Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.24 a) $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5;$

б) $3^x = -x + 4;$

В) $(\frac{1}{7})^x = 2x + 9;$

Г) $3^{\frac{x}{2}} = -0,5x + 4.$

а) $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде найти сложно. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = 0,5x + 5$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная. Так как ее основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Функция $y_2(x) = 0,5x + 5$ — линейная. Ее угловой коэффициент $k = 0,5 > 0$, поэтому функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

Проверим $x = -2$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Правая часть: $0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$.

Поскольку левая и правая части равны ($4 = 4$), $x = -2$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Ответ: -2

б) $3^x = -x + 4$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = -x + 4$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ — показательная с основанием $a = 3 > 1$, следовательно, она монотонно возрастает.

Функция $y_2(x) = -x + 4$ — линейная с угловым коэффициентом $k = -1 < 0$, следовательно, она монотонно убывает.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересекаться не более одного раза, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора.

Проверим $x = 1$:

Левая часть: $3^1 = 3$.

Правая часть: $-1 + 4 = 3$.

Левая и правая части равны ($3 = 3$), значит, $x = 1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: 1

в) $(\frac{1}{7})^x = 2x + 9$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = 2x + 9$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{1}{7} \in (0; 1)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Функция $y_2(x) = 2x + 9$ — линейная с угловым коэффициентом $k = 2 > 0$, поэтому она является монотонно возрастающей.

Из-за различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного решения.

Найдем его подбором.

Проверим $x = -1$:

Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$.

Правая часть: $2 \cdot (-1) + 9 = -2 + 9 = 7$.

Равенство $7 = 7$ выполняется, следовательно, $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: -1

г) $3^{\frac{x}{2}} = -0,5x + 4$

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^{\frac{x}{2}}$ и $y_2(x) = -0,5x + 4$.

Функцию $y_1(x) = 3^{\frac{x}{2}}$ можно представить как $y_1(x) = (\sqrt{3})^x$. Так как основание $a = \sqrt{3} \approx 1,732 > 1$, эта показательная функция является монотонно возрастающей.

Функция $y_2(x) = -0,5x + 4$ — линейная с угловым коэффициентом $k = -0,5 < 0$, значит, она монотонно убывает.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Удобно проверять четные значения $x$, чтобы показатель степени был целым.

Проверим $x = 2$:

Левая часть: $3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $-0,5 \cdot 2 + 4 = -1 + 4 = 3$.

Так как $3 = 3$, $x = 2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: 2

40.28 a) $4(\sqrt{5} - 2)^{x - 12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x - 12};$

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x + 1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x + 1}.$

а) $4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x-12}$

Первым шагом преобразуем правую часть уравнения. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5} - 2)$.

$\frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{1} = 2(\sqrt{5} - 2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = (2(\sqrt{5} - 2))^{x-12}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = 2^{x-12} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{x-12}$

Так как основание $\sqrt{5} - 2 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $(\sqrt{5} - 2)^{x-12}$, при условии, что этот множитель не равен нулю (что всегда верно).

$4 = 2^{x-12}$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^2 = 2^{x-12}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 = x - 12$

Отсюда находим x:

$x = 12 + 2$

$x = 14$

Ответ: $14$

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x+1}$

Действуем аналогично предыдущему примеру. Преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{8})$.

$\frac{3}{3 + \sqrt{8}} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{(3 + \sqrt{8})(3 - \sqrt{8})} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{9 - 8} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{1} = 3(3 - \sqrt{8})$

Подставим полученный результат в исходное уравнение:

$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = (3(3 - \sqrt{8}))^{2x+1}$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot (3 - \sqrt{8})^{2x+1}$

Основание $3 - \sqrt{8} \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(3 - \sqrt{8})^{2x+1}$.

$9 = 3^{2x+1}$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^2 = 3^{2x+1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2 = 2x + 1$

Решаем полученное линейное уравнение относительно x:

$2x = 2 - 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

40.25 a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разложим основания степеней на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot 3^{2x} - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Множитель $2^x$ всегда строго больше нуля ($2^x > 0$) для любого действительного $x$, поэтому он не может быть равен нулю.
Следовательно, равен нулю второй множитель:
$3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Получили уравнение, которое является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Ответ: $2$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Преобразуем уравнение. Разложим основания степеней на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Также используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(2^2 \cdot 3)^x - 6^x \cdot 6^1 + 8 \cdot 3^x = 0$
$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$
$2^{2x} \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8) = 0$
Так как множитель $3^x > 0$ при любом действительном $x$, он не может быть равен нулю. Значит, нулю равен второй множитель:
$2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба корня положительные, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $2^x = t_1 = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_1 = 1$
2) $2^x = t_2 = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$

40.29 a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}.$

а) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести все его члены к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Воспользуемся свойствами степеней.

Преобразуем каждый член уравнения:

1. $3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

2. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{-3+x} = 3^{x-3} = \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{27}$

3. $\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{2(4-x)}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{8-2x}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = \sqrt{3^{2x-8}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4} = \frac{3^x}{3^4} = \frac{3^x}{81}$

Теперь подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{27} = \frac{3^x}{81} + 207$

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y}{3} - \frac{y}{27} = \frac{y}{81} + 207$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 81, чтобы избавиться от дробей:

$81 \cdot \left(\frac{y}{3}\right) - 81 \cdot \left(\frac{y}{27}\right) = 81 \cdot \left(\frac{y}{81}\right) + 81 \cdot 207$

$27y - 3y = y + 16767$

Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть:

$24y - y = 16767$

$23y = 16767$

$y = \frac{16767}{23}$

$y = 729$

Полученное значение $y = 729$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$3^x = y$

$3^x = 729$

Представим число 729 как степень числа 3:

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$

Таким образом, получаем уравнение:

$3^x = 3^6$

Так как основания равны, то и показатели степени равны:

$x = 6$

Ответ: $x=6$.

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}$

Приведем все показательные члены уравнения к основанию 2.

Преобразуем каждый член уравнения:

1. $\sqrt[4]{16^{x+1}} = (16^{x+1})^{\frac{1}{4}} = ((2^4)^{x+1})^{\frac{1}{4}} = (2^{4(x+1)})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4(x+1)}{4}} = 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

2. $0,5^{3-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} = (2^{-1})^{3-x} = 2^{-1 \cdot (3-x)} = 2^{-3+x} = 2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2 \cdot 2^x + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{8}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$2t + 188 = 8t - \frac{t}{8}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части уравнения, а свободные члены - в другой.

$188 = 8t - 2t - \frac{t}{8}$

$188 = 6t - \frac{t}{8}$

Приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю 8:

$188 = \frac{6t \cdot 8}{8} - \frac{t}{8}$

$188 = \frac{48t - t}{8}$

$188 = \frac{47t}{8}$

Теперь выразим $t$:

$t = \frac{188 \cdot 8}{47}$

Заметим, что $188 = 4 \cdot 47$. Сократим дробь:

$t = \frac{4 \cdot 47 \cdot 8}{47} = 4 \cdot 8 = 32$

Значение $t = 32$ удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$2^x = t$

$2^x = 32$

Представим 32 как степень числа 2:

$32 = 2^5$

Получаем уравнение:

$2^x = 2^5$

Отсюда $x=5$.

Ответ: $x=5$.

40.22 a) $2^{4x + 2} \cdot 5^{-3x - 1} = 6{,}25 \cdot 2^{x + 1}$;

б) $3^{5x - 1} \cdot 7^{2x - 2} = 3^{3x + 1}$.

а)

Дано показательное уравнение: $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$.

Первым шагом преобразуем число $6,25$. Представим его в виде обыкновенной дроби, а затем в виде произведения степеней с основаниями 2 и 5, которые присутствуют в уравнении.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2} = 5^2 \cdot 2^{-2}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = (5^2 \cdot 2^{-2}) \cdot 2^{x+1}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, объединим степени с основанием 2 в правой части:

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x+1-2}$.

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x-1}$.

Разделим обе части уравнения так, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Разделим на $2^{x-1}$ и на $5^{-3x-1}$. Так как показательные функции всегда положительны, деление корректно.

$\frac{2^{4x+2}}{2^{x-1}} = \frac{5^2}{5^{-3x-1}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к обеим частям уравнения:

$2^{(4x+2) - (x-1)} = 5^{2 - (-3x-1)}$.

$2^{4x+2-x+1} = 5^{2+3x+1}$.

$2^{3x+3} = 5^{3x+3}$.

Поскольку основания $2$ и $5$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю, так как $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. Также можно разделить обе части на $5^{3x+3} \neq 0$.

$(\frac{2}{5})^{3x+3} = 1$.

Представим 1 как $(\frac{2}{5})^0$:

$(\frac{2}{5})^{3x+3} = (\frac{2}{5})^0$.

Приравнивая показатели степеней, получаем линейное уравнение:

$3x+3 = 0$.

$3x = -3$.

$x = -1$.

Ответ: $-1$.

б)

Дано показательное уравнение: $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}$.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x+1}$ (это действие корректно, так как $3^{3x+1} > 0$ при любом $x$).

$\frac{3^{5x-1}}{3^{3x+1}} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

Используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:

$3^{(5x-1) - (3x+1)} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

$3^{5x-1-3x-1} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

$3^{2x-2} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

В левой части мы имеем произведение степеней с одинаковым показателем. Воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(3 \cdot 7)^{2x-2} = 1$.

$21^{2x-2} = 1$.

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как $21^0$.

$21^{2x-2} = 21^0$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x-2 = 0$.

$2x = 2$.

$x = 1$.

Ответ: $1$.

40.26 а) $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$

б) $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$

В) $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$

Г) $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$

а) Дано уравнение $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$.
Поскольку дроби равны и их числители равны 1, то их знаменатели также должны быть равны. Область допустимых значений: знаменатели не должны равняться нулю. $3^x+2 > 0$ и $3^{x+1} > 0$ для любого действительного $x$.
Приравняем знаменатели:
$3^x + 2 = 3^{x+1}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования правой части уравнения:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$
Перенесем слагаемые, содержащие $3^x$, в одну сторону:
$2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$
Вынесем $3^x$ за скобки:
$2 = (3 - 1) \cdot 3^x$
$2 = 2 \cdot 3^x$
Разделим обе части на 2:
$1 = 3^x$
Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, получаем:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

б) Дано уравнение $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$.
Поскольку числители дробей равны 5, для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели были равны. Знаменатели $12^x+143$ и $12^{x+2}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$12^x + 143 = 12^{x+2}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$12^{x+2} = 12^x \cdot 12^2 = 144 \cdot 12^x$
Подставим в уравнение:
$12^x + 143 = 144 \cdot 12^x$
Перенесем $12^x$ в правую часть:
$143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$
Вынесем $12^x$ за скобки:
$143 = (144 - 1) \cdot 12^x$
$143 = 143 \cdot 12^x$
Разделим обе части на 143:
$1 = 12^x$
Отсюда находим $x$:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$.
Дроби равны, числители равны 1, следовательно, знаменатели также равны. Знаменатели $5^x+4$ и $5^{x+1}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$5^x + 4 = 5^{x+1}$
Преобразуем правую часть по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$
Подставим в уравнение:
$5^x + 4 = 5 \cdot 5^x$
Сгруппируем члены с $5^x$:
$4 = 5 \cdot 5^x - 5^x$
$4 = (5 - 1) \cdot 5^x$
$4 = 4 \cdot 5^x$
Разделим обе части на 4:
$1 = 5^x$
Следовательно:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

г) Дано уравнение $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$.
Так как числители дробей равны 8, то и знаменатели должны быть равны. Знаменатели $11^x+120$ и $11^{x+2}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$11^x + 120 = 11^{x+2}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$
Подставим это в уравнение:
$11^x + 120 = 121 \cdot 11^x$
Перенесем слагаемые с $11^x$ в правую часть:
$120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$
Вынесем $11^x$ за скобки:
$120 = (121 - 1) \cdot 11^x$
$120 = 120 \cdot 11^x$
Разделим обе части на 120:
$1 = 11^x$
Отсюда следует, что:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

40.30 a) $24 \cdot 3^{2x^2-3x-2} - 2 \cdot 3^{2x^2-3x} + 3^{2x^2-3x-1} = 9;$

б) $5 \cdot 2^{x^2+5x+7} + 2^{x^2+5x+9} - 2^{x^2+5x+10} = 2.$

a)

Дано показательное уравнение: $24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + 3^{2x^2 - 3x - 1} = 9$.

Заметим, что в показателях степеней есть общее выражение $2x^2 - 3x$. Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель $3^{2x^2 - 3x}$.

$3^{2x^2 - 3x - 2} = 3^{2x^2 - 3x} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x}$

$3^{2x^2 - 3x - 1} = 3^{2x^2 - 3x} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$24 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x}\right) - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x} = 9$

$\frac{24}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x} = 9$

Сократим дробь $\frac{24}{9}$ до $\frac{8}{3}$ и вынесем общий множитель $3^{2x^2 - 3x}$ за скобки:

$3^{2x^2 - 3x} \left(\frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3}\right) = 9$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{9}{3} - 2 = 3 - 2 = 1$

Уравнение принимает вид:

$3^{2x^2 - 3x} \cdot 1 = 9$

$3^{2x^2 - 3x} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x^2 - 3x = 2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -0.5$.

б)

Дано показательное уравнение: $5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} - 2^{x^2 + 5x + 10} = 2$.

Заметим, что в показателях степеней есть общее выражение $x^2 + 5x$. Преобразуем слагаемые, выделив множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{x^2 + 5x + 7}$.

$2^{x^2 + 5x + 9} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 2} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

$2^{x^2 + 5x + 10} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 3} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} - 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} = 2$

Вынесем общий множитель $2^{x^2 + 5x + 7}$ за скобки:

$2^{x^2 + 5x + 7} (5 + 4 - 8) = 2$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5 + 4 - 8 = 9 - 8 = 1$

Уравнение принимает вид:

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 1 = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} = 2^1$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 + 5x + 7 = 1$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -3$.

40.23 а) $3^x = -x - \frac{2}{3}$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 4x + 6$;

В) $2x + 1,8 = -5^x$;

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = 3x + 1$.

а) Данное уравнение $3^x = -x - \frac{2}{3}$ является трансцендентным. Для его решения рассмотрим графики функций левой и правой частей: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = -x - \frac{2}{3}$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ — показательная с основанием больше 1, поэтому она является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2(x) = -x - \frac{2}{3}$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($-1$), поэтому она является строго убывающей.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x = -1$:
Левая часть: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Правая часть: $-(-1) - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Так как $ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $, то $x = -1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, он и является решением.
Ответ: $x = -1$.

б) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{2})^x = 4x + 6$.
Введем две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = 4x + 6$.
Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому она является строго убывающей.
Функция $y_2(x) = 4x + 6$ — линейная с положительным угловым коэффициентом (4), поэтому она является строго возрастающей.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения, значит, уравнение имеет не более одного решения.
Найдем решение методом подбора. Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.
Правая часть: $4(-1) + 6 = -4 + 6 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, $x = -1$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: $x = -1$.

в) Рассмотрим уравнение $2x + 1,8 = -5^x$.
Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть: $5^x + 2x + 1,8 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 2x + 1,8$. Эта функция представляет собой сумму двух функций: $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 2x + 1,8$.
Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная, строго возрастающая.
Функция $y_2(x) = 2x + 1,8$ — линейная, строго возрастающая.
Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного корня.
Найдем этот корень подбором. Проверим $x = -1$:
$5^{-1} + 2(-1) + 1,8 = \frac{1}{5} - 2 + 1,8 = 0,2 - 2 + 1,8 = 0$.
Значение $x = -1$ обращает уравнение в верное равенство. Так как корень единственный, это и есть решение.
Ответ: $x = -1$.

г) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.
Введем две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = 3x + 1$.
Функция $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{4} < 1$, поэтому она строго убывает.
Функция $y_2(x) = 3x + 1$ — линейная с положительным коэффициентом $3$, поэтому она строго возрастает.
Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем корень методом подбора. Проверим $x = 0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $3(0) + 1 = 1$.
Так как $1=1$, $x = 0$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть окончательное решение.
Ответ: $x = 0$.

40.27 а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0;$

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0;$

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0.$

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степеней: $2^{2x} = (2^x)^2$, $3^{2x} = (3^x)^2$ и $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.

$3 \cdot (2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2 \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $2^{2x} = (2^x)^2$, $5^{2x} = (5^x)^2$ и $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$.

$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$, которое всегда больше нуля.

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 5 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Найдем корни:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{5}{2}$:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение: $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$, $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$ и $7^{2x} = (7^x)^2$.

$3 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot (7^x)^2 = 0$

Разделим обе части этого однородного уравнения на $7^{2x} > 0$.

$3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(7^x)^2} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{(7^x)^2} - 7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(7^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{3}{7})^{2x} - 4 \cdot (\frac{3}{7})^x - 7 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{7})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 - 4t - 7 = 0$

Найдем корни:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Корень $t_1 = -1$ не подходит по условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{7}{3}$:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{7}{3}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0$

Преобразуем уравнение: $3^{2x} = (3^x)^2$, $15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$ и $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

$5 \cdot (3^x)^2 + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x - 6 \cdot (5^x)^2 = 0$

Разделим обе части этого однородного уравнения на $5^{2x} > 0$.

$5 \cdot \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 7 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$5 \cdot (\frac{3}{5})^{2x} + 7 \cdot (\frac{3}{5})^x - 6 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 + 7t - 6 = 0$

Найдем корни:

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

$t_1 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

$t_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^x = \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

40.31 a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разложим основания степеней на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$.

Перепишем исходное уравнение в новом виде:

$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$

$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

$2^x \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки. Так как $2^x > 0$ для любого действительного значения $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^x$, не опасаясь потери корней:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

Отсюда следует, что $x = 2$.

Ответ: 2.

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Как и в предыдущем задании, разложим основания степеней на множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, $6 = 2 \cdot 3$. Также преобразуем $6^{x+1}$ по свойству степеней: $6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1$.

Перепишем уравнение:

$(4 \cdot 3)^x - 6 \cdot 6^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$4^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$(2^x)^2 \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки. Так как $3^x > 0$ для любого действительного значения $x$, разделим обе части уравнения на $3^x$:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Оба корня положительны, следовательно, оба удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого из корней.

1) Для $y_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2) Для $y_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2.

1. Что называют числовой последовательностью?

Числовой последовательностью называют функцию, область определения которой — множество натуральных чисел $N$. Проще говоря, это занумерованный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, ...$ (называемому номером или индексом) по определенному правилу ставится в соответствие некоторое число $a_n$.

Числа $a_1, a_2, a_3, ...$ являются членами последовательности. Обозначение $a_n$ называют общим членом последовательности, так как оно задает любой член последовательности. Саму последовательность принято обозначать как $(a_n)$, $\{a_n\}$ или перечислением ее членов: $a_1, a_2, a_3, ...$.

Последовательности бывают конечными, если они содержат конечное число членов, и бесконечными, если число их членов не ограничено.

Существует несколько основных способов задания последовательности:

1. Аналитический. Последовательность задается формулой ее n-го члена, то есть $a_n = f(n)$. Эта формула позволяет найти любой член последовательности, зная его номер $n$.
Пример: формула $a_n = 2n-1$ задает последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ...

2. Рекуррентный. Задается правило (рекуррентная формула), которое позволяет вычислить n-й член последовательности через предыдущие члены. При этом необходимо задать один или несколько начальных членов.
Пример: последовательность Фибоначчи, где $a_1=1, a_2=1$ и $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ для $n \ge 1$. Члены последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

3. Словесный. Правило, по которому находятся члены последовательности, описывается словами.
Пример: "Последовательность простых чисел в порядке возрастания". Члены последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, ...

Ответ: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (номеру) поставлено в соответствие единственное число $a_n$ (член последовательности).

2. Какую числовую последовательность называют:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше этого числа. Иными словами, для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $x_n \ge m$. Число $m$ называют нижней границей последовательности.
Например, последовательность, заданная формулой $x_n = n^2$, то есть $\{1, 4, 9, 25, \dots\}$, ограничена снизу, так как все её члены больше или равны 1. В данном случае в качестве $m$ можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует число $m$ такое, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \ge m$.

б) ограниченной сверху

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не больше этого числа. То есть, для любого натурального числа $n$ справедливо неравенство $x_n \le M$. Число $M$ называют верхней границей последовательности.
Например, последовательность $x_n = \frac{1}{n}$, то есть $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$, ограничена сверху. Все её члены меньше или равны 1. В качестве $M$ можно взять число 1 или любое число больше 1.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует число $M$ такое, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \le M$.

в) ограниченной

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной, если она ограничена одновременно и снизу, и сверху. Это означает, что существуют два числа $m$ и $M$ такие, что для любого натурального числа $n$ выполняется двойное неравенство $m \le x_n \le M$.
Эквивалентное определение: последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существует такое положительное число $C > 0$, что для всех $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le C$.
Например, последовательность $x_n = \sin(n)$ является ограниченной, так как для любого $n$ справедливо неравенство $-1 \le \sin(n) \le 1$. Здесь можно взять $m = -1$ и $M = 1$, или $C = 1$.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть существуют числа $m$ и $M$ такие, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$.

3. Приведите пример числовой последовательности, которая:

a) ограничена снизу;

б) ограничена сверху;

в) ограничена;

г) не ограничена ни снизу, ни сверху.

а) ограничена снизу
Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$. При этом последовательность не обязана быть ограниченной сверху.
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.
Ее члены: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
Все члены этой последовательности больше или равны 1. Например, можно взять $m=1$ (или любое число меньше 1, например, $m=0$). Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \ge 1$.
При этом последовательность не ограничена сверху, так как для любого числа $M$ найдется такой член последовательности $a_n = n$, что $n > M$.
Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) ограничена сверху
Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_n \le M$. При этом последовательность не обязана быть ограниченной снизу.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = -n$.
Ее члены: $-1, -2, -3, -4, -5, \dots$
Все члены этой последовательности меньше или равны -1. Например, можно взять $M=-1$ (или любое число больше -1, например, $M=0$). Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \le -1$.
При этом последовательность не ограничена снизу, так как для любого числа $m$ найдется такой член последовательности $a_n = -n$, что $-n < m$.
Ответ: последовательность $a_n = -n$.

в) ограничена
Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. То есть существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого натурального $n$ выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.
Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$
С одной стороны, все члены последовательности положительны, то есть $a_n > 0$. Значит, последовательность ограничена снизу (например, числом $m=0$).
С другой стороны, самый большой член последовательности — это первый, $a_1=1$. Все остальные члены меньше 1. Значит, $a_n \le 1$. Таким образом, последовательность ограничена сверху (числом $M=1$).
Для всех членов последовательности выполняется неравенство $0 < a_n \le 1$.
Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) не ограничена ни снизу, ни сверху
Такая последовательность не имеет ни нижней, ни верхней границы. Это означает, что для любого числа $M$ найдется член последовательности $a_k > M$, и для любого числа $m$ найдется член последовательности $a_j < m$.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.
Ее члены: $-1, 2, -3, 4, -5, 6, \dots$
Члены с четными номерами ($n=2k$) образуют подпоследовательность $a_{2k} = 2k$: $2, 4, 6, \dots$, которая стремится к $+\infty$. Это значит, что последовательность не ограничена сверху.
Члены с нечетными номерами ($n=2k-1$) образуют подпоследовательность $a_{2k-1} = -(2k-1)$: $-1, -3, -5, \dots$, которая стремится к $-\infty$. Это значит, что последовательность не ограничена снизу.
Следовательно, вся последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ: последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$.

4. Какую числовую последовательность называют:

а) возрастающей;

б) убывающей?

а) возрастающей

Числовую последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего. Такие последовательности также называют строго возрастающими.

Если обозначить члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, a_{n+1}, \dots$, то для возрастающей последовательности для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство: $a_{n+1} > a_n$.

Пример: последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ является возрастающей, так как каждый следующий член больше предыдущего ($2>1$, $3>2$ и так далее).

Ответ: Числовую последовательность $(a_n)$ называют возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется условие $a_{n+1} > a_n$, то есть каждый следующий её член больше предыдущего.

б) убывающей

Числовую последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего. Такие последовательности также называют строго убывающими.

Для убывающей последовательности $(a_n)$ для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство: $a_{n+1} < a_n$.

Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ является убывающей, так как каждый следующий член меньше предыдущего ($\frac{1}{2} < 1$, $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ и так далее).

Ответ: Числовую последовательность $(a_n)$ называют убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется условие $a_{n+1} < a_n$, то есть каждый следующий её член меньше предыдущего.

5. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) убывает;

б) возрастает;

в) не является монотонной.

а) убывает

Убывающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не больше предыдущего. Для строго убывающей последовательности каждый следующий член строго меньше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \le a_n$ (или $a_{n+1} < a_n$ для строго убывающей).

Приведем в качестве примера последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $a_1 = \frac{1}{1} = 1$; $a_2 = \frac{1}{2}$; $a_3 = \frac{1}{3}$; $a_4 = \frac{1}{4}$; ...

Видно, что члены последовательности уменьшаются. Докажем это строго. Сравним два соседних члена: $a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.

Поскольку $n$ – натуральное число, то $n+1 > n$. Так как оба числа положительны, при взятии обратных величин знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_{n+1} < a_n$, что означает, что последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$

б) возрастает

Возрастающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не меньше предыдущего. Для строго возрастающей последовательности каждый следующий член строго больше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \ge a_n$ (или $a_{n+1} > a_n$ для строго возрастающей).

Приведем в качестве примера последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.

Выпишем несколько первых членов: $a_1 = 1$; $a_2 = 2$; $a_3 = 3$; $a_4 = 4$; ...

Очевидно, что члены последовательности увеличиваются. Докажем это. Сравним $a_n = n$ и $a_{n+1} = n+1$.

Для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$.

Следовательно, $a_{n+1} > a_n$ для любого $n \in \mathbb{N}$, и данная последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n$, то есть $1, 2, 3, 4, \ldots$

в) не является монотонной

Монотонными называют возрастающие и убывающие последовательности. Последовательность не является монотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Это означает, что в последовательности существуют как пары соседних членов, где следующий больше предыдущего, так и пары, где следующий меньше предыдущего. То есть найдутся такие номера $k$ и $m$, что $a_{k+1} > a_k$ и $a_{m+1} < a_m$.

Приведем в качестве примера знакочередующуюся последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n$.

Выпишем несколько первых членов: $a_1 = -1$; $a_2 = 1$; $a_3 = -1$; $a_4 = 1$; ...

Сравним первую пару членов: $a_1 = -1$ и $a_2 = 1$. Здесь $a_2 > a_1$, то есть на этом шаге последовательность возрастает.

Теперь сравним вторую пару членов: $a_2 = 1$ и $a_3 = -1$. Здесь $a_3 < a_2$, то есть на этом шаге последовательность убывает.

Поскольку последовательность имеет как участки возрастания, так и участки убывания, она не является монотонной.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$, то есть $-1, 1, -1, 1, \ldots$

6. При каких значениях основания $a$ последовательность $y_n = a^n$:

а) убывает;

б) возрастает;

в) стационарна;

г) немонотонна?

а) убывает
Последовательность $y_n = a^n$ является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется строгое неравенство $y_{n+1} < y_n$, то есть $a^{n+1} < a^n$.
Рассмотрим различные случаи для основания $a$:
1. Если $a > 0$, то $a^n$ также будет положительным для любого $n$. Мы можем разделить обе части неравенства $a^{n+1} < a^n$ на $a^n$, не меняя знака неравенства. Получим $a < 1$. Совмещая с условием $a > 0$, получаем, что последовательность убывает при $0 < a < 1$.
2. Если $a = 0$, последовательность имеет вид $0, 0, 0, \dots$ и является стационарной, а не строго убывающей.
3. Если $a < 0$, члены последовательности чередуют знаки (например, $y_1 = a < 0$, $y_2 = a^2 > 0$, $y_3 = a^3 < 0, \dots$). Такая последовательность не является монотонной, так как $y_1 < y_2$, но $y_2 > y_3$.
Следовательно, последовательность является убывающей только при указанном условии.
Ответ: $0 < a < 1$.

б) возрастает
Последовательность является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$, что соответствует неравенству $a^{n+1} > a^n$.
1. Если $a > 0$, делим неравенство на положительное число $a^n$ и получаем $a > 1$.
2. Если $a = 1$, последовательность стационарна ($1, 1, 1, \dots$), она является неубывающей, но не строго возрастающей.
3. Если $a \le 0$, последовательность не является возрастающей, как было показано в пункте а).
Таким образом, последовательность возрастает только при $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

в) стационарна
Последовательность является стационарной, если все ее члены равны между собой, то есть $y_{n+1} = y_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это равносильно уравнению $a^{n+1} = a^n$.
Перенесем все члены в одну сторону: $a^{n+1} - a^n = 0$, или $a^n(a-1) = 0$.
Это равенство должно выполняться для всех натуральных $n \ge 1$.
1. Если $a = 1$, то $1^n(1-1) = 0$ для всех $n$. Последовательность имеет вид $1, 1, 1, \dots$ и является стационарной.
2. Если $a = 0$, то для $n \ge 1$ равенство $0^n(0-1) = 0$ также выполняется. Последовательность имеет вид $0, 0, 0, \dots$ и является стационарной.
Следовательно, последовательность стационарна в этих двух случаях.
Ответ: $a=0$ или $a=1$.

г) немонотонна
Последовательность является немонотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей, ни стационарной. Это означает, что мы должны рассмотреть все значения $a$, которые не вошли в предыдущие пункты.
Мы установили, что:
- при $a > 1$ последовательность возрастает;
- при $a = 1$ она стационарна;
- при $0 < a < 1$ она убывает;
- при $a = 0$ она стационарна.
Все эти случаи покрывают множество действительных чисел $a \ge 0$. Следовательно, немонотонной последовательность будет для всех оставшихся значений $a$, то есть при $a < 0$.
Действительно, если $a < 0$, то знаки членов последовательности $y_n = a^n$ будут чередоваться: $y_1=a<0$, $y_2=a^2>0$, $y_3=a^3<0$, и так далее. Поскольку $y_1 < y_2$ и $y_2 > y_3$, последовательность не может быть монотонной.
Ответ: $a < 0$.

7. Что называют пределом числовой последовательности?

Предел числовой последовательности — это фундаментальное понятие в математическом анализе. Интуитивно, это число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера. То есть, чем дальше мы продвигаемся по последовательности, тем ближе ее элементы становятся к некоторому значению, которое и называется пределом.

Формальное определение (известное как определение Коши или определение на языке «эпсилон-дельта»/«эпсилон-N»):

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\epsilon$ (эпсилон) найдется такое натуральное число $N$ (которое, как правило, зависит от выбора $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$
Это принято записывать следующим образом: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Суть определения и его составляющие:
- Число $\epsilon > 0$ задает произвольно узкий «коридор» или, говоря более строго, $\epsilon$-окрестность точки $a$, то есть интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$.
- Неравенство $|x_n - a| < \epsilon$ как раз и означает, что член последовательности $x_n$ попал в эту окрестность.
- Число $N$ — это номер, начиная с которого все последующие члены последовательности ($x_{N+1}, x_{N+2}, \dots$) без исключения будут находиться внутри этого «коридора» и уже никогда его не покинут.
Важно, что мы должны уметь находить такое $N$ для абсолютно любого, даже самого маленького, $\epsilon > 0$.

Геометрическая интерпретация:
На числовой оси это означает, что какую бы малую окрестность точки $a$ мы ни взяли, лишь конечное число членов последовательности (с номерами от 1 до $N$) могут находиться за ее пределами. Все остальные (бесконечное множество) члены последовательности будут располагаться внутри этой окрестности.

Пример:
Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$. Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Интуитивно ясно, что они стремятся к нулю. Докажем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
В нашем случае $a=0$. Зададим произвольное $\epsilon > 0$. Мы должны найти такой номер $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$.
Упростим неравенство: $\frac{1}{n} < \epsilon$.
Решим его относительно $n$: $n > \frac{1}{\epsilon}$.
Это означает, что если мы выберем в качестве $N$ любое целое число, большее чем $\frac{1}{\epsilon}$ (например, можно взять $N = \lfloor\frac{1}{\epsilon}\rfloor$), то для любого $n > N$ неравенство будет выполняться. Поскольку мы смогли указать способ нахождения $N$ для любого $\epsilon > 0$, мы доказали, что предел последовательности равен 0.

Ответ: Пределом числовой последовательности $\{x_n\}$ называют такое число $a$, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \epsilon$.

8. В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится, а в каком — расходится?

В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится

Говорят, что числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится, если существует такое конечное число $a$, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом номера $n$. Это число $a$ называется пределом последовательности.

Более строго, на языке математики (определение Коши), это формулируется так: число $a$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) найдётся такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:

$|x_n - a| < \epsilon$

Это неравенство означает, что расстояние между членом последовательности $x_n$ и пределом $a$ меньше, чем $\epsilon$. Иными словами, начиная с некоторого номера $N$, все последующие члены последовательности попадают в интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$.

Записывается это так: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Пример: Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$.

Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. С ростом $n$ эти числа становятся всё ближе и ближе к нулю. Предел этой последовательности равен 0. Какую бы малую окрестность нуля мы ни взяли (например, $\epsilon = 0.001$), мы всегда найдем номер $N$ (в данном случае $N=1000$), после которого все члены последовательности ($x_{1001}, x_{1002}, \ldots$) будут находиться внутри этой окрестности, то есть будут меньше $0.001$.

Ответ: Числовая последовательность сходится, если она имеет конечный предел.

В каком случае говорят, что числовая последовательность расходится

Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не сходится. Это означает, что у последовательности нет конечного предела. Существует несколько типичных случаев расходимости:

1. Последовательность стремится к бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$).

В этом случае члены последовательности неограниченно возрастают (или убывают). Говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

• Пример 1: $x_n = n^2$. Члены последовательности $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ постоянно растут и не приближаются ни к какому конечному числу. $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$.
• Пример 2: $x_n = -n$. Члены последовательности $-1, -2, -3, -4, \ldots$ неограниченно убывают. $\lim_{n \to \infty} (-n) = -\infty$.

2. Последовательность колеблется (осциллирует) и не стремится к какому-либо одному числу.

В этом случае у последовательности нет ни конечного, ни бесконечного предела.

• Пример 3: $x_n = (-1)^n$. Члены последовательности попеременно принимают значения $-1, 1, -1, 1, \ldots$. Они не приближаются к какому-то одному числу, а "прыгают" между двумя значениями. Такая последовательность не имеет предела.
• Пример 4: $x_n = \sin(n)$. Члены этой последовательности колеблются в пределах отрезка $[-1, 1]$, но не стремятся к какому-либо конкретному значению.

Ответ: Числовая последовательность расходится, если она не имеет конечного предела, то есть либо стремится к бесконечности, либо колеблется, не приближаясь ни к какому числу.

9. Чему равен предел последовательности:

а) $y_n = \frac{1}{n}$

б) $y_n = \frac{k}{n}$

в) $y_n = 3?$

а)

Чтобы найти предел последовательности $y_n = \frac{1}{n}$, мы должны определить, к какому значению стремятся члены этой последовательности, когда их номер $n$ неограниченно возрастает ($n \to \infty$).

Когда знаменатель $n$ в дроби $\frac{1}{n}$ становится очень большим, значение самой дроби становится очень маленьким и приближается к нулю. Например, если $n=100$, то $y_{100}=0.01$; если $n=10000$, то $y_{10000}=0.0001$.

Формально, предел данной последовательности записывается следующим образом: $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Ответ: 0

б)

Рассмотрим последовательность $y_n = \frac{k}{n}$, где $k$ — это некоторое постоянное число (константа).

Для нахождения предела мы можем воспользоваться свойством пределов, которое позволяет выносить постоянный множитель за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{k}{n} = k \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} $$

Из предыдущего пункта а) нам известно, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Подставим это значение в наше выражение: $$ k \cdot 0 = 0 $$ Таким образом, предел последовательности $y_n = \frac{k}{n}$ равен нулю при любом постоянном $k$.

Ответ: 0

в)

Последовательность $y_n = 3$ является постоянной (стационарной), поскольку каждый её член, независимо от номера $n$, равен одному и тому же числу 3.

Предел постоянной последовательности всегда равен значению этой постоянной. Так как все члены последовательности уже равны 3, то и стремятся они к 3. $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 = 3 $$

Ответ: 3

10. При каких значениях $q$ предел последовательности $y_n = q^n$:

a) равен 0;

б) равен 1;

в) не существует?

Рассмотрим предел последовательности $y_n = q^n$ при $n \to \infty$ в зависимости от значения параметра $q$. Поведение последовательности кардинально меняется в зависимости от того, попадает ли $q$ в интервалы $(-\infty, -1]$, $(-1, 1)$, $\{1\}$ или $(1, \infty)$.

а) предел равен 0

Предел последовательности $\lim_{n \to \infty} q^n$ равен нулю тогда и только тогда, когда модуль основания $q$ строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Докажем это, рассмотрев три случая:

1. Если $q = 0$, то последовательность, начиная со второго члена, является постоянной и равной нулю: $y_n = 0^n = 0$ для $n \ge 1$. Предел такой последовательности равен $0$.
2. Если $0 < q < 1$, то последовательность $y_n = q^n$ является убывающей и ограниченной снизу нулём. По теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Этот предел равен нулю. Например, для $q = \frac{1}{2}$, последовательность $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ очевидно стремится к $0$.
3. Если $-1 < q < 0$, то последовательность является знакочередующейся. Возьмём её по модулю: $|y_n| = |q^n| = |q|^n$. Так как $-1 < q < 0$, то $0 < |q| < 1$. Согласно предыдущему пункту, $\lim_{n \to \infty} |q|^n = 0$. Если предел модуля последовательности равен нулю, то и предел самой последовательности равен нулю.

Следовательно, предел равен 0 при всех $q$, удовлетворяющих условию $|q|<1$.

Ответ: $-1 < q < 1$.

б) предел равен 1

Рассмотрим, при каком значении $q$ предел последовательности $y_n = q^n$ равен единице.

Если $q = 1$, то каждый член последовательности $y_n = 1^n$ равен 1. Мы получаем стационарную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Предел такой последовательности равен 1.

$\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$.

Из анализа в пунктах а) и в) следует, что при любых других значениях $q$ предел либо равен 0, либо не существует. Таким образом, $q=1$ является единственным значением, при котором предел равен 1.

Ответ: $q=1$.

в) предел не существует

Предел последовательности не существует, если она расходится. Расходимость означает, что последовательность не стремится ни к какому конечному числу. Это происходит в следующих случаях:

1. Если $q > 1$, члены последовательности $y_n = q^n$ неограниченно возрастают. Предел такой последовательности равен плюс бесконечности: $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$. Так как предел не является конечным числом, говорят, что конечный предел не существует.
2. Если $q = -1$, последовательность $y_n = (-1)^n$ принимает вид $-1, 1, -1, 1, \dots$. Она имеет две предельные точки ($-1$ и $1$) и не сходится к одному значению. Следовательно, предел не существует.
3. Если $q < -1$, то модуль членов последовательности $|y_n| = |q|^n$ неограниченно возрастает, поскольку $|q|>1$. При этом знак членов последовательности постоянно чередуется. Например, при $q=-2$, имеем $-2, 4, -8, 16, \dots$. Последовательность не стремится ни к конечному пределу, ни к $+\infty$ или $-\infty$. Таким образом, предел не существует.

Объединяя эти три случая, мы заключаем, что предел последовательности $y_n=q^n$ не существует при $q \le -1$ и при $q > 1$.

Ответ: $q \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$.

11. Даны два утверждения. A: числовая последовательность сходится. B: числовая последовательность является ограниченной. Какое из приведённых ниже соотношений является верным:

а) $A \Rightarrow B$;

б) $B \Rightarrow A$;

в) $A \Leftrightarrow B$?

Для решения этой задачи проанализируем каждое из предложенных соотношений между утверждениями A и B.

Утверждение A: числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится. Это означает, что существует конечный предел $L$, к которому стремятся члены последовательности: $\lim_{n \to \infty} x_n = L$.

Утверждение B: числовая последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $m \le x_n \le M$.

а) A ⇒ B

Это соотношение утверждает: "Если числовая последовательность сходится, то она является ограниченной".

Это утверждение является фундаментальной теоремой в математическом анализе (необходимое условие сходимости последовательности) и оно верно. Докажем это.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к числу $L$. По определению предела, для любого $\epsilon > 0$ существует такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - L| < \epsilon$.

Возьмем, к примеру, $\epsilon = 1$. Тогда найдется такое $N$, что для всех $n > N$ будет верно $|x_n - L| < 1$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $L - 1 < x_n < L + 1$. Таким образом, все члены последовательности, начиная с номера $N+1$ (так называемый "хвост" последовательности), ограничены.

Осталось рассмотреть первые $N$ членов последовательности: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, а любое конечное множество всегда ограничено. Пусть $m_1 = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ и $M_1 = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$.

Тогда для всей последовательности мы можем выбрать общие границы. В качестве нижней границы возьмем $m = \min\{m_1, L-1\}$, а в качестве верхней $M = \max\{M_1, L+1\}$.

Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется $m \le x_n \le M$, что и означает ограниченность последовательности $\{x_n\}$.

Следовательно, импликация $A \Rightarrow B$ верна.

Ответ: Верно.

б) B ⇒ A

Это соотношение утверждает: "Если числовая последовательность является ограниченной, то она сходится".

Это утверждение в общем случае неверно. Для его опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$. Её члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...

Эта последовательность является ограниченной, так как для любого $n$ выполняется $|x_n| \le 1$, то есть все её члены лежат в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, утверждение B для этой последовательности истинно.

Однако эта последовательность не сходится. У нее есть две предельные точки (частичных предела): -1 и 1. Для того чтобы последовательность сходилась, она должна иметь только одну предельную точку. Так как последовательность не стремится к единственному пределу, она является расходящейся. Таким образом, утверждение A для этой последовательности ложно.

Поскольку мы нашли пример ограниченной, но расходящейся последовательности, импликация $B \Rightarrow A$ не является верной в общем случае.

Ответ: Неверно.

в) A ⇔ B

Это соотношение утверждает: "Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной".

Эквивалентность $A \Leftrightarrow B$ истинна только в том случае, когда истинны обе импликации: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$.

Как мы установили в пункте а), импликация $A \Rightarrow B$ верна.

Как мы установили в пункте б), импликация $B \Rightarrow A$ неверна.

Поскольку одна из импликаций ложна, то и вся эквивалентность является ложной.

Ответ: Неверно.

Таким образом, единственным верным соотношением из предложенных является а) A ⇒ B.

12. Приведите пример ограниченной последовательности, не являющейся сходящейся.

Для решения этой задачи необходимо привести пример последовательности, которая удовлетворяет двум условиям: она ограничена и при этом не сходится (является расходящейся).

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $x_n = (-1)^n$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = 1$, и так далее. Члены последовательности поочередно принимают значения -1 и 1.

Докажем, что эта последовательность ограничена.

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех натуральных номеров $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$.

Для последовательности $x_n = (-1)^n$ все ее члены по модулю равны 1, так как $|x_n| = |(-1)^n| = 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Следовательно, мы можем выбрать в качестве $M$ число 1 (или любое число, большее 1). Так как неравенство $|x_n| \le 1$ выполняется для всех $n$, данная последовательность является ограниченной.

Докажем, что эта последовательность не является сходящейся.

Сходящаяся последовательность — это последовательность, имеющая конечный предел. Докажем, что у последовательности $x_n = (-1)^n$ предел не существует.

Воспользуемся критерием сходимости, связанным с подпоследовательностями: если последовательность сходится к некоторому пределу $L$, то любая ее подпоследовательность также должна сходиться к этому же пределу $L$.

Рассмотрим две подпоследовательности в $\{x_n\}$:

1. Подпоследовательность, состоящая из членов с четными номерами: $\{x_{2k}\} = \{(-1)^{2k}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Ее предел равен 1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = 1$.

2. Подпоследовательность, состоящая из членов с нечетными номерами: $\{x_{2k-1}\} = \{(-1)^{2k-1}\}_{k=1}^{\infty}$. Эта подпоследовательность представляет собой постоянную последовательность $-1, -1, -1, \dots$. Ее предел равен -1: $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = -1$.

Мы нашли две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам (1 и -1). Это означает, что исходная последовательность $\{x_n\}$ не может иметь единого предела, а следовательно, она не является сходящейся.

Таким образом, последовательность $x_n = (-1)^n$ является примером ограниченной, но не сходящейся последовательности. Другими возможными примерами являются $x_n = \sin(n)$ или $x_n = \cos(n)$.

Ответ: $x_n = (-1)^n$.

13. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.

Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно.

Это утверждение является следствием одной из фундаментальных теорем математического анализа, которая гласит: любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Приведем доказательство этого факта.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится, и её предел равен числу $A$. Математически это записывается так:

$\lim_{n \to \infty} x_n = A$

По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ найдется такой номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:

$|x_n - A| < \epsilon$

Выберем конкретное значение $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда для этого значения существует номер $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется:

$|x_n - A| < 1$

Используя свойство модуля (неравенство треугольника), мы можем оценить $|x_n|$:

$|x_n| = |(x_n - A) + A| \le |x_n - A| + |A|$

Поскольку для $n > N$ мы знаем, что $|x_n - A| < 1$, то для этих же $n$ справедливо неравенство:

$|x_n| < 1 + |A|$

Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |A|$.

Теперь рассмотрим оставшиеся члены последовательности, которых конечное число: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, и оно, очевидно, является ограниченным. Возьмем в качестве ограничивающего числа для них величину $M_1$, равную максимальному из их модулей:

$M_1 = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|\}$

Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Для этого выберем максимальное из двух найденных ограничивающих значений:

$M = \max\{M_1, 1 + |A|\} = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |A|\}$

Таким образом, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.

Поскольку мы доказали, что любая сходящаяся последовательность обязательно является ограниченной, то не существует последовательности, которая бы удовлетворяла условию задачи.

Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.