Подставим в формулу: $(\frac{1}{x^3})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^3 - 1 \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-3x^2}{x^6} = -3x^{2-6} = -3x^{-4}$.

Ответ: Равенства доказаны.

Подметили ли вы какую-то закономерность?

Да, можно заметить закономерность. Сравним полученные результаты, представив функции в виде степени с отрицательным показателем: $(x^{-2})' = -2x^{-3}$ $(x^{-3})' = -3x^{-4}$ В обоих случаях производная функции вида $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$. Коэффициент при производной равен показателю степени $n$ со знаком минус, а новый показатель степени на единицу меньше исходного (то есть $-n-1$). Эта закономерность является частным случаем общего правила дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$, где в качестве показателя $k$ выступает отрицательное целое число.

Ответ: Замечена закономерность, согласно которой производная функции $y = x^{-n}$ равна $y' = -nx^{-n-1}$.

Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$?

Используя подмеченную закономерность для функции $y = \frac{1}{x^5} = x^{-5}$, где $n=5$, можно предположить, что ее производная будет: $y' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6}$.

Ответ: Производная функции $y = \frac{1}{x^5}$ равна $-5x^{-6}$.

Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in \mathbb{N}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого натурального $n$ (где $n \in \mathbb{N}$), снова воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u=1$ и $v=x^n$. Тогда $u' = 0$ и $v' = (x^n)' = nx^{n-1}$ (по правилу дифференцирования степенной функции для натуральных показателей). Подставляем в формулу: $(x^{-n})' = (\frac{1}{x^n})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot (nx^{n-1})}{(x^n)^2} = \frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}$.

Упростим полученное выражение, используя свойства степеней: $\frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{(n-1) - 2n} = -n \cdot x^{-n-1}$. Таким образом, мы доказали, что для любого натурального $n$ производная функции $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$.

Ответ: Производная функции $y = x^{-n}$ равна $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$.