Страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.49 Постройте график функции:

а) $y = 2^{|x|}$;

В) $y = 4^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$;

Г) $y = 0,2^{|x+2|}$.

а)

Чтобы построить график функции $y = 2^{|x|}$, рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2^x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x}$, что то же самое, что $y = (\frac{1}{2})^x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Алгоритм построения графика:

1. Строим график показательной функции $y = 2^x$ для неотрицательных значений $x$. Этот график проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
2. Строим график показательной функции $y = 2^{-x}$ для отрицательных значений $x$. Этот график проходит через точки $(-1, 2)$, $(-2, 4)$.

Можно также заметить, что функция $y = 2^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Поэтому можно построить ветвь для $x \ge 0$ (график $y=2^x$) и отразить ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить ветвь для $x < 0$.

График состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции.

Ответ: График функции $y = 2^{|x|}$ состоит из графика функции $y = 2^x$ при $x \ge 0$ и графика функции $y = 2^{-x}$ при $x < 0$. График симметричен относительно оси OY и имеет точку минимума $(0, 1)$.

б)

Для построения графика функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ раскроем модуль $|x-1|$:

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^{1-x} = ((\frac{1}{3})^{-1})^{x-1} = 3^{x-1}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} (\frac{1}{3})^{x-1}, & \text{если } x \ge 1 \\ 3^{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Построение графика можно выполнить с помощью преобразований:

1. Начнем с базового графика $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$. Этот график симметричен относительно оси OY и состоит из двух частей: $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$ и $y = 3^x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$.
2. График искомой функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ получается из графика $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Осью симметрии графика будет прямая $x=1$. Точка $(1, 1)$ будет точкой максимума функции. Для построения найдем несколько точек:

• При $x=1$, $y = (\frac{1}{3})^{|1-1|} = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=2$, $y = (\frac{1}{3})^{|2-1|} = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(2, \frac{1}{3})$.
• При $x=0$, $y = (\frac{1}{3})^{|0-1|} = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(0, \frac{1}{3})$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$ и имеет точку максимума $(1, 1)$. Он состоит из графика $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$ при $x \ge 1$ и графика $y = 3^{x-1}$ при $x < 1$.

в)

Построение графика функции $y = 4^{|x|}$ аналогично пункту а). Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 4^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = 4^x$ для $x \ge 0$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 4)$, $(2, 16)$.
2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY для получения части графика при $x < 0$. Эта ветвь будет соответствовать функции $y = 4^{-x} = (\frac{1}{4})^x$ и пройдет через точки $(-1, 4)$, $(-2, 16)$.

График имеет точку минимума в $(0, 1)$. По сравнению с графиком $y=2^{|x|}$, ветви графика $y=4^{|x|}$ растут быстрее (более "круто" прижимаются к оси OY).

Ответ: График функции $y=4^{|x|}$ строится путем построения графика $y=4^x$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси OY. График симметричен относительно оси OY и имеет минимум в точке $(0,1)$.

г)

Для построения графика функции $y = 0.2^{|x+2|}$ раскроем модуль $|x+2|$. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5}$.

1. Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид $y = 0.2^{x+2}$.
2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x+2| = -(x+2)$. Функция принимает вид $y = 0.2^{-(x+2)} = (\frac{1}{5})^{-(x+2)} = 5^{x+2}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} 0.2^{x+2}, & \text{если } x \ge -2 \\ 5^{x+2}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Построение графика можно выполнить с помощью преобразований:

1. Начнем с базового графика $y = 0.2^{|x|}$. Этот график симметричен относительно оси OY, имеет максимум в точке $(0, 1)$ и состоит из частей $y = 0.2^x$ (для $x \ge 0$) и $y = 5^x$ (для $x < 0$).
2. График искомой функции $y = 0.2^{|x+2|}$ получается из графика $y = 0.2^{|x|}$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси OX (так как $x+2 = x - (-2)$).

Осью симметрии графика будет прямая $x=-2$. Точка $(-2, 1)$ будет точкой максимума функции. Для построения найдем несколько точек:

• При $x=-2$, $y = 0.2^{|-2+2|} = 0.2^0 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• При $x=-1$, $y = 0.2^{|-1+2|} = 0.2^1 = 0.2$. Точка $(-1, 0.2)$.
• При $x=-3$, $y = 0.2^{|-3+2|} = 0.2^{|-1|} = 0.2^1 = 0.2$. Точка $(-3, 0.2)$.

Ответ: График функции $y = 0.2^{|x+2|}$ получается сдвигом графика $y = 0.2^{|x|}$ на 2 единицы влево. График симметричен относительно прямой $x=-2$ и имеет точку максимума $(-2,1)$.

40.4 a) $0.3^x = \frac{1000}{27};$

В) $0.7^x = \frac{1000}{343};$

б) $\left(\frac{4}{5}\right)^x = \frac{25}{16};$

Г) $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{16}{81}.$

а) Решим уравнение $0,3^x = \frac{1000}{27}$.
Сначала представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь представим правую часть уравнения в виде степени. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $27 = 3^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{27} = \frac{10^3}{3^3} = (\frac{10}{3})^3$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{10}{3})^3$.
Чтобы основания степеней в левой и правой частях уравнения были одинаковыми, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Тогда $(\frac{10}{3})^3 = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Получаем уравнение: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

б) Решим уравнение $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$.
Представим правую часть уравнения, дробь $\frac{25}{16}$, в виде степени.
Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $16 = 4^2$.
Таким образом, $\frac{25}{16} = \frac{5^2}{4^2} = (\frac{5}{4})^2$.
Подставим это в исходное уравнение: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{5}{4})^2$.
Чтобы привести основания к одному виду, используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Получаем: $(\frac{5}{4})^2 = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

в) Решим уравнение $0,7^x = \frac{1000}{343}$.
Переведем $0,7$ в обыкновенную дробь: $0,7 = \frac{7}{10}$.
Представим правую часть $\frac{1000}{343}$ в виде степени. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $343 = 7^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{343} = \frac{10^3}{7^3} = (\frac{10}{7})^3$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{10}{7})^3$.
Приведем правую часть к основанию $\frac{7}{10}$, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
$(\frac{10}{7})^3 = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Получаем: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Так как основания равны, можем приравнять показатели: $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

г) Решим уравнение $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$.
Представим правую часть уравнения $\frac{16}{81}$ в виде степени.
Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$.
Поэтому, $\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^4$.
Чтобы сделать основания одинаковыми, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Тогда $(\frac{2}{3})^4 = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Уравнение преобразуется к виду: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = -4$.
Ответ: $x = -4$.

Решите уравнение:

40.1 а) $3^x = 9$;

б) $2^x = 16$;

в) $(\frac{1}{9})^x = 1$;

г) $0.5^x = 0.125$.

а) Чтобы решить показательное уравнение $3^x = 9$, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 3. Число 9 можно представить как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$3^x = 3^2$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 2$
Ответ: 2

б) В уравнении $2^x = 16$ приведем правую часть к основанию 2. Число 16 является четвертой степенью числа 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Запишем уравнение в новом виде:
$2^x = 2^4$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x = 4$
Ответ: 4

в) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{9})^x = 1$. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. То есть, $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$:
$1 = (\frac{1}{9})^0$
Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{1}{9})^x = (\frac{1}{9})^0$
Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:
$x = 0$
Ответ: 0

г) В уравнении $0,5^x = 0,125$ удобнее работать с обыкновенными дробями. Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
Уравнение принимает вид:
$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$
Теперь представим правую часть $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $2^3 = 8$, следовательно $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.
Подставим это в уравнение:
$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$
Поскольку основания равны, показатели степеней также равны:
$x = 3$
Ответ: 3

40.5 a) $2^{x+1} = 4;$

Б) $5^{3x-1} = 0.2;$

В) $0.4^{4-5x} = 0.16\sqrt{0.4};$

Г) $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}.$

а) Дано показательное уравнение $2^{x+1} = 4$. Для его решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Теперь уравнение принимает вид: $2^{x+1} = 2^2$. Поскольку основания степеней в левой и правой частях равны, мы можем приравнять их показатели: $x + 1 = 2$. Решим полученное линейное уравнение: $x = 2 - 1$ $x = 1$. Ответ: 1.

б) Дано показательное уравнение $5^{3x-1} = 0,2$. Приведем обе части уравнения к основанию 5. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Используя свойство степеней, запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$. Уравнение примет вид: $5^{3x-1} = 5^{-1}$. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $3x - 1 = -1$. Решаем уравнение: $3x = -1 + 1$ $3x = 0$ $x = \frac{0}{3}$ $x = 0$. Ответ: 0.

в) Дано показательное уравнение $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$. Приведем обе части уравнения к основанию 0,4. Рассмотрим правую часть уравнения: $0,16\sqrt{0,4}$. Число $0,16$ можно представить как $(0,4)^2$. Квадратный корень из числа $\sqrt{0,4}$ можно представить как степень с дробным показателем: $(0,4)^{1/2}$. Тогда правая часть уравнения преобразуется следующим образом: $0,16\sqrt{0,4} = (0,4)^2 \cdot (0,4)^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $(0,4)^{2 + \frac{1}{2}} = (0,4)^{2,5}$. Теперь исходное уравнение выглядит так: $0,4^{4-5x} = 0,4^{2,5}$. Приравниваем показатели степеней: $4 - 5x = 2,5$. Решаем полученное уравнение: $-5x = 2,5 - 4$ $-5x = -1,5$ $x = \frac{-1,5}{-5}$ $x = 0,3$. Ответ: 0,3.

г) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}$. Для решения приведем обе части уравнения к основанию 2. Преобразуем левую часть. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то: $(\frac{1}{2})^{2-x} = (2^{-1})^{2-x} = 2^{-1 \cdot (2-x)} = 2^{-2+x} = 2^{x-2}$. Преобразуем правую часть. Число $8$ это $2^3$, а $\sqrt{2}$ это $2^{1/2}$. $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^{3 + \frac{1}{2}} = 2^{3,5}$. Теперь уравнение имеет вид: $2^{x-2} = 2^{3,5}$. Приравниваем показатели степеней: $x - 2 = 3,5$. Решаем уравнение: $x = 3,5 + 2$ $x = 5,5$. Ответ: 5,5.

40.2 a) $4^x = \frac{1}{16}$;

б) $7^x = \frac{1}{343}$;

в) $(\frac{1}{6})^x = 36$;

г) $0,2^x = 0,00032$.

а) Чтобы решить уравнение $4^x = \frac{1}{16}$, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4. Правая часть уравнения, $\frac{1}{16}$, может быть представлена как степень числа 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем записать $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$. Теперь исходное уравнение принимает вид $4^x = 4^{-2}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x = -2$.
Ответ: -2

б) Рассмотрим уравнение $7^x = \frac{1}{343}$. Аналогично предыдущему пункту, приведем обе части к общему основанию 7. Для этого нужно представить число 343 как степень семерки. Выполним вычисления: $7^2 = 49$, $7^3 = 49 \times 7 = 343$. Следовательно, $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$. Уравнение преобразуется к виду $7^x = 7^{-3}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $x = -3$.
Ответ: -3

в) Решим уравнение $(\frac{1}{6})^x = 36$. Приведем обе части к основанию 6. Левую часть уравнения можно преобразовать следующим образом: $(\frac{1}{6})^x = (6^{-1})^x = 6^{-x}$. Правую часть уравнения, число 36, представим как степень числа 6: $36 = 6^2$. Таким образом, уравнение принимает вид $6^{-x} = 6^2$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $-x = 2$. Умножив обе части на -1, находим $x = -2$.
Ответ: -2

г) Дано уравнение $0,2^x = 0,00032$. Проще всего решить это уравнение, если представить десятичные дроби в виде обыкновенных или привести их к одному основанию. Основание $0,2$ можно записать как $\frac{1}{5}$. Посмотрим, является ли $0,00032$ степенью числа $0,2$. $0,2^2 = 0,04$; $0,2^3 = 0,008$; $0,2^4 = 0,0016$; $0,2^5 = 0,00032$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде $0,2^x = 0,2^5$. Отсюда, так как основания равны, следует, что $x=5$.
Альтернативный способ: $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,00032 = \frac{32}{100000} = \frac{1}{3125}$. Уравнение принимает вид $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{3125}$. Так как $3125 = 5^5$, то $\frac{1}{3125} = \frac{1}{5^5} = (\frac{1}{5})^5$. Получаем $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^5$, откуда $x=5$.
Ответ: 5

40.3 a) $10^x = \sqrt[4]{1000};$

Б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}};$

В) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081};$

Г) $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}.$

а) Решим уравнение $10^x = \sqrt[4]{1000}$.

Цель состоит в том, чтобы привести обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 10.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10.
Мы знаем, что $1000 = 10^3$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, преобразуем правую часть:
$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = \frac{3}{4}$.
Ответ: $x = \frac{3}{4}$.

б) Решим уравнение $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Преобразуем правую часть уравнения. Сначала представим подкоренное выражение как степень числа 5: $25 = 5^2$.
Тогда $\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:
$\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$.
Теперь правая часть уравнения выглядит так: $\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}} = 5^{-\frac{2}{3}}$.
Уравнение принимает вид:
$5^x = 5^{-\frac{2}{3}}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

в) Решим уравнение $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 0,3.
Рассмотрим правую часть. Нам нужно представить число 0,0081 как степень числа 0,3.
$0,3^2 = 0,09$; $0,3^3 = 0,027$; $0,3^4 = 0,0081$.
Таким образом, $0,0081 = (0,3)^4$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4}$.
Так как $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), то:
$\sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$. Или можно записать как $0,3^1$.
Теперь уравнение имеет вид:
$0,3^x = 0,3^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x=1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Решим уравнение $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 5.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$.
Преобразуем правую часть уравнения. Представим каждое число в виде степени с основанием 5:
$25 = 5^2$.
$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2}+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$5^{-x} = 5^{\frac{5}{2}}$.
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$-x = \frac{5}{2}$.
$x = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.