Номер 12, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 12, страница 163.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№12 (с. 163)
Условие. №12 (с. 163)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 163, номер 12, Условие

12. Приведите пример ограниченной последовательности, не являющейся сходящейся.

Решение 6. №12 (с. 163)

Для решения этой задачи необходимо привести пример последовательности, которая удовлетворяет двум условиям: она ограничена и при этом не сходится (является расходящейся).

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $x_n = (-1)^n$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = 1$, и так далее. Члены последовательности поочередно принимают значения -1 и 1.

Докажем, что эта последовательность ограничена.

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех натуральных номеров $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$.

Для последовательности $x_n = (-1)^n$ все ее члены по модулю равны 1, так как $|x_n| = |(-1)^n| = 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Следовательно, мы можем выбрать в качестве $M$ число 1 (или любое число, большее 1). Так как неравенство $|x_n| \le 1$ выполняется для всех $n$, данная последовательность является ограниченной.

Докажем, что эта последовательность не является сходящейся.

Сходящаяся последовательность — это последовательность, имеющая конечный предел. Докажем, что у последовательности $x_n = (-1)^n$ предел не существует.

Воспользуемся критерием сходимости, связанным с подпоследовательностями: если последовательность сходится к некоторому пределу $L$, то любая ее подпоследовательность также должна сходиться к этому же пределу $L$.

Рассмотрим две подпоследовательности в $\{x_n\}$:

1. Подпоследовательность, состоящая из членов с четными номерами: $\{x_{2k}\} = \{(-1)^{2k}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Ее предел равен 1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = 1$.

2. Подпоследовательность, состоящая из членов с нечетными номерами: $\{x_{2k-1}\} = \{(-1)^{2k-1}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $-1, -1, -1, \dots$. Ее предел равен -1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = -1$.

Мы нашли две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам (1 и -1). Это означает, что исходная последовательность $\{x_n\}$ не может иметь единого предела, а следовательно, она не является сходящейся.

Таким образом, последовательность $x_n = (-1)^n$ является примером ограниченной, но не сходящейся последовательности. Другими возможными примерами являются $x_n = \sin(n)$ или $x_n = \cos(n)$.

Ответ: $x_n = (-1)^n$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться