Страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите значение выражения $2^x$ при указанных значениях переменной $x$:

39.1 а) $x = 3$;

б) $x = -2$;

в) $x = 5$;

г) $x = -4$.

а) Подставляем значение $x = 3$ в выражение $2^x$ и вычисляем:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.

б) Подставляем значение $x = -2$ в выражение $2^x$. Для вычисления степени с отрицательным показателем используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) Подставляем значение $x = 5$ в выражение $2^x$ и вычисляем:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32.

г) Подставляем значение $x = -4$ в выражение $2^x$. Используя правило для степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

39.5 а) $4^{3,5} : 4^3;$

б) $(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3};$

В) $8^{2\frac{1}{3}} : 8^2;$

Г) $(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6}.$

а) Для решения этого примера используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = 4$, а показатели $m = 3,5$ и $n = 3$.

Выполним вычисление:

$4^{3,5} : 4^3 = 4^{3,5 - 3} = 4^{0,5}$

Степень $0,5$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Таким образом:

$4^{0,5} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) Здесь мы применяем то же самое свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основанием является дробь $a = \frac{1}{2}$, а показателями степеней служат $m = -6,3$ и $n = -2,3$.

Подставляем значения в формулу:

$(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3} = (\frac{1}{2})^{-6,3 - (-2,3)} = (\frac{1}{2})^{-6,3 + 2,3} = (\frac{1}{2})^{-4}$

Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число к основанию (перевернуть дробь) и возвести его в степень с положительным показателем, то есть $a^{-k} = (\frac{1}{a})^k$.

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: 16

в) Снова воспользуемся правилом деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом примере основание $a = 8$, а показатели $m = 2\frac{1}{3}$ и $n = 2$.

Сначала вычтем показатели:

$2\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$8^{2\frac{1}{3}} : 8^2 = 8^{2\frac{1}{3} - 2} = 8^{\frac{1}{3}}$

Дробная степень $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня.

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, поскольку $2^3 = 8$.

Ответ: 2

г) Применяем уже известное нам правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a = \frac{2}{3}$, а показатели степеней $m = 2,4$ и $n = -0,6$.

Выполним вычитание показателей, помня, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению:

$(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6} = (\frac{2}{3})^{2,4 - (-0,6)} = (\frac{2}{3})^{2,4 + 0,6} = (\frac{2}{3})^3$

Далее необходимо возвести дробь в третью степень:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

39.2 a) $x = \frac{3}{2}$;

б) $x = -\frac{1}{2}$;

В) $x = \frac{4}{3}$;

Г) $x = -\frac{2}{3}$.

а) Заданное значение переменной $x$ равно $\frac{3}{2}$. Это является обыкновенной неправильной дробью, так как числитель (3) больше знаменателя (2).
Данную дробь можно представить в виде смешанного числа. Для этого необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком: $3 \div 2 = 1$ (остаток 1). В результате целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, а знаменатель остается 2. Таким образом, получаем $x = 1\frac{1}{2}$.
Также эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби путем деления числителя на знаменатель: $x = 3 \div 2 = 1.5$.
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

б) Заданное значение переменной $x$ равно $-\frac{1}{2}$. Это отрицательная обыкновенная правильная дробь, так как модуль числителя (1) меньше модуля знаменателя (2).
Эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель и сохраним знак минус: $x = -(1 \div 2) = -0.5$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

в) Заданное значение переменной $x$ равно $\frac{4}{3}$. Это обыкновенная неправильная дробь, так как ее числитель (4) больше знаменателя (3).
Представим дробь в виде смешанного числа. Разделим числитель на знаменатель с остатком: $4 \div 3 = 1$ (остаток 1). В результате получаем смешанное число $x = 1\frac{1}{3}$.
При преобразовании в десятичную дробь получается бесконечная периодическая дробь: $x = 4 \div 3 = 1.333...$, что записывается как $1.(3)$.
Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

г) Заданное значение переменной $x$ равно $-\frac{2}{3}$. Это отрицательная обыкновенная правильная дробь.
При преобразовании этой дроби в десятичную получается бесконечная периодическая дробь. Разделим числитель на знаменатель и сохраним знак минус: $x = -(2 \div 3) = -0.666...$, что записывается как $-0.(6)$.
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

39.3 Определите, какое из чисел, $5^{x_1}$ или $5^{x_2}$, больше, если:

а) $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{4}{5}$;

б) $x_1 = -\frac{7}{3}$, $x_2 = -\frac{6}{5}$;

в) $x_1 = \frac{3}{5}$, $x_2 = \frac{4}{7}$;

г) $x_1 = -\frac{3}{8}$, $x_2 = -\frac{11}{9}$.

Для того чтобы определить, какое из чисел $5^{x_1}$ или $5^{x_2}$ больше, необходимо сравнить их показатели степени $x_1$ и $x_2$. Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. В данном случае основание $a=5$, что больше 1, поэтому функция $y=5^x$ возрастает на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_1 > x_2$, то $5^{x_1} > 5^{x_2}$, а если $x_1 < x_2$, то $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

а) Дано $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4}{5}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$x_1 = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$x_2 = \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

Поскольку $10 < 12$, то $\frac{10}{15} < \frac{12}{15}$, следовательно, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_2}$ больше.

б) Дано $x_1 = -\frac{7}{3}$ и $x_2 = -\frac{6}{5}$.

Сравним отрицательные показатели. Для этого сначала сравним их модули, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$|x_1| = \frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{35}{15}$

$|x_2| = \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15}$

Так как $35 > 18$, то $\frac{35}{15} > \frac{18}{15}$, то есть $|x_1| > |x_2|$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{7}{3} < -\frac{6}{5}$, следовательно, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 < x_2$ следует, что $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_2}$ больше.

в) Дано $x_1 = \frac{3}{5}$ и $x_2 = \frac{4}{7}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$, приведя дроби к общему знаменателю 35:

$x_1 = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$

$x_2 = \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

Поскольку $21 > 20$, то $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_1}$ больше.

г) Дано $x_1 = -\frac{3}{8}$ и $x_2 = -\frac{11}{9}$.

Сравним отрицательные показатели. Для этого сначала сравним их модули: $|x_1| = \frac{3}{8}$ и $|x_2| = \frac{11}{9}$.

Дробь $\frac{3}{8}$ является правильной, поэтому $\frac{3}{8} < 1$. Дробь $\frac{11}{9}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя, поэтому $\frac{11}{9} > 1$.

Следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{11}{9}$, что означает $|x_1| < |x_2|$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{8} > -\frac{11}{9}$, следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_1}$ больше.

Найдите значение выражения:

39.4 a) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3};$

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5};$

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8};$

г) $\left(\frac{3}{4}\right)^{3,7} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-0,7}.$

а) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=5,3$ и $n=-0,3$.

$2^{5,3} \cdot 2^{-0,3} = 2^{5,3 + (-0,3)} = 2^{5,3 - 0,3} = 2^5$.

Теперь вычислим значение $2^5$.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: $32$.

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$

Используем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сначала преобразуем показатель $-\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

Основание $a=7$, показатели степеней $m=-0,5$ и $n=3,5$.

$7^{-0,5} \cdot 7^{3,5} = 7^{-0,5 + 3,5} = 7^3$.

Теперь вычислим значение $7^3$.

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Ответ: $343$.

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$

Снова применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=3$, показатели степеней $m=6,8$ и $n=-5,8$.

$3^{6,8} \cdot 3^{-5,8} = 3^{6,8 + (-5,8)} = 3^{6,8 - 5,8} = 3^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе.

$3^1 = 3$.

Ответ: $3$.

г) $(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7}$

Применяем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В этом примере основание $a = \frac{3}{4}$, а показатели степеней $m=3,7$ и $n=-0,7$.

$(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7} = (\frac{3}{4})^{3,7 + (-0,7)} = (\frac{3}{4})^{3,7 - 0,7} = (\frac{3}{4})^3$.

Теперь возведем дробь в степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Ответ: $\frac{27}{64}$.