Номер 12, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 12, страница 163.

Условие.

12. Приведите пример ограниченной последовательности, не являющейся сходящейся.

Решение 6.

Для решения этой задачи необходимо привести пример последовательности, которая удовлетворяет двум условиям: она ограничена и при этом не сходится (является расходящейся).

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $x_n = (-1)^n$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = 1$, и так далее. Члены последовательности поочередно принимают значения -1 и 1.

Докажем, что эта последовательность ограничена.

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех натуральных номеров $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$.

Для последовательности $x_n = (-1)^n$ все ее члены по модулю равны 1, так как $|x_n| = |(-1)^n| = 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Следовательно, мы можем выбрать в качестве $M$ число 1 (или любое число, большее 1). Так как неравенство $|x_n| \le 1$ выполняется для всех $n$, данная последовательность является ограниченной.

Докажем, что эта последовательность не является сходящейся.

Сходящаяся последовательность — это последовательность, имеющая конечный предел. Докажем, что у последовательности $x_n = (-1)^n$ предел не существует.

Воспользуемся критерием сходимости, связанным с подпоследовательностями: если последовательность сходится к некоторому пределу $L$, то любая ее подпоследовательность также должна сходиться к этому же пределу $L$.

Рассмотрим две подпоследовательности в $\{x_n\}$:

1. Подпоследовательность, состоящая из членов с четными номерами: $\{x_{2k}\} = \{(-1)^{2k}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Ее предел равен 1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = 1$.

2. Подпоследовательность, состоящая из членов с нечетными номерами: $\{x_{2k-1}\} = \{(-1)^{2k-1}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $-1, -1, -1, \dots$. Ее предел равен -1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = -1$.

Мы нашли две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам (1 и -1). Это означает, что исходная последовательность $\{x_n\}$ не может иметь единого предела, а следовательно, она не является сходящейся.

Таким образом, последовательность $x_n = (-1)^n$ является примером ограниченной, но не сходящейся последовательности. Другими возможными примерами являются $x_n = \sin(n)$ или $x_n = \cos(n)$.

Ответ: $x_n = (-1)^n$.