Страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.48 а) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7};$

б) $0,9^{x^2-4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3;$

В) $14^{x^2+x} \le 196;$

Г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x} > 9.$

а)

Исходное неравенство: $ \sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 - 7,5}} \ge 2^{-7} $.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ (2^{-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{x^2 - 7,5})^{\frac{1}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{-\frac{1}{2} + \frac{x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{\frac{-1 + x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}} \ge 2^{-7} $

Так как основание степени $ 2 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$ \frac{x^2 - 8,5}{2} \ge -7 $

Решим полученное неравенство:

$ x^2 - 8,5 \ge -14 $

$ x^2 + 5,5 \ge 0 $

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного числа $ x $, то $ x^2 + 5,5 $ всегда будет больше или равно $ 5,5 $, что, в свою очередь, больше нуля. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $ x $.

Область допустимых значений исходного неравенства не накладывает дополнительных ограничений, так как подкоренные выражения $ 2^{-1} $ и $ 2^{x^2 - 7,5} $ всегда положительны.

Ответ: $ x \in (-\infty; +\infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ 0,9^{x^2 - 4x} < (\frac{10}{9})^3 $.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $ 0,9 = \frac{9}{10} $ и $ \frac{10}{9} = (\frac{9}{10})^{-1} $.

$ (\frac{9}{10})^{x^2 - 4x} < ((\frac{9}{10})^{-1})^3 $

$ (\frac{9}{10})^{x^2 - 4x} < (\frac{9}{10})^{-3} $

Так как основание степени $ \frac{9}{10} < 1 $, показательная функция убывает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$ x^2 - 4x > -3 $

Решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 - 4x + 3 > 0 $

Найдем корни соответствующего уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 3 $.

Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения при $ x $ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $ x < 1 $ или $ x > 3 $.

Ответ: $ (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) $.

в)

Исходное неравенство: $ 14^{x^2 + x} \le 196 $.

Приведем обе части неравенства к основанию 14. Известно, что $ 196 = 14^2 $.

$ 14^{x^2 + x} \le 14^2 $

Так как основание степени $ 14 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$ x^2 + x \le 2 $

Решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 + x - 2 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ x^2 + x - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $.

Парабола $ y = x^2 + x - 2 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения ($ \le 0 $) между корнями (включительно).

Таким образом, решение неравенства: $ -2 \le x \le 1 $.

Ответ: $ [-2; 1] $.

г)

Исходное неравенство: $ (\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2 - 13x} > 9 $.

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Преобразуем левую часть: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2} $.

Тогда $ (\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2 - 13x} = (3^{-1/2})^{3x^2 - 13x} = 3^{-\frac{1}{2}(3x^2 - 13x)} = 3^{\frac{-3x^2+13x}{2}} $.

Преобразуем правую часть: $ 9 = 3^2 $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{\frac{-3x^2+13x}{2}} > 3^2 $

Так как основание степени $ 3 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$ \frac{-3x^2+13x}{2} > 2 $

Решим полученное неравенство:

$ -3x^2 + 13x > 4 $

$ -3x^2 + 13x - 4 > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ 3x^2 - 13x + 4 < 0 $

Найдем корни уравнения $ 3x^2 - 13x + 4 = 0 $ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{6} $

$ x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 $

Парабола $ y = 3x^2 - 13x + 4 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения ($ < 0 $) между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $ \frac{1}{3} < x < 4 $.

Ответ: $ (\frac{1}{3}; 4) $.

40.52 a) $3^x < 5^x$;

б) $6^x \ge 2^x$;

в) $(\frac{12}{13})^x \le 12^x$;

г) $0,6^x > 3^x$.

а) Исходное неравенство: $3^x < 5^x$.
Поскольку $5^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $5^x$, не меняя знака неравенства:
$\frac{3^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$
$(\frac{3}{5})^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$: $1 = (\frac{3}{5})^0$.
$(\frac{3}{5})^x < (\frac{3}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $6^x \ge 2^x$.
Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $2^x$. Знак неравенства при этом не изменится:
$\frac{6^x}{2^x} \ge \frac{2^x}{2^x}$
$(\frac{6}{2})^x \ge 1$
$3^x \ge 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^x \ge 3^0$
Так как основание степени $a = 3$ больше 1, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $(\frac{12}{13})^x \le 12^x$.
Поскольку $12^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $12^x$, сохранив знак неравенства:
$\frac{(\frac{12}{13})^x}{12^x} \le \frac{12^x}{12^x}$
$\frac{12^x}{13^x \cdot 12^x} \le 1$
$\frac{1}{13^x} \le 1$
$13^{-x} \le 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 13: $1 = 13^0$.
$13^{-x} \le 13^0$
Так как основание степени $a = 13$ больше 1, показательная функция $y = 13^x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:
$-x \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $0,6^x > 3^x$.
Сначала представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^x > 3^x$.
Разделим обе части неравенства на $3^x$ (так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не меняется):
$\frac{(\frac{3}{5})^x}{3^x} > \frac{3^x}{3^x}$
$\frac{3^x}{5^x \cdot 3^x} > 1$
$\frac{1}{5^x} > 1$
$5^{-x} > 1$
Представим 1 как $5^0$:
$5^{-x} > 5^0$
Так как основание $a=5$ больше 1, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей, и знак неравенства для показателей степеней сохраняется:
$-x > 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

40.49 a) $2^x + 2^{x+2} \le 20;$

В) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6;$

Б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3};$

Г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7.$

а) $2^x + 2^{x+2} \le 20$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^x + 2^x \cdot 2^2 \le 20$

$2^x + 4 \cdot 2^x \le 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 4) \le 20$

$5 \cdot 2^x \le 20$

Разделим обе части неравенства на 5:

$2^x \le 4$

Представим 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $(-\infty; 2]$.

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-3}$:

$3^{2x-3}(3^{(2x-1)-(2x-3)} - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(3^2 - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(9 - 1) < \frac{8}{3}$

$8 \cdot 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Разделим обе части неравенства на 8:

$3^{2x-3} < \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^{2x-3} < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < -1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $(-\infty; 1)$.

в) $(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+5} > 6$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $(\frac{1}{5})^{3x+4}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (1 + (\frac{1}{5})^1) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (1 + \frac{1}{5}) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot \frac{6}{5} > 6$

Разделим обе части неравенства на $\frac{6}{5}$ (то есть умножим на $\frac{5}{6}$):

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 5$

Представим 5 как степень с основанием $\frac{1}{5}$: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > (\frac{1}{5})^{-1}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x + 4 < -1$

$3x < -5$

$x < -\frac{5}{3}$

Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{3})$.

г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $0,3^{6x-1}$:

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3^{(6x)-(6x-1)}) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3^1) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1} \cdot 0,7 \ge 0,7$

Разделим обе части неравенства на 0,7:

$0,3^{6x-1} \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{6x-1} \ge 0,3^0$

Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$6x - 1 \le 0$

$6x \le 1$

$x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{6}]$.

40.53 a) $5^x \le -x + 6;$

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x + 1;$

в) $3^x \ge -x + 4;$

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0,5x + 5.$

а) $5^x \le -x + 6$

Данное неравенство является трансцендентным, и его аналитическое решение в общем виде затруднительно. Решим его графическим методом, проанализировав поведение функций в левой и правой частях неравенства.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ и $y_2 = -x + 6$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, с основанием $5 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения.

Функция $y_2 = -x + 6$ — линейная, её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она является строго убывающей.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $5^x = -x + 6$.

Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $5^1 = 5$.
Правая часть: $-1 + 6 = 5$.
Так как $5=5$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Теперь вернемся к неравенству $5^x \le -x + 6$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = 5^x$ лежит не выше графика функции $y_2 = -x + 6$.

Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, до точки их пересечения ($x=1$) будет выполняться $y_1 < y_2$, а после — $y_1 > y_2$. В самой точке $x=1$ функции равны.

Таким образом, неравенство $5^x \le -x + 6$ выполняется при $x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$

Решим неравенство графическим методом.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = 3x + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, с основанием $0 < \frac{1}{4} < 1$, следовательно, она является строго убывающей.

Функция $y_2 = 3x + 1$ — линейная, её график — прямая с положительным угловым коэффициентом $k=3$, следовательно, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.

Подбором находим корень. При $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Следовательно, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Нам нужно решить неравенство $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$, то есть найти $x$, при которых график $y_1$ находится выше графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, до точки их пересечения ($x=0$) будет выполняться $y_1 > y_2$, а после — $y_1 < y_2$.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

в) $3^x \ge -x + 4$

Решим данное неравенство, анализируя свойства функций.

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 4$.

Функция $y_1 = 3^x$ — показательная, строго возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Функция $y_2 = -x + 4$ — линейная, строго убывающая, так как угловой коэффициент $k=-1 < 0$.

Графики этих функций могут пересечься только в одной точке. Найдем ее из уравнения $3^x = -x + 4$.

Методом подбора находим, что при $x=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $-1 + 4 = 3$.
Значит, $x=1$ — единственная точка пересечения.

Мы ищем значения $x$, для которых $3^x \ge -x + 4$, то есть $y_1 \ge y_2$.

Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то после точки пересечения ($x=1$) значения $y_1$ будут больше значений $y_2$. В самой точке $x=1$ значения функций равны.

Следовательно, решение неравенства — это $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$

Решим неравенство графическим методом.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = 0,5x + 5$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — показательная, строго убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Функция $y_2 = 0,5x + 5$ — линейная, строго возрастающая, так как угловой коэффициент $k=0,5 > 0$.

В силу различной монотонности функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$.

Методом подбора находим корень. Попробуем целые отрицательные значения $x$. При $x=-2$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Правая часть: $0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$.
Таким образом, $x=-2$ — единственный корень уравнения.

Мы решаем строгое неравенство $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$, то есть ищем $x$, при которых график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

Так как $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то после точки пересечения ($x=-2$) значения $y_1$ будут меньше значений $y_2$.

Следовательно, решение неравенства — это $x > -2$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

40.50 a) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0;$

В) $0.2^{2x} - 1.2 \cdot 0.2^x + 0.2 > 0;$

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0;$

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0.$

a) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

Данное показательное неравенство сводится к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Подставим $t$ в исходное неравенство:
$t^2 - 4t + 3 \le 0$.
Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю находятся между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства для $t$:
$1 \le t \le 3$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.
Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:
$1 \le 3^x \le 3$.
Представим числа $1$ и $3$ в виде степеней с основанием $3$:
$3^0 \le 3^x \le 3^1$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе от степеней к их показателям знаки неравенства сохраняются:
$0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$ для любого $x$, имеем $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 4t - 5 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корни:
$t_1 = -5$, $t_2 = 1$.
Графиком функции $y = t^2 + 4t - 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 + 4t - 5 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t \le -5$ или $t \ge 1$.
Выполним обратную замену $t = 5^x$, учитывая условие $t > 0$:
1) $5^x \le -5$. Это неравенство не имеет решений, так как показательная функция $5^x$ всегда положительна.
2) $5^x \ge 1$.
Представим $1$ как степень с основанием $5$:
$5^x \ge 5^0$.
Так как основание $5 > 1$, функция $y=5^x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $0.2^{2x} - 1.2 \cdot 0.2^x + 0.2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0.2^x$. Так как $0.2^x > 0$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 1.2t + 0.2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.2 = 1.44 - 0.8 = 0.64$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.2 - \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 - 0.8}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.2 + \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 + 0.8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Парабола $y = t^2 - 1.2t + 0.2$ имеет ветви вверх. Неравенство $t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t < 0.2$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену $t = 0.2^x$, учитывая $t > 0$:
1) $0 < 0.2^x < 0.2$.
$0.2^x < 0.2^1$.
Так как основание $0.2 < 1$, показательная функция $y=0.2^x$ убывающая. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$.
2) $0.2^x > 1$.
Представим $1$ как $0.2^0$:
$0.2^x > 0.2^0$.
Так как основание $0.2 < 1$, знак неравенства меняется:
$x < 0$.
Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{7})^{2x} + 6 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{7})^x$. Учитывая, что $(\frac{1}{7})^x > 0$, имеем $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 6t - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$.
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -6$, $t_1 \cdot t_2 = -7$. Корни:
$t_1 = -7$, $t_2 = 1$.
Парабола $y = t^2 + 6t - 7$ имеет ветви вверх. Неравенство $t^2 + 6t - 7 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями.
$-7 < t < 1$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем двойное неравенство:
$0 < t < 1$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{7})^x$:
$0 < (\frac{1}{7})^x < 1$.
Неравенство $(\frac{1}{7})^x > 0$ выполняется для любых действительных $x$.
Решим вторую часть неравенства:
$(\frac{1}{7})^x < 1$.
Представим $1$ как $(\frac{1}{7})^0$:
$(\frac{1}{7})^x < (\frac{1}{7})^0$.
Так как основание $\frac{1}{7} < 1$, функция $y=(\frac{1}{7})^x$ убывающая. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

40.54 a) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1;$

Б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1;$

В) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1;$

Г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1.$

а)

Дано показательное неравенство $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 19: $1 = 19^0$.

Получим неравенство $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 19^0$.

Так как основание степени $19 > 1$, то показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
Найдем нули числителя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$.
Найдем нули знаменателя (точка разрыва): $x+2=0 \implies x = -2$. Эта точка не входит в область допустимых значений.

Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=1.5$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x=-2$ — выколотой.

Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ в полученных интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 1.5]$ и $[1.5; +\infty)$.

• При $x > 1.5$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; -2)$ и $[1.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1.5; +\infty)$.

б)

Дано показательное неравенство $0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0.36: $1 = 0.36^0$.

Получим неравенство $0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 0.36^0$.

Так как основание степени $0.36 < 1$, то показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{7x+1}{2-x} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $7x+1=0 \implies x = -\frac{1}{7}$.
Найдем нули знаменателя: $2-x=0 \implies x = 2$.

Нанесем точки на числовую ось. Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{7x+1}{2-x}$ в полученных интервалах $(-\infty; -\frac{1}{7})$, $(-\frac{1}{7}; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{7(3)+1}{2-3} = \frac{22}{-1} < 0$. Знак "-".
• При $-\frac{1}{7} < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)+1}{2-0} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".
• При $x < -\frac{1}{7}$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)+1}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} < 0$. Знак "-".

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-\frac{1}{7}; 2)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{7}; 2)$.

в)

Дано показательное неравенство $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 37: $1 = 37^0$.

Получим неравенство $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 37^0$.

Так как основание степени $37 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{5x-9}{x+6} \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $5x-9=0 \implies x = \frac{9}{5} = 1.8$.
Найдем нули знаменателя: $x+6=0 \implies x = -6$.

Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=1.8$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=-6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{5x-9}{x+6}$ в полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 1.8]$ и $[1.8; +\infty)$.

• При $x > 1.8$ (например, $x=2$): $\frac{5(2)-9}{2+6} = \frac{1}{8} > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 1.8$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)-9}{0+6} = -\frac{9}{6} < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{5(-7)-9}{-7+6} = \frac{-44}{-1} > 0$. Знак "+".

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это $(-6; 1.8]$.

Ответ: $x \in (-6; 1.8]$.

г)

Дано показательное неравенство $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{29}{30}$: $1 = (\frac{29}{30})^0$.

Получим неравенство $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > (\frac{29}{30})^0$.

Так как основание степени $0 < \frac{29}{30} < 1$, то показательная функция является убывающей. Знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$\frac{9x-18}{6-x} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $9x-18=0 \implies x = 2$.
Найдем нули знаменателя: $6-x=0 \implies x = 6$.

Нанесем точки на числовую ось. Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{9x-18}{6-x}$ в полученных интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; +\infty)$.

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{9(7)-18}{6-7} = \frac{45}{-1} < 0$. Знак "-".
• При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{9(3)-18}{6-3} = \frac{9}{3} > 0$. Знак "+".
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{9(0)-18}{6-0} = \frac{-18}{6} < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty; 2)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

40.47 a) $7^{x^2 - 5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;

Б) $0,6^{x^2 - x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$;

В) $11^{2x^2 + 3x} \le 121$;

Г) $0,3^{x^2 - 10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.

а) $7^{x^2 - 5x} < (\frac{1}{7})^6$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 7. Так как $(\frac{1}{7})^6 = (7^{-1})^6 = 7^{-6}$, неравенство принимает вид:

$7^{x^2 - 5x} < 7^{-6}$

Поскольку основание степени 7 > 1, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x < -6$

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

б) $0,6^{x^2 - x} \geq (\frac{3}{5})^6$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{x^2 - x} \geq (\frac{3}{5})^6$

Поскольку основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале (0; 1), показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x \leq 6$

$x^2 - x - 6 \leq 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($\leq 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-2; 3]$.

Ответ: $[-2; 3]$

в) $11^{2x^2 + 3x} \leq 121$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 11. Так как $121 = 11^2$, неравенство принимает вид:

$11^{2x^2 + 3x} \leq 11^2$

Поскольку основание степени 11 > 1, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 + 3x \leq 2$

$2x^2 + 3x - 2 \leq 0$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($\leq 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-2; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-2; 0,5]$

г) $0,3^{x^2 - 10x} > (3\frac{1}{3})^{24}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,3 = \frac{3}{10}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Основания являются взаимно обратными числами: $\frac{10}{3} = (\frac{3}{10})^{-1}$.

Преобразуем правую часть неравенства: $(3\frac{1}{3})^{24} = (\frac{10}{3})^{24} = ((\frac{3}{10})^{-1})^{24} = (\frac{3}{10})^{-24}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{10})^{x^2 - 10x} > (\frac{3}{10})^{-24}$

Поскольку основание степени $\frac{3}{10}$ находится в интервале (0; 1), показательная функция является убывающей, и знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 10x < -24$

$x^2 - 10x + 24 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(4; 6)$.

Ответ: $(4; 6)$

40.51 a) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \geq 0;$

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0;$

В) $\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1} + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 < 0;$

Г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \geq 0.$

а) Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$.
Преобразуем первый член, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$.
Это квадратное неравенство относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($2>0$), ветви параболы $y = 2t^2 - 5t + 2$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$ выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.
Получаем совокупность: $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.
Учитывая условие $t > 0$, имеем: $0 < t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.
Выполним обратную замену $t = 2^x$:
1) $0 < 2^x \le \frac{1}{2}$. Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем $2^x \le \frac{1}{2}$, что равносильно $2^x \le 2^{-1}$. Так как основание степени $2 > 1$, то функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому $x \le -1$.
2) $2^x \ge 2$, что равносильно $2^x \ge 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x \ge 1$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$.
Преобразуем первый член: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 10t + 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни: $t_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как ветви параболы $y = 3t^2 - 10t + 3$ направлены вверх ($3>0$), решение неравенства $3t^2 - 10t + 3 < 0$ находится между корнями: $t_1 < t < t_2$.
То есть, $\frac{1}{3} < t < 3$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$\frac{1}{3} < 3^x < 3$.
Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3: $3^{-1} < 3^x < 3^1$.
Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому для показателей степеней неравенство сохраняется: $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$.
Преобразуем первый член: $(\frac{1}{4})^{2x-1} = (\frac{1}{4})^{2x} \cdot (\frac{1}{4})^{-1} = ((\frac{1}{4})^x)^2 \cdot 4$.
Неравенство принимает вид: $4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $4t^2 + 15t - 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $4t^2 + 15t - 4 = 0$.
$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$.
Корни: $t_1 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 - 17}{8} = -4$ и $t_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Так как ветви параболы $y = 4t^2 + 15t - 4$ направлены вверх ($4>0$), решение неравенства находится между корнями: $-4 < t < \frac{1}{4}$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{4})^x$:
$0 < (\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$.
Неравенство $(\frac{1}{4})^x > 0$ выполнено всегда. Решаем $(\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$, что равносильно $(\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^1$.
Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция $y=(\frac{1}{4})^x$ убывающая, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0$.
Запишем $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^{2x-1} + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.
Преобразуем первый член: $(\frac{1}{2})^{2x-1} = (\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $2t^2 + 3t - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 2t^2 + 3t - 2$ направлены вверх ($2>0$), поэтому решение неравенства $2t^2 + 3t - 2 \ge 0$ есть $t \le -2$ или $t \ge \frac{1}{2}$.
Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -2$. Остается $t \ge \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{2})^x$:
$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{2}$, что равносильно $(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^1$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ убывающая, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.