Страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

39.37 а) $y = 2^x + 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$;

В) $y = 4^x - 1$;

Г) $y = (0,1)^x + 2$.

а) Чтобы построить график функции $y = 2^x + 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = 2^x$. Это возрастающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота этой функции — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика $y = 2^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = 2^{-1} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$
   • при $x = 0$, $y = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$
   • при $x = 1$, $y = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3$
   • при $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

Ответ: График функции $y = 2^x + 1$ — это график функции $y = 2^x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Функция возрастающая, область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), область значений — $E(y) = (1; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$. График проходит через точки $(-1; 1.5)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$.

б) Чтобы построить график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, это убывающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ получается из графика $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - 2 = 9 - 2 = 7$
   • при $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - 2 = 3 - 2 = 1$
   • при $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^0 - 2 = 1 - 2 = -1$
   • при $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^1 - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -1\frac{2}{3}$

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ — это график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, сдвинутый на 2 единицы вниз. Функция убывающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (-2; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. График проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; -1)$, $(1; -1\frac{2}{3})$.

в) Чтобы построить график функции $y = 4^x - 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = 4^x$. Так как основание $4 > 1$, это возрастающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = 4^x - 1$ получается из графика $y = 4^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 1 единицу вниз и становится прямой $y=-1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = 4^{-1} - 1 = 0.25 - 1 = -0.75$
   • при $x = 0$, $y = 4^0 - 1 = 1 - 1 = 0$
   • при $x = 1$, $y = 4^1 - 1 = 4 - 1 = 3$
   • при $x = 1.5$, $y = 4^{1.5} - 1 = (4^{1/2})^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

Ответ: График функции $y = 4^x - 1$ — это график функции $y = 4^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Функция возрастающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (-1; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-1$. График проходит через начало координат $(0; 0)$ и точки $(-1; -0.75)$, $(1; 3)$.

г) Чтобы построить график функции $y = (0,1)^x + 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = (0,1)^x$. Так как основание $0 < 0,1 < 1$, это убывающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = (0,1)^x + 2$ получается из графика $y = (0,1)^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = (0,1)^{-1} + 2 = 10 + 2 = 12$
   • при $x = 0$, $y = (0,1)^0 + 2 = 1 + 2 = 3$
   • при $x = 1$, $y = (0,1)^1 + 2 = 0,1 + 2 = 2,1$

Ответ: График функции $y = (0,1)^x + 2$ — это график функции $y = (0,1)^x$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Функция убывающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (2; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=2$. График проходит через точки $(-1; 12)$, $(0; 3)$, $(1; 2.1)$.

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции:

39.41 a) $y = 3^x, y = -x + 1;$

в) $y = 5^x, y = -2x + 1;$

б) $y = 0.5^x, y = 2x + 1;$

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x, y = x + 1?$

а) $y = 3^x$, $y = -x + 1$

Чтобы найти значения $x$, при которых график показательной функции $y = 3^x$ лежит выше графика линейной функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3^x > -x + 1$

Для решения этого трансцендентного неравенства найдем сначала точки пересечения графиков, решив уравнение $3^x = -x + 1$. Подбором легко найти корень $x = 0$, так как $3^0 = 1$ и $-0 + 1 = 1$.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + x - 1$. Её производная $f'(x) = 3^x \ln(3) + 1$. Так как $3^x > 0$ и $\ln(3) > 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси и, следовательно, может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Так как функции непрерывны, а точка пересечения единственная, нам достаточно проверить знак неравенства $3^x > -x + 1$ в любой точке на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Возьмем точку $x = 1$ (справа от 0): $3^1 > -1 + 1 \Rightarrow 3 > 0$. Неравенство верное.

Возьмем точку $x = -1$ (слева от 0): $3^{-1} > -(-1) + 1 \Rightarrow \frac{1}{3} > 2$. Неравенство неверное.

Следовательно, график функции $y=3^x$ лежит выше графика $y=-x+1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) $y = 0,5^x$, $y = 2x + 1$

Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство:

$0,5^x > 2x + 1$

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $0,5^x = 2x + 1$. При $x = 0$ получаем $0,5^0 = 1$ и $2 \cdot 0 + 1 = 1$. Значит, $x=0$ — корень уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = 0,5^x - 2x - 1$. Её производная $f'(x) = 0,5^x \ln(0,5) - 2$. Так как $0,5^x > 0$ и $\ln(0,5) < 0$, первое слагаемое отрицательно. Значит, $f'(x)$ всегда меньше нуля. Функция $f(x)$ является строго убывающей, поэтому она пересекает ось абсцисс только в одной точке. Следовательно, $x=0$ — единственный корень.

Проверим выполнение неравенства на интервалах, на которые точка $x=0$ делит числовую ось.

При $x = 1$: $0,5^1 > 2 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 0,5 > 3$. Неравенство неверное.

При $x = -1$: $0,5^{-1} > 2 \cdot (-1) + 1 \Rightarrow 2 > -1$. Неравенство верное.

Таким образом, график $y=0,5^x$ лежит выше графика $y=2x+1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1$

Задача сводится к решению неравенства:

$5^x > -2x + 1$

Найдем точку пересечения, решив уравнение $5^x = -2x + 1$. Подстановкой убеждаемся, что $x=0$ является корнем: $5^0 = 1$ и $-2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 2x - 1$. Её производная $f'(x) = 5^x \ln(5) + 2$. Поскольку $5^x > 0$ и $\ln(5) > 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Функция $f(x)$ строго возрастает, а значит, имеет не более одного корня. Таким образом, $x=0$ — единственное решение уравнения.

Проверим знак неравенства на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

При $x = 1$: $5^1 > -2 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 5 > -1$. Неравенство верное.

При $x = -1$: $5^{-1} > -2 \cdot (-1) + 1 \Rightarrow 0,2 > 3$. Неравенство неверное.

Следовательно, график функции $y=5^x$ лежит выше графика $y=-2x+1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1$

Нам нужно решить неравенство:

$\left(\frac{1}{3}\right)^x > x + 1$

Найдем точку пересечения графиков из уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 1$. При $x=0$ левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$, правая часть равна $0+1=1$. Значит, $x=0$ — корень.

Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - x - 1$. Её производная $f'(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x \ln\left(\frac{1}{3}\right) - 1$. Так как $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$ и $\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) < 0$, первое слагаемое отрицательно. Вся производная $f'(x)$ отрицательна. Функция $f(x)$ является строго убывающей и может иметь только один корень. Следовательно, $x=0$ — единственная точка пересечения.

Проверим выполнение неравенства на интервалах.

При $x = 1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^1 > 1 + 1 \Rightarrow \frac{1}{3} > 2$. Неравенство неверное.

При $x = -1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} > -1 + 1 \Rightarrow 3 > 0$. Неравенство верное.

Значит, график функции $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ лежит выше графика $y=x+1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

39.38 а) $y = 5^{x+1}$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;

В) $y = 3^{x-2}$;

Г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$.

Для нахождения функции, обратной к данной показательной функции, необходимо выполнить следующие шаги:
1. В уравнении функции $y = f(x)$ поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Полученное уравнение $x = f(y)$ решить относительно $y$.
Результатом будет искомая обратная функция.

а) Дана функция $y = 5^{x+1}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 5^{y+1}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Для этого прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(x) = \log_5(5^{y+1})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_5(x) = y + 1$

Откуда находим $y$:

$y = \log_5(x) - 1$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_5(x) - 1$.

б) Дана функция $y = (\frac{3}{4})^{x-2}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = (\frac{3}{4})^{y-2}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{3}{4}$:

$\log_{\frac{3}{4}}(x) = \log_{\frac{3}{4}}((\frac{3}{4})^{y-2})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_{\frac{3}{4}}(x) = y - 2$

Откуда находим $y$:

$y = \log_{\frac{3}{4}}(x) + 2$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_{\frac{3}{4}}(x) + 2$.

в) Дана функция $y = 3^x - 2$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 3^y - 2$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала изолируем показательное выражение:

$x + 2 = 3^y$

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$\log_3(x+2) = \log_3(3^y)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_3(x+2) = y$

Таким образом, искомая обратная функция:

$y = \log_3(x+2)$

Ответ: $y = \log_3(x+2)$.

г) Дана функция $y = (\frac{2}{3})^{x+0.5}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = (\frac{2}{3})^{y+0.5}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{2}{3}$:

$\log_{\frac{2}{3}}(x) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{y+0.5})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_{\frac{2}{3}}(x) = y + 0.5$

Откуда находим $y$:

$y = \log_{\frac{2}{3}}(x) - 0.5$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_{\frac{2}{3}}(x) - 0.5$.

Решите графически уравнение:

39.39 a) $3^x = 4 - x$;

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$;

в) $5^x = 6 - x$;

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$.

а) $3^x = 4 - x$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 3^x$ и $y = 4 - x$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. Функция $y = 3^x$ — это показательная функция с основанием $a = 3 > 1$. Она является возрастающей на всей своей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки графика: $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.

2. Функция $y = 4 - x$ — это линейная функция, ее график — прямая. Функция является убывающей, так как угловой коэффициент равен $-1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 4)$ и ось OX в точке $(4, 0)$.

Поскольку одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку пересечения подбором, проверяя целочисленные значения $x$.

Проверим $x = 1$:
Левая часть уравнения: $3^1 = 3$.
Правая часть уравнения: $4 - 1 = 3$.
Так как $3 = 3$, то $x = 1$ является корнем уравнения. Это абсцисса точки пересечения $(1, 3)$.

Ответ: $x = 1$.

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Для решения уравнения построим графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x + 3$. Решением будет абсцисса точки их пересечения.

1. Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ — это показательная функция с основанием $a = 1/2$, где $0 < a < 1$. Она является убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки графика: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$.

2. Функция $y = x + 3$ — это линейная функция, ее график — прямая. Функция является возрастающей, так как угловой коэффициент равен $1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точке $(-3, 0)$.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором.

Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Правая часть: $-1 + 3 = 2$.
Значения совпали, значит, $x = -1$ является решением уравнения. Точка пересечения графиков — $(-1, 2)$.

Ответ: $x = -1$.

в) $5^x = 6 - x$

Решим уравнение графически, построив в одной системе координат графики функций $y = 5^x$ и $y = 6 - x$.

1. Функция $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция (основание $a = 5 > 1$). График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 1/5)$, $(0, 1)$, $(1, 5)$.

2. Функция $y = 6 - x$ — это убывающая линейная функция (прямая с угловым коэффициентом $-1$). График проходит через точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем решение подбором.

Проверим $x = 1$:
Левая часть: $5^1 = 5$.
Правая часть: $6 - 1 = 5$.
Поскольку $5 = 5$, $x = 1$ является корнем уравнения. Точка пересечения — $(1, 5)$.

Ответ: $x = 1$.

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$

Построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{7})^x$ и $y = x + 8$.

1. Функция $y = (\frac{1}{7})^x$ — это убывающая показательная функция (основание $a = 1/7$, $0 < a < 1$). График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 7)$, $(0, 1)$, $(1, 1/7)$.

2. Функция $y = x + 8$ — это возрастающая линейная функция (прямая с угловым коэффициентом $1$). График проходит через точки $(0, 8)$ и $(-8, 0)$.

Убывающая и возрастающая функции могут иметь только одну точку пересечения. Найдем ее координату подбором.

Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$.
Правая часть: $-1 + 8 = 7$.
Значения совпали, значит, $x = -1$ является решением уравнения. Точка пересечения — $(-1, 7)$.

Ответ: $x = -1$.

39.36 a) $\left(\frac{1}{3}\right)^x \ge 81;$

б) $15^x < \frac{1}{225};$

В) $\left(\frac{2}{7}\right)^x \le \frac{343}{8};$

Г) $2^x > \frac{1}{256}.$

а) $(\frac{1}{3})^x \ge 81$

Чтобы решить это показательное неравенство, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В качестве общего основания выберем $\frac{1}{3}$.

Представим число 81 в виде степени числа 3: $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Далее, используя свойство степени $a^n = (\frac{1}{a})^{-n}$, представим $3^4$ как степень с основанием $\frac{1}{3}$:

$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{3})^x \ge (\frac{1}{3})^{-4}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x \le -4$

Ответ: $x \le -4$.

б) $15^x < \frac{1}{225}$

Приведем обе части неравенства к основанию 15.

Число 225 является квадратом числа 15, то есть $225 = 15^2$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, представим правую часть неравенства:

$\frac{1}{225} = \frac{1}{15^2} = 15^{-2}$

Теперь неравенство имеет вид:

$15^x < 15^{-2}$

Так как основание степени $a = 15$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция $y = 15^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x < -2$

Ответ: $x < -2$.

в) $(\frac{2}{7})^x \le \frac{343}{8}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. В левой части основание равно $\frac{2}{7}$. Постараемся привести правую часть к этому же основанию.

Представим числа 343 и 8 в виде степеней: $343 = 7^3$ и $8 = 2^3$.

Тогда правая часть неравенства равна:

$\frac{343}{8} = \frac{7^3}{2^3} = (\frac{7}{2})^3$

Чтобы перейти от основания $\frac{7}{2}$ к основанию $\frac{2}{7}$, воспользуемся свойством $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$:

$(\frac{7}{2})^3 = (\frac{2}{7})^{-3}$

Исходное неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{7})^x \le (\frac{2}{7})^{-3}$

Основание степени $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней меняем знак неравенства на противоположный.

$x \ge -3$

Ответ: $x \ge -3$.

г) $2^x > \frac{1}{256}$

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Представим число 256 как степень числа 2: $2^8 = 256$.

Тогда правую часть неравенства можно записать как:

$\frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} = 2^{-8}$

Неравенство принимает вид:

$2^x > 2^{-8}$

Так как основание степени $a = 2$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x > -8$

Ответ: $x > -8$.

39.40 a) $2^x = -2x + 8;$

б) $(\left(\frac{1}{3}\right))^x = x + 11;$

В) $3^x = -x + 1;$

Г) $0.2^x = x + 6.$

а)

Рассмотрим функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = -2x + 8$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной и строго возрастает на всей числовой оси. Функция $y_2 = -2x + 8$ является линейной и строго убывает, так как её угловой коэффициент отрицателен ($k=-2$).

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=2$.

Левая часть: $2^2 = 4$.

Правая часть: $-2 \cdot 2 + 8 = -4 + 8 = 4$.

Так как левая и правая части равны ($4=4$), $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $2$.

б)

Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y_2 = x + 11$.

Функция $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является показательной с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, поэтому она строго убывает. Функция $y_2 = x + 11$ является линейной и строго возрастает ($k=1$).

Из-за различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=-2$.

Левая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$.

Правая часть: $-2 + 11 = 9$.

Поскольку $9=9$, $x=-2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $-2$.

в)

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 1$.

Функция $y_1 = 3^x$ является показательной с основанием $a=3 > 1$, поэтому она строго возрастает. Функция $y_2 = -x + 1$ является линейной и строго убывает ($k=-1$).

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, у уравнения не может быть более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=0$.

Левая часть: $3^0 = 1$.

Правая часть: $-0 + 1 = 1$.

Поскольку $1=1$, $x=0$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $0$.

г)

Представим $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$. Уравнение примет вид $\left(\frac{1}{5}\right)^x = x + 6$.

Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $y_2 = x + 6$.

Функция $y_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ является показательной и строго убывает, так как ее основание $\frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$. Функция $y_2 = x + 6$ является линейной и строго возрастает ($k=1$).

В силу различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=-1$.

Левая часть: $0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$.

Правая часть: $-1 + 6 = 5$.

Так как $5=5$, $x=-1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $-1$.