Страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.29 a) $y = 3^x + 1$;

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$;

В) $y = 17^x - 2$;

Г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8.

а) $y = 3^x + 1$

Для нахождения области значений функции проанализируем ее составляющие. Функция является суммой показательной функции $3^x$ и константы 1. Область значений показательной функции $f(x) = a^x$, где $a > 0$ и $a \ne 1$, есть множество всех положительных действительных чисел. Это означает, что $a^x > 0$ для любого $x$. В нашем случае, основание $a=3$, поэтому для любого действительного $x$ выполняется неравенство $3^x > 0$. Чтобы найти область значений исходной функции $y = 3^x + 1$, мы прибавляем 1 к обеим частям этого неравенства: $3^x + 1 > 0 + 1$ $y > 1$ Таким образом, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших 1.

Ответ: $(1; +\infty)$

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$

Эта функция также является суммой показательной функции $\left(\frac{7}{9}\right)^x$ и константы 6. Основание показательной функции $a = \frac{7}{9}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Следовательно, область значений функции $\left(\frac{7}{9}\right)^x$ есть множество всех положительных чисел, то есть $\left(\frac{7}{9}\right)^x > 0$ для любого $x$. Чтобы найти область значений функции $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$, прибавим 6 к обеим частям неравенства: $\left(\frac{7}{9}\right)^x + 6 > 0 + 6$ $y > 6$ Следовательно, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших 6.

Ответ: $(6; +\infty)$

в) $y = 17^x - 2$

Данная функция представляет собой разность показательной функции $17^x$ и константы 2. Основание показательной функции $a=17$, что больше 1. Область значений $17^x$ — это все положительные числа: $17^x > 0$. Для нахождения области значений функции $y = 17^x - 2$, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $17^x - 2 > 0 - 2$ $y > -2$ Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие -2.

Ответ: $(-2; +\infty)$

г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$

Эта функция является разностью показательной функции $\left(\frac{2}{5}\right)^x$ и константы 8. Основание показательной функции $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Поэтому для любого $x$ выполняется неравенство $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$. Чтобы найти область значений функции $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$, вычтем 8 из обеих частей неравенства: $\left(\frac{2}{5}\right)^x - 8 > 0 - 8$ $y > -8$ Следовательно, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших -8.

Ответ: $(-8; +\infty)$

39.33 а) $5^x = \sqrt{5}$; б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 81$;

В) $8^x = \sqrt[5]{8}$; Г) $\left(\frac{4}{5}\right)^x = \frac{16}{25}$.

а)

Дано показательное уравнение $5^x = \sqrt{5}$.
Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае основанием является число 5.
Представим правую часть уравнения, $\sqrt{5}$, в виде степени. Квадратный корень из числа равен этому числу в степени $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^x = 5^{1/2}$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

б)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 81$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию, которым удобно выбрать число 3.

Левую часть уравнения преобразуем, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Правую часть уравнения, число 81, представим как степень числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2} = 3^4$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-x} = 3^4$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x = 4$
$x = -4$

Ответ: $x = -4$

в)

Дано показательное уравнение $8^x = \sqrt[5]{8}$.
Основания в обеих частях уравнения уже одинаковы и равны 8. Необходимо представить правую часть в виде степени с рациональным показателем.
Корень n-ой степени из числа $a$ можно записать в виде степени как $a^{1/n}$. Следовательно:

$\sqrt[5]{8} = 8^{1/5}$

Подставим это в исходное уравнение:

$8^x = 8^{1/5}$

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{4}{5})^x = \frac{16}{25}$.
Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к основанию $\frac{4}{5}$, как в левой части.

Заметим, что числитель и знаменатель правой части являются квадратами числителя и знаменателя основания: $16 = 4^2$ и $25 = 5^2$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$\frac{16}{25} = \frac{4^2}{5^2} = (\frac{4}{5})^2$

Теперь уравнение можно записать так:

$(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^2$

Так как основания в обеих частях уравнения равны, их показатели степеней также должны быть равны.

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

39.30 Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = 2^x$, выполняется равенство:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

б) $f(x+1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

Для доказательства этого равенства, подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в левую и правую части.

Левая часть: $f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2}$.

Правая часть: $f(x_1 + x_2) = 2^{x_1 + x_2}$.

Так как левая и правая части равны ($2^{x_1 + x_2} = 2^{x_1 + x_2}$), равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

Подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в обе части равенства.

Левая часть: $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x+1} \cdot 2^{2x}$.

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем: $2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{(x+1) + 2x} = 2^{3x+1}$.

Правая часть: $2f^3(x) = 2 \cdot (f(x))^3 = 2 \cdot (2^x)^3$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2 \cdot (2^x)^3 = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2^{1+3x} = 2^{3x+1}$.

Левая и правая части равны ($2^{3x+1} = 2^{3x+1}$), следовательно, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

Преобразуем левую и правую части, используя определение функции $f(x) = 2^x$.

Левая часть: $f(-2x) = 2^{-2x}$.

Правая часть: $\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{(f(x))^2} = \frac{1}{(2^x)^2}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, имеем: $\frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{2^{2x}}$.

Далее, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{2^{2x}} = 2^{-2x}$.

Так как обе части равны $2^{-2x}$, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.

Подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в обе части.

Левая часть: $f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x}$.

Правая часть: $\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1+\cos 2x}}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть:

$\sqrt{2^{1+\cos 2x}} = (2^{1+\cos 2x})^{1/2} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$.

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

Подставим эту формулу в показатель степени правой части:

$2^{\frac{1+\cos 2x}{2}} = 2^{\cos^2 x}$.

Левая и правая части равны ($2^{\cos^2 x} = 2^{\cos^2 x}$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

39.34 а) $2^{3x} = 128$;

б) $6^{3x} = 216$;

В) $3^{2x} = \frac{1}{27}$;

Г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{5x} = \frac{1}{343}$.

а) Чтобы решить уравнение $2^{3x} = 128$, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию.
Основание в левой части — 2. Представим число 128 как степень числа 2.
$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128$.
Таким образом, $128 = 2^7$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{3x} = 2^7$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 7$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{7}{3}$
Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

б) Решим уравнение $6^{3x} = 216$.
Приведем обе части уравнения к основанию 6.
Вычислим степени числа 6: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$.
Значит, $216 = 6^3$.
Запишем уравнение в новом виде:
$6^{3x} = 6^3$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 3$
Находим $x$:
$x = \frac{3}{3} = 1$
Ответ: $x = 1$.

в) Решим уравнение $3^{2x} = \frac{1}{27}$.
Приведем обе части к основанию 3.
Сначала представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
Подставим это в уравнение:
$3^{2x} = 3^{-3}$
Приравниваем показатели:
$2x = -3$
Находим $x$:
$x = -\frac{3}{2}$
Ответ: $x = -1,5$.

г) Решим уравнение $(\frac{1}{7})^{5x} = \frac{1}{343}$.
Основание в левой части — $\frac{1}{7}$. Приведем правую часть к этому же основанию.
Найдем, какой степенью числа 7 является число 343:
$7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$.
Значит, $343 = 7^3$.
Тогда правую часть можно записать так:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$
Уравнение принимает вид:
$(\frac{1}{7})^{5x} = (\frac{1}{7})^3$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$5x = 3$
Находим $x$:
$x = \frac{3}{5}$
Ответ: $x = 0,6$.

39.31 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

а) $y = 3^{x - 1} + 8$, $[-3; 1]$;

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4$, $[-1; 2]$;

в) $y = 7^{x - 2} + 9$, $[0; 2]$;

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13$, $[2; 3]$.

а) Дана функция $y = 3^{x-1} + 8$ на промежутке $[-3; 1]$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, наименьшее значение функции на заданном промежутке достигается в его левой крайней точке ($x = -3$), а наибольшее — в правой ($x = 1$).

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(-3) = 3^{-3-1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$.

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $8\frac{1}{81}$, наибольшее значение $9$.

б) Дана функция $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4$ на промежутке $[-1; 2]$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, наибольшее значение функции на заданном промежутке достигается в его левой крайней точке ($x = -1$), а наименьшее — в правой ($x = 2$).

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(-1) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$.

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(2) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1,8 + 4 = 5,8$.

Ответ: наименьшее значение $5,8$, наибольшее значение $12\frac{1}{3}$.

в) Дана функция $y = 7^{x-2} + 9$ на промежутке $[0; 2]$.

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении $x$ из промежутка, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем наименьшее значение (при $x = 0$):

$y_{наим} = y(0) = 7^{0-2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$.

Найдем наибольшее значение (при $x = 2$):

$y_{наиб} = y(2) = 7^{2-2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$.

Ответ: наименьшее значение $9\frac{1}{49}$, наибольшее значение $10$.

г) Дана функция $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13$ на промежутке $[2; 3]$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении $x$ из промежутка, а наименьшее — при наибольшем.

Найдем наибольшее значение (при $x = 2$):

$y_{наиб} = y(2) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 13 = 1 + 13 = 14$.

Найдем наименьшее значение (при $x = 3$):

$y_{наим} = y(3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = \frac{1}{2} + 13 = 13,5$.

Ответ: наименьшее значение $13,5$, наибольшее значение $14$.

Решите неравенство:

39.35 а) $4^x \le 64$;

б) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$;

в) $5^x \ge 25$;

г) $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$.

а) $4^x \le 64$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4.

Представим число 64 как степень числа 4:

$64 = 4 \cdot 16 = 4 \cdot 4^2 = 4^3$

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$4^x \le 4^3$

Так как основание степени $a=4$ больше 1 ($4>1$), показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x \le 3$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

б) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

Представим правую часть $\frac{1}{8}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$

Основание степени $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < 3$

Решением является промежуток $(-\infty, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

в) $5^x \ge 25$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Представим число 25 как степень числа 5:

$25 = 5^2$

Неравенство можно записать как:

$5^x \ge 5^2$

Основание степени $a=5$ больше 1 ($5>1$), поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется.

$x \ge 2$

Решением неравенства является промежуток $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

г) $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{3}$.

Представим дробь $\frac{8}{27}$ как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^3$

Так как основание степени $a=\frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x > 3$

Решением является промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

Решите уравнение:

39.32 а) $3^x = 9$;

б) $3^x = \frac{1}{3}$;

в) $3^x = 27$;

г) $3^x = \frac{1}{81}$;

а) $3^x = 9$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае основание равно 3. Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$

Теперь уравнение принимает вид:

$3^x = 3^2$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 2$

Ответ: 2

б) $3^x = \frac{1}{3}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 3. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем записать:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3^x = 3^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = -1$

Ответ: -1

в) $3^x = 27$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Запишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$3^x = 3^3$

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = 3$

Ответ: 3

г) $3^x = \frac{1}{81}$

Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к основанию 3. Сначала представим число 81 в виде степени числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

Теперь, используя свойство степени с отрицательным показателем, запишем дробь в виде степени:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Уравнение принимает вид:

$3^x = 3^{-4}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = -4$

Ответ: -4